Notiz über die Normalen einer Fläche des

zweiten Grades.

(Aus den hinterlassenen Papieren von F. Joachimsthal mitgetheilt durch Herrn O. Hermes.)

Zur Jacobischen Entstehungsweise der Flächen zweiten Grades; zur Bequemlichkeit für das Ellipsoid ausgesprochen *).

Sind ABC und abc zwei confocale Ellipsen und die Punktepaare A, a; B, b; C, c entsprechende Punkte, d. h. deren Coordinaten sich wie die parallelen Axen verhalten, oder was dasselbe ist, liegen A, a auf einer confocalen Hyperbel, ebenso B, b und C, c; nimmt man ferner im Innern der kleineren Ellipse abc einen Punkt D und construirt eine Pyramide abcd, so dass ad = AD, bd = BD, cd = CD, so beschreibt bekanntlich nach Jacobi d ein Ellipsoid. Es ist mir nun gelungen, denjenigen Satz zu finden, welcher dem ebenen Satze entspricht, dass die Normale der Ellipse den Winkel zwischen den Radien Vectoren halbirt.

Trägt man nämlich von d aus auf da, db, de drei solche Stücke da', db', de' ab, die von D aus auf DA, DB, DC abgetragen, drei im Gleichgewicht stehende Kräfte darstellen, so ist die Resultante von da', db', de' die Normale des Ellipsoids.

Der Beweis dieses Satzes beruht auf folgendem

Lehrsatz I. Es sei (r, ri, r2) = 0 die Gleichung zwischen den Entfernungen eines Punktes O von a, a, a, welche sämmtlich in derselben Ebene liegen, so stellen p'(r), p'(ri), '(r2), nach Oa, Oa1, Oaz angebracht, drei im Gleichgewicht befindliche Kräfte vor.

Lehrsatz II. Es sei p(r, r1, T2, T3) = 0 die Gleichung zwischen den Entfernungen des Punktes O im Raume von vier anderen Punkten im Raume α, α1, α, αз, so stellen p'(r), p'(ri), p'(r2), y'(r) nach Oa, Oα1, Oα2, Oαз mit gehörigem Zeichen angebracht, vier im Gleichgewicht wirkende Kräfte dar.

*) Die eine Hälfte der hier folgenden Notiz trägt das Datum des 28. März 1861. Es liegt uns also, da Joachimsthal am 5. April 1861 starb, in diesem Aufsatz eine seiner letzten Arbeiten über das von ihm so vielseitig behandelte Problem der Normalen der Flächen zweiten Grades vor.

H.

Beweis. (Nur für Lehrsatz II., da der für I. analog ist.) Es sei y (r, r1, T2, T3) = 0 die Gleichung irgend einer Fläche, so ist die Normale derselben die Resultante der Kräfte v'(r), y'(ri), y(r2), y'(r3); die Gleichung der Fläche kann aber ebenso gut geschrieben werden y(r, r1, T2, T3)+4(r, r1, T2, T3)=0, demnach ist die Normale die Resultante von '(r)+q'(r), y'(r1)+g'(r), u. s. w. also bilden '(r), p'(rı), p'(r2), '(r) ein Gleichgewichtssystem..

Es ergiebt sich jetzt Folgendes:

Jede Normale trifft die Ebene der Figur innerhalb der kleineren Ellipse. Es sei n der Punkt, wo die Normale in einem Punkte d der Fläche die Ebene der Figur trifft. Man denke sich die drei Fundamentalpunkte a, b, c so gewählt, dass a und b mit n in einer Geraden liegen: da nun dn die Richtung der Resultante von drei nach da, db und de wirkenden Kräften sein soll, so muss die letztere gleich Null sein. Sind A, B, C die zu a, b, c gehörigen Punkte und D der zu d gehörige Constructionspunkt der Ebene, so sollen die nach AD, BD, CD gerichteten Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Die nach CD gerichtete Kraft ist aber gleich Null, also müssen A, B und D in einer Geraden liegen und die nach AD und BD gerichteten Kräfte gleich sein, also auch die nach da und db gerichteten, d. h. dn halbirt den Winkel adb. Nun sind da und db nur der Bedingung unterworfen, mit dn in einer Ebene zu liegen: also legt man durch einen Punkt der Fläche d und den kleineren Constructions kegelschnitt (die,,modular focal" Mac-Cullaghs) einen Kegel, so ist die Normale im Punkte d die Axe dieses Kegels.

Die Jacobische Erzeugungsweise der Flächen

zweiten Grades.

(Von Herrn 0. Hermes.)

Die gegenwärtigen Untersuchungen sind, als Anhang zu den im litera

rischen Nachlass Jacobis enthaltenen ,,Geometrischen Theoremen", dazu bestimmt, das Fragmentarische dieser Theoreme zu ergänzen und dadurch ihr Verständniss zu erleichtern; sie beschränken sich darum im Wesentlichen auf die Herleitung focaler Eigenschaften der Flächen zweiten Grades aus dem Ivoryschen Satze und schliessen sich dabei möglichst an die ähnlichen Entwickelungen Jacobis über die Kegelschnitte an.

Das Ellipsoid.

§. 1. Es sei die Gleichung eines gegebenen Ellipsoids, auf seine Hauptachsen bezogen,

wo p<n<m sein mag, und alle Werthe zwischen -p2 und haben kann. Zwei Punkte dieser Ellipsoide, P und Q, deren Coordinaten

heissen einander conjugirt. Hat man zwei andere conjugirte Punkte P, und Q1, deren Coordinaten

Setzt man p√-1 und 7√-1 einflächige Hyperboloide, und

welches der Ivorysche Satz für Ellipsoide ist. statt Р und 7, so erhält man denselben Satz für wenn man zugleich n√-1, p√−1, ß√−1, 7√−1 statt n, p, ß, y setzt, für confocale zweiflächige Hyperboloide.

Lässt man bis zu dem Werthe -p2 abnehmen und p2+ und z gleichzeitig verschwinden, so hat man für die Punkte Q des zweiten Ellipsoids:

ist, d. h. es reducirt sich dieses Ellipsoid auf seinen Grenzfall

also auf das Stück der xy-Ebene innerhalb der Focalellipse des gegebenen Ellipsoids, das Grenzellipsoid.

Dem Mittelpunkte 0, als einem Punkte des Grenzellipsoids, für die Werthe α=ẞ=0, y=±1, entspricht als conjugirter Punkt auf dem gegebenen Ellipsoid der Punkt x = y = 0, z=±p, d. h. jeder der beiden Endpunkte Z und Z' der kleinen Achse.

d. h. für

x=

Einem beliebigen Punkte A, auf dem Umfange der Focalellipse selbst,

der conjugirte Punkt liegt also auf dem Durchschnitt des Ellipsoids mit der Ebene der Focalellipse. Es ergiebt sich hieraus zugleich, dass die Focalellipse confocal ist dem zugehörigen Hauptschnitt, eine Eigenschaft, welche bekanntlich allen Focalkegelschnitten gemeinschaftlich ist. Wenn nunmehr allgemein P und Q zwei beliebige conjugirte Punkte von (E) und (E), durch welche Buchstaben das gegebene Ellipsoid und das Grenzellipsoid unterschieden werden mōgen, sind, ebenso A, B, C Punkte des Durchschnitts der Ebene der Focalellipse mit E, conjugirt den Punkten A, B, C, der Focal ellipse, so hat man nach dem Ivoryschen Theorem:

d. h.

PA1=QA, PB1 = QB, PC, QC, PO=QZ= QZ',

=

Die Verbindungslinien eines beliebigen Punktes P des Ellipsoids mit irgend drei Punkten der Focalellipse sind resp. gleich den Verbindungslinien des conjugirten Punktes Q des Grenzellipsoids, d. h. eines bestimmten Punktes der Ebene innerhalb der Focalellipse, mit den conjugirten drei Punkten auf dem Durchschnitt der Ebene der Focalellipse mit dem Ellipsoid.

Oder:

Wenn man über drei beliebigen Punkten A, B, C einer Ellipse als Eckpunkten der Basis Pyramiden errichtet mit der Spitze Q und über den drei conjugirten Punkten A, B, C, einer inneren confocalen Ellipse als Eckpunkten der Basis Pyramiden eines neuen Systems mit der Spitze P, so dass A,PAQ, B, P=BQ, C,P = CQ,

und den Punkt Q die Ebene innerhalb der inneren Ellipse durchlaufen lässt, so beschreibt der Punkt P ein Ellipsoid, welches die äussere Ellipse zum grössten Hauptschnitt und die innere zur Focalellipse hat.

Sind die Gleichungen der beiden Ellipsen

wo p<n<m, so ist die Gleichung des vom Punkte P beschriebenen Ellipsoids

Als conjugirte Punkte ergeben sich ferner die Endpunkte X, X' und

X, X der x-Achse und die Endpunkte Y, Y' und Y1, Y der y-Achse