0,

Diese

welche nach der hier gebrauchten Bezeichnung mit F2(0; 114, rp) identisch ist, kommt für n = 3 in den Gleichungen (15.), (16.) und (17.) vor. Gleichungen lauten in ihrem Ausdruck durch die Gausssche Function F(p,q,r,x) folgendermassen:

(19.)

E

(1 − 5)2 — ' § ( − 1 )* (2 —− 1); (e+k−1)« ( 54 )*F(8+k, d, &+y+k, α),

(ε+y+k−1)k

(−1)2 (2—1), §* F (ε, 8—k, 7, α)

Σ(1)*

k=0

k

=

(2−1)x(ε+k−1) x ( œ5 ) *F (e+k, d, y+k, a),

(−1)* (y+k−1)k

(y+k-1)

Die Ausdrücke in den Gleichungen (13.) und (14.) reduciren sich für n 3 nicht auf Gausssche Reihen. Indem

gesetzt wurde, ergeben sich aus (13.) und (14.) für die dritte Ordnung die

bedeutet. Die in den Gleichungen (19.) bis (23.) vorkommenden Constanten h, ε, d, y, ɑ, ɑ1, ɑ2, B1, B2 sind völlig beliebig, bis auf die eine Beschränkung, dass die hypergeometrischen Reihen einen Sinn haben müssen.

Berlin, im November 1870.

Vibrationen eines Ringes in seiner Ebene.

(Von Herrn R. Hoppe.)

Ein elastischer Ring, dessen Figur durch Rotation eines kleinen ebenen Flächenstücks um eine entferntere Axe entsteht, ist im allgemeinen für jede gerade Knotenzahl zweier Arten ebener Vibrationen fähig; bloss für keinen und für zwei Knoten giebt es nur je eine periodische Bewegung. Die radiale und die peripherische Verschiebung bedingen sich gegenseitig und sind von gleicher Ordnung der Kleinheit. Mit wachsender Knotenzahl geht die langsamere der zwei unabhängigen Vibrationen in eine rein radiale, die schnellere in eine rein peripherische als Grenze über, so dass beide einzeln den Charakter der Transversal- und Longitudinalschwingungen gerader Stäbe annehmen.

Wir setzen zunächst voraus, dass in der Richtung der Rotationsaxe, der Axe der z, keine Verschiebung stattfindet. Ferner betrachten wir den Querschnitt f als starr und beständig normal zur Oberfläche, bringen jedoch seine kleinen Dimensionen vollständig in Rechnung, weil sie mit unendlich grossen Zahlen multiplicirt vorkommen.

1. Bewegungsgleichungen.

Im indifferenten Zustande sei der Abstand des Schwerpunkts des Querschnitts von der z-Axe, r(1+5) der eines beliebigen materiellen Punkts, 4 der Winkelabstand der Querschnittsebene von der zx-Ebene nach den positiven y hin. Durch Deformation gehe der Radiusvector r(1+5) in r(1+š+u), der Winkel in +v+τ, wo v die Ablenkung des erstern, den Winkel zwischen ihm und dem Querschnitt bezeichnet. Dann sind die ebenen Coordinaten eines beliebigen Punkts nach Deformation:

.

findet man, indem man den Richtungswinkel +v+ der Normale der Schwerpunktscurve sucht, welche die Gleichungen (1.) für §=0 bestimmen. Ent

wickelt man die Ausdrücke bis auf erste Potenz von u und v, und bezeichnen die Accente die Differentiation nach, so werden diese Gleichungen:

(2.)

=

r(1+5+u) cosp—r ((1+§) v—§u'} sin,

Y r(1+s+u) sin p+r{(1+5) v-Eu' } cosy.

Hieraus ergiebt sich in bekannter Weise ein Bogenelement, welches der Punkt (xy) bei constantem § und variirendem beschreibt:

Dieses ist durch einfache Dehnung aus dem Kreisbogenėlement r(1+5) op hervorgegangen. Die Dehnung der Längeneinheit beträgt also

Multiplicirt man das Product beider Grössen mit dem Elasticitätsmodul E und mit dem Flächenelement of und integrirt über den ganzen Ring, so erhält man die Variation des Potentials der peripherischen Spannungen, welche nach Voraussetzung allein in Rechnung kommen, nämlich

Um zuerst über den Querschnitt zu integriren, sei

af = √s df; bf = feat; of = -SE

wo a, a+b und c stets positiv sind; dann kommt:

=

27

E frƒa"d4q {(u+c(w+u") + o') Su+ c(u+u'") du"+ (u+o') do'}{

und nach theilweiser Integration:

Dieses Potential ist nun im Zustande des Gleichgewichts mit äussern Kräften gleich der Summe der virtuellen Momente derselben. Die Componenten derjenigen Kraft, welche in irgend einem Punkte eine Masseneinheit im Gleichgewicht halten würde, sind gleich und entgegengesetzt den Componenten der Beschleunigung in der Zeiteinheit. Wir zerlegen sie in radialer und peripherischer Richtung. Dann sind die Coordinaten

das Massenelement, wenn P die ursprüngliche Dichtigkeit bezeichnet,

Pr(1+s) dy df,

folglich nach Multiplication der letzten 3 Grössen und Integration das virtuelle Moment der Gesammtbewegung

(4.) Q=−Pr3/**dq/(1+5) df {ðu du+[(1+5)

Integrirt man über f und beseitigt du' durch theilweise Integration nach 9,

Identificirt man jetzt die Coefficienten der unabhängigen Variationen du, do in beiden Ausdrücken von Q und setzt zur Abkürzung

als Bestimmungen für jede in den anfänglich genannten Voraussetzungen begriffene Bewegung des Ringes.

2. Einfach periodische Vibrationen.

Den aufgestellten Gleichungen genügen folgende, einer einfach periodischen Vibration entsprechende Werthe der Verschiebungen:

und zwar muss k eine ganze Zahl sein, damit beide nach Durchlaufung des Umkreises auf ihren Anfangswerth zurückkehren. Zur Abkürzung sei

Der Zusammensetzung gemäss sind i, u, v, -1, &, o stets positiv. Zwischen 5, 7, 9 hat man folgende Relationen:

n,

Nach Einführung der Werthe (6.) in die Gleichungen (5.) erhält man:

Die vier Wurzeln dieser Gleichung sind reell. Eliminirt man nämlich a2 zwischen den Gleichungen (8.), so lässt sich das Resultat folgendermassen schreiben:

Hiernach ist zunächst 1+kp reell, also auch a2 nach den Gleichungen (8.), und Gleichung (9.) zeigt dann, dass es nur zwei positive Werthe haben kann. Ist a die kleinere, a' die grössere positive Wurzel, so hat man:

Ebenso sollen durch den Accent die auf a' bezüglichen Constanten von den auf a bezüglichen unterschieden sein, aus denen sie durch Vorzeichenwechsel von hervorgehen. Nach Einsetzung des Werthes von a2 in die Gleichungen (8.) ergiebt eine leichte Rechnung:

Die Grössen A, B, y bleiben willkürlich. So viel man aber auch Terme