صور الصفحة
PDF
النشر الإلكتروني

Entstehung nach. Es ist nämlich

T.x;= f(fi f2f's), w.y! = P(P1 P2 P3).

Nun ist f(fiffs)=0 nichts als diejenige Curve, welche der Curve f¡ (Y1Y2Y3)=0 vermöge der quadratischen Substitution im Systeme y' entspricht. Sämmtliche f(y1Y2Y3)=0 gehen aber durch die Fundamentalpunkte resp. P1, P2, P3mal, wie aus der getroffenen Wahl unmittelbar hervorgeht. Es werden somit die 3 Curven fi(fiff) = 0, f2(fif2f3) = 0, fs (fifif's) = 0 die Geraden (p2p3), (P3P1), = f3 (P1P2) resp. P1, P2, P3mal enthalten. Nach Fortlassung dieser überflüssigen Factoren bleibt eine Relation von der Form:

[ocr errors][merged small]

wo, nur noch eine Function vom Grade 2n-(p1+p2+p3) darstellt.

Durch dieses Mittel ist die allgemeine Beziehung nten Grades in zwei andere zerlegt, von denen die eine eine quadratische o'.y=(y1 y2 y3), die andere vom Grade 2n-(p1+p2+p3) ist. Beide zusammen repräsentiren die ursprüngliche.

Eine wesentliche Vereinfachung ist hierdurch nur dann eingetreten, sobald die Zahlen P1, P2, P3 so gewählt sind, dass p1+p2+pз>n, in welchem Falle 2n-(P1+P2+P3)<n, d. h. ; von niederem als nten Grade ist. Im Folgenden soll dargethan werden, dass eine solche Wahl immer möglich ist, d.h. wenn P1, P2, ... Pk, ... Pr positive ganze Zahlen sind, welche den Bedingungen

[merged small][merged small][subsumed][ocr errors]

i

k=r

Pk = 3 (n−1)

[ocr errors]

ist, sobald die Grössen so geordnet sind, dass p1≥p2≥ P3... pr. Um die Richtigkeit dieses Satzes einzusehen, schicke ich folgenden Hilfssatz voraus.

Wenn für jedes System ganzer, positiver Zahlen P1, P2, welches die Bedingungen

k

Pk=3(n-1), Σpi≥n2-1, pi≥ P2 ≥P3 .....

erfüllt, die Ungleichung stattfindet

[ocr errors]

so findet dasselbe auch für n+1 statt; d. h. aus den Relationen

[blocks in formation]
[ocr errors]

Pk,

...

Beweis. Gesetzt, es fände dies nicht statt, sondern q,+q2+q3=n+1-α, a≥0. Dann liefern die Zahlen q-1, 92—1, 93-1, 94, 959 ein System von Zahleur, welche den obigen Bedingungen für die Zahlen p1 genügen. Ordnen wir so, dass r1r2≥r,..., so ist r1 = 3(n−1), Σr2 = Σq2-2(91+q2+93)+3, also r2? > n2+2a+1>n2-1. Gemäss der Voraussetzung des Satzes muss ri+r+r3n stattfinden. Nun ist es aber klar, dass, der Definition der Grössen r zufolge, die Summe der drei grössten unter ihnen zwischen zwei Grenzen eingeschlossen bleibt. Es ist nämlich q1 + q 2 + q 3 r1 + r2+r3 (q1−1)+(q2−1)+(3-1), oder r1+r2+r3 = (91+92 +93) −3+ε, wo & einen der Werthe 0, 1, 2, 3 haben kann, und nach Einsetzung des Werthes für (q+q2+93) wird r1tr2+r3 = n−2+ε—ɑ. Da aber andererseits, wie wir gesehen haben, r1+r+r3>n sein muss, so stellt sich die supponirte Gleichung: q1+2+q3=n+1-α als unzulässig heraus, mit alleiniger Ausnahme des Falles, wo a=0, &=3 ist. Dies kommt darauf hinaus, dass qi+q2+q3=n+1 und q1 = 92 = 93 = 94 = qs = 96 ist. Eine einfache Ueberlegung beweist in der That, dass &=3 die Gleichheit der drei ersten Grössen q nach sich zieht. Bilden wir sodann aus den Grössen 91, 91, 91, 94, 95, 96, ... die Zahlenreihe der r, so sind dieselben repraesentirt durch: q,-1, 91—1, 91—1, 94, 95 % ¶65 · · · · Soll nun die Summe der drei grössten unter ihnen ritr2+r gleich qi+92 + q 3 d. h. 3q, werden, so kann dies nur dadurch erzielt werden, dass q1=q6=q6=qi ist. In diesem besondern Falle, setzen wir qm, dann ist unter Berücksichtigung, dass n+1=3m :.

=

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]
[ocr errors]

hervor, dass die Summe der Quadrate eines Systems von Zahlen sicher dadurch nicht verkleinert wird, dass wir von den kleineren unter ihnen Einheiten fortnehmen und sie den grösseren zulegen. Wir operiren nun in der Weise, dass wir von dem kleinsten der g solange Einheiten zu q7 legen, bis dieses = m wird. Reicht das letzte q hierfür nicht, so ziehen wir nach Erschöpfung desselben auch das vorletzte hinzu. Ist dies geschehen, so verfahren wir ebenso mit qs, bis dieses = m wird; endlich mit go, bis es =m-3 wird. Hierdurch sind alle späteren q vernichtet, und wir haben Alles auf die 3 Grössen reducirt m, m, m-3. Die Summe ist unverändert, die

[graphic]

Summe der Quadrate aber ist grösser geworden. Sie ist aber jetzt = m2 + m2 + (m −3)2, d. h. kleiner als 3m2-1. (Der noch mögliche Fall m = 1 schliesst sich leicht aus.) Hiermit ist die Richtigkeit des Satzes für n+1 erwiesen, sobald er für n gilt. Für n 2 sind aber die Bedingungen Ep=3(n-1), pin-1 nur durch die Zahlensysteme 1, 1, 1; 2, 1; 3

2

erfüllbar, und somit pi+p+p3 >2.

Auf diese Weise ist die Möglichkeit dargethan, durch Einführung neuer Grössen mittelst quadratischer Substitutionen den Grad der Transformation mindestens je um eine Einheit zu erniedrigen. Ist also die ursprüngliche Beziehung nten Grades von der Form

[ocr errors][subsumed]
[merged small][ocr errors][ocr errors][subsumed]

so einführen, dass je zwei aufeinanderfolgende (yy(*)y(")) und (y(*+1) y{k+1) y (k+1)) durch eine eindeutige quadratische Substitution mit einander zusammenhängen, und dass eine ebensolche Beziehung zwischen y, und y, y) und x, stattfindet. Dadurch ist die allgemeine eindeutige Transformation in eine Anzahl quadratischer aufgelöst. Sobald die zu Grunde liegende Transformation zusammengefallene Fundamentalpunkte besitzt, ist man unter Umständen genöthigt, auch solche quadratische Transformationen zu wählen, wie sie am Schlusse des §. 3 angeführt sind...

Von den vielen Fragen, welche sich an diesen Gegenstand schliessen lassen, will ich nur zwei erwähnen: die Frage nach sich selbst entsprechenden Punkten und nach sich selbst. entsprechenden Linien.

"

[ocr errors]

Die erstere kommt nach den letzten Ausführungen auf folgende zurück: Es hängen y mit y, y mit y", y-mit y) durch je eine quadratische. Substitution zusammen; wie oft geschieht es, dass y mit y) zusammenfällt? Allgemein gehalten, ist die Frage leicht zu beantworten, doch können in besonderen Fällen beträchtliche Ausnahmen vorkommen. Ist p 3, so geschieht es im Allgemeinen sechsmal. Für den Fall symmetrischer Transformationen bedeutet dies geometrisch: Wenn vier Kegelschnitte in einer Ebene liegen, so giebt es sechs Punkte von der Eigenschaft, dass die vier Polaren sich in einem Punkte treffen. Man kann zeigen, dass diese sechs Punkte die Ecken eines vollständigen Vierseits bilden, d. h. viermal zu dreien auf Geraden liegen. Sind die Gleichungen der 4 Kegelschnitte S, 0, S2 = 0, S2 = 0, S1 =0, die

[graphic]

k=4

der 4 Geraden L1=0, L1⁄2=0, L3=0, L1⁄2=0, so kann man setzen SL, i=1, 2, 3, 4; d. h.

وو

Vier quadratische ternäre Formen lassen sich im Allgemeinen gleich– zeitig linear durch die Quadrate von vier linearen Formen darstellen.

66

Was die zweite Frage betrifft, so ist es klar, dass es bei einer allgemeinen Transformation keine Curve giebt, die sich selber entspricht. Bei der symmetrischen quadratischen, welche wir auf die einfache Form

[subsumed][ocr errors]

reducirt annehmen, ist es leicht, Curven von beliebig hohem Grade zu construiren, die sich selbst wiedererzeugen. Behalten wir die alte Bezeichnung der Fundamentalpunkte durch a1, a2, α3, durch welche die Curve C resp. k1, k2, kз mal geht, bei, so ist die erste Forderung, damit die transformirte Curve C' von demselben Grade n wird, wie C: k1+k2+kз = n. Es sei nun

[ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]
[ocr errors]

die Gleichung von C, dann gehen zwei Glieder von der Form
ɑ2,2,2,X11 x23 x313 +ɑn—k‚—λ, n—k‚—‚„, n—k ̧-2, X”—k‚—2, x2—bia—ha œ”—ks—23
nach der Transformation unter Fortlassung des Factors yyy über in:

[ocr errors][merged small][merged small]

3

[ocr errors][subsumed][subsumed]

mit C identisch sein, sobald die Beziehung stattfindet:

ɑn—k ̧¡—h1, n—kg—h., n—k3—1.3 = ±α2, h3h3

Hierdurch ist die Möglichkeit gegeben, Curven von jedem Grade herzustellen, welche sich selbst wieder erzeugen.

Breslau, im Juni 1870.

[ocr errors]

Ueber die Druckkräfte, welche auf Ringe wirksam sind, die in bewegte Flüssigkeit tauchen.

(Von Herrn Ludwig Boltzmann in Graz.)

Lerr Kirchhoff hat in einer Abhandlung im 71ten Bande dieses Journals nachgewiesen, dass auf zwei unendlich dünne in einer bewegten Flüssigkeit, die in der Unendlichkeit ruht, befindliche Ringe von der Flüssigkeit Druckkräfte ausgeübt werden, deren Moment für irgend eine Verrückung gleich dem Moment der Kräfte ist, mit welchen die Ringe auf einander wirken würden, wenn gewisse elektrische Ströme in ihnen flössen. Er knüpft daran die Bemerkung, dass demzufolge die Ringe scheinbar dieselben Kräfte auf einander ausüben, wie diese elektrischen Ströme. Diese Bemerkung hat aber nicht allgemeine Gültigkeit *); wenn die Ringe in Bewegung sind, so können die mit einander verglichenen Kräfte sich noch durch Kräfte unterscheiden, die von der Bewegung der Ringe abhängen, und deren Moment für jede Verrückung gleich Null ist. In der That zeigt die Rechnung, dass dies der Fall ist.

Da Herr Kirchhoff den Beweis für die Richtigkeit des von ihm gefundenen Werthes der in der Flüssigkeit enthaltenen lebendigen Kraft nur für den Fall eines kreisförmigen Querschnitts der Ringe geliefert hat, so will ich mit der allgemeinen Berechnung der in der Flüssigkeit enthaltenen lebendigen Kraft für nicht kreisförmige Ringquerschnitte den Anfang machen; hierauf soll gezeigt werden, wie dieselbe vermittelst des sogenannten Hamiltonschen Principes zur Berechnung der auf die Ringe wirksamen Kraft angewendet werden kann, wobei sich zeigen wird, dass die Art und Weise, wie zuerst die Herren Thomson und Tait dieses Princip auf Probleme der Hydrodynamik angewendet haben, im Allgemeinen eine unerlaubte ist, in den von diesen Herren betrachteten Fällen aber in Folge des Verschwindens gewisser Glieder zu keinem fehlerhaften Resultate führt. Zum Schlusse endlich will ich die directe Bestimmung der

*) Als ich Herrn Kirchhoff in einem Gespräche auf diesen Umstand aufmerksam machte, theilte er mir mit, dass auch er ihn bereits bemerkt habe.

« السابقةمتابعة »