werden und zwar für endliche Werthe des Index nur von einer endlichen. Ich setze voraus, dass es für die Grössen dieser Ordnungen ein Maximum k giebt, das ich die Ordnungszahl des Punktes o nennen will.

Aus den Annahmen über die Art der Convergenz der Reihen (1.) und (2.) und über die Beschaffenheit der Functionen Fx und Gx folgt auf dem in §. 2 eingeschlagenen Wege, dass diese Reihen für alle Punkte eines innerhalb ihres Convergenzbezirks liegenden Bereichs denselben Grad der Convergenz besitzen.

in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Minimalbereichs oder auch mit Einschluss desselben convergent.

4) Nach den Functionen G, G1x, Function nur auf eine einzige Weise entwickeln.

lasse sich eine gegebene

Diese Annahmen genügen, um die Theorie der Nullentwicklungen von der Form der Reihe (1.) vollständig begründen zu können.

Die Curve Co gehe durch den Punkt v, dessen Ordnungszahl k sei, x liege im Innern von Co, o' werde so gewählt, dass >'>px ist, y durchlaufe einen um beschriebenen Kreis, der ganz ausserhalb Co' liegt und keinen von verschiedenen Punkt einschliesst. Wird dann die Gleichung (3.) mit (y-v)*- multiplicirt und nach y integrirt, so ergiebt sich

wenn G, der Coefficient von (y-v)-* in der Entwicklung von G,y nach Potenzen von y-v ist. Diese Reihe convergirt sicher, wenn innerhalb x Co liegt. Ich will sie, wenn v2 ist, mit Sx bezeichnen und die zte zu gehörige Nullentwicklung nennen.

=

Sei Co eine Linie, welche die Punkte sämmtlich einschliesst, und seien 1, 2, ... v, diejenigen unter diesen Punkten, welche nicht innerhalb einer bestimmten Curve Co (p<0%) liegen; sei o'< und so gewählt, dass weder auf Co, noch zwischen Co und Co' ein Punkt vliege. Die Variabeln

Xn

x und x mögen im positiven Sinne die Linien Co, und Co', x1, x2, ... X2 aber Kreise durchlaufen, welche um v1, v2, ... On mit so kleinen Radien beschrieben sind, dass jeder nur einen einzigen der Punkte v einschliesst. Dann folgt aus (3.)

Da sich aber nach den Functionen Goy, Gy, ... cine Function nur auf eine einzige Weise entwickeln lässt, so ergiebt sich daraus die Gleichung

in der gleich 0 oder 1 ist, je nachdem v von u verschieden ist, oder nicht. Nun ist aber

[F, G, dr=fF, 2G, xdx +F, x, G, x, dx,++/F, G, xdx.

ν

x

μ

μ

Xn

so besteht

Ist nun S=c, F, x irgend eine Nullentwicklung, die innerhalb Co convergirt,

so erhält man durch Multiplication mit Gx und Integration über Co'

Da die Reihe F1o G,

Co1 convergirt, so ist,

1

wenn .<<<<'<e gewählt wird, ZFZ-1vq¬ convergent und daher F-1go; und da Co den Convergenzbereich der Reihe c, F, begrenzt, so ist Eco" convergent und daher c,<ho'~”. Mithin ist die Reihe Zc, Foghor.o' und deshalb convergent. Setzt man also

so hat h einen ganz bestimmten endlichen Werth, und es ist

hzx

Daher stimmen die Coefficienten der Reihe S mit denen des Ausdrucks

'hix Six

überein, und das System der zu den Punkten v gehörenden Nullentwicklungen ist vollständig.

Aus der in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Minimalbereichs convergirenden Reihe (4.) ergeben sich durch Coefficientenvergleichung oder ge

Werden also die Constanten h so bestimmt, dass alle Coefficienten der Reihe

1

sein. Multiplicirt man diese Gleichung mit F', und summirt man nach μ, so erhält man

Mithin bilden die Reihen S ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen und zwar ein Fundamentalsystem.

Geht Co durch v, so ist oben gezeigt, dass S innerhalb dieser Linie sicher convergirt. Wenn nun die Reihe noch über Co hinaus convergirte, so liesse sie sich linear durch die Nullentwicklungen ausdrücken, welche zu den nicht innerhalb Co liegenden Punkten v gehören. Da sich v, unter diesen nicht befindet, so wäre die Reihe S von einer Anzahl von ihr verschiedener Nullentwicklungen des aufgestellten Fundamentalsystems abhängig, was nicht der Fall ist. Daher muss S ausserhalb Co divergiren. Da nun der Convergenzbezirk jeder beliebigen Nullentwicklung mit dem irgend einer Reihe eines Fundamentalsystems übereinstimmen muss, so gilt der Satz: Nur solche Curven Co begrenzen Convergenzbereiche von Nullentwicklungen, welche durch einen der Punkte v hindurchgehen.

Sei ferner c, F, x-c, G, x irgend eine Nullentwicklung, welche zwischen den Curven Co und Co (9) convergirt, seien v1, v2, ... v, die nicht innerhalb Co gelegenen Punkte v, und sei o'<e, >, und so gewählt, dass zwischen Co und Co' kein Punkt liegt. Mit Fv und Gv mögen die Coefficienten von (x-v) in der Entwicklung von F,x und G, x, mit Gv der Coefficient von (x-v) in der von G, nach Potenzen von x-v bezeichnet werden. Multiplicirt man dann die Gleichung

-1

S12 = Gyv2F, und SΣG¬1v2F, x- F*-1v2G, x,

so bilden diese Reihen ein

vollständiges System von einander unabhängiger

Nullentwicklungen und zwar ein Fundamentalsystem. Zugleich ergiebt sich,

dass Co durch einen der Punkte

hindurchgehen, und Co., wenn nicht co, ci,...

sämmtlich verschwinden, der Minimalbereich sein muss.

Berlin, im October 1870.

Ueber die pendelnde Bewegung einer Kugel unter dem Einflusse der inneren Reibung des umgebenden Mediums.

(Von Herrn Oskar Emil Meyer in Breslau.)

Bessel*) und noch vor ihm Dubuat **) haben darauf aufmerksam gemacht und durch angestellte Versuche bewiesen, dass es zur Reduction einer in der Luft beobachteten Schwingungszeit eines Pendels auf den luftleeren Raum nicht genügt, den scheinbaren Gewichtsverlust, den das Pendel in der Luft erleidet, in Rechnung zu ziehen. Ausser dieser, der sogenannten aërostatischen Correction, welche zuerst Bouguer angewandt hat ***), ist noch eine zweite, die aerodynamische Correction, anzubringen. Dieselbe bezieht sich auf die scheinbare Vermehrung, welche das Trägheitsmoment eines Pendels durch die Trägheit der mit in Bewegung gesetzten Luft erleidet. Zur vollständigen Reduction auf den luftleeren Raum hat man also das Quadrat der beobachteten Schwingungsdauer mit dem Factor

zu multipliciren, in welchem M die Masse des Pendels, M' die der verdrängten Luft, keine von der Form des Pendels abhängige Zahl bedeutet.

Während Bessel sich darauf beschränkte, den Werth dieser Zahl k experimentell festzustellen, suchte Poisson +) ihn auf theoretischem Wege zu bestimmen. Er fand durch Integration der Differentialgleichungen, von welchen die Bewegung flüssiger Körper abhängt, den numerischen Werth

*) Astron. Nachr. Bd. 6. Nr. 128. 1827. Unters. über d. Länge des einfachen Secundenpendels. Abh. d. Berl. Akad. v. 1826. Berlin 1829 S. 32.

**) Principes d'hydraulique. 3ième partie, section 2, chap. 1. 2te Aufl. 1786; 3te Aufl. 1816.

***) Bouguer et Condamine, la figure de la terre. Paris 1749. 7. sect. Nr. 18 pag. 339-340.

†) Mém. de l'Acad. des sc. Tome 11. 1832. p. 521.