et qui est, par exemple, la conique

9[8[2].8[3. ]] *)

est la conique d'intersection de la surface cherchée avec le plan (7.8. 8.9). Elle coupera les plans (1.2.3) et (4.5.6) respectivement en deux couples de points 4.4 et 74.4, et les coniques

seront les coniques d'intersection de chacun de ces deux plans avec la surface cherchée. Enfin un plan quelconque coupera les trois coniques construites de la surface en six points situés sur une même conique, laquelle sera la courbe d'intersection du plan et de la surface cherchée.

2. Construction par points de la courbe gauche du quatrième degré qui passe par huit points.

Cette courbe est l'intersection commune de toutes les surfaces du second degré qui passent par les huit points. Sa construction dérive immédiatement de la précédente, dans laquelle on remplacera le plan (7.8.9) par un plan quelconque passant par la droite 7.8. Les trois coniques

8[2.3], 8[.], 8 [Σ. Σ.]

passent par les points 7 et 8, et ont deux autres points communs que l'on peut déterminer linéairement et qui sont sur la courbe cherchée. En faisant tourner le plan variable autour de la droite 7.8 on aura ainsi tous les points de la courbe.

3. Construction du huitième point commun à toutes les surfaces du second degré qui passent par sept points donnés **).

Toutes les surfaces du second degré qui passent par sept points ont un huitième point commun. On peut encore dire que toutes les courbes gauches

*) Nous avons démontré cette construction de la conique d'un réseau ponctuel passant par deux points donnés dans un travail qui sera publié en France après la guerre (Etude sur les systèmes de coniques).

P.

**) Dans la situation extraordinaire, dans laquelle M. Picquet a écrit cette note il n'a pas pu consulter la littérature antérieure de ce problème. Je remplis cette lacune en citant l'excellent travail de M. Hesse (vol. 26 de ce Journal). La construction de M. Picquet repose comme celle de M. Hesse sur la construction due à M. Hesse du problème suivant: étant donnés 6 points quelconques dans l'espace et un septième A, mener par le point A la corde à la cubique gauche qui passe par les 6 points donnés (vol. 26, p. 151).

B.

suivant lesquelles se coupent deux quelconques de ces surfaces ont un huitième point commun. Il suffit dès lors pour trouver ce point de construire deux de ces courbes au choix. Or une courbe gauche du quatrième degré peut se composer d'une cubique gauche et d'une droite qui la rencontre en deux points, qui en soit corde. Une cubique gauche étant déterminée par six points, on fera passer une cubique gauche par six des points donnés 1.2.3.4.5.6 et par le septième 7, on mènera une corde à cette cubique gauche; on sait que cette corde est unique et déterminée, elle passera donc par le point cherché, puisqu'avec la cubique (1.2.3.4.5.6) elle constitue une courbe gauche du quatrième degré passant par les sept points donnés, et qu'il n'y a pas d'ailleurs de raison pour que le point cherché, que rien ne distingue des sept autres, soit sur la cubique (1.2.3.4.5.6) plutôt que le point 7. De même, on construira la cubique (1.2.3.4.5.7) et par le point 6 on lui mènera une corde qui coupera la première au point cherché. Avant d'entrer dans le détail de la construction, nous allons d'abord démontrer directement qu'en effet ces deux droites se coupent.

1o. Lorsqu'une cubique gauche est située sur une surface du second degré, toutes les génératrices d'un système sont des cordes de la cubique.

En effet, si on considère le cône du second degré qui a pour sommet un point variable de la courbe et la courbe pour base, ce cône coupe la surface suivant la cubique et suivant une droite variable. Lorsque le sommet du cône engendre la courbe, la droite engendre la surface, toutes ces cordes sont donc des génératrices d'un système.

2o.

Les génératrices de l'autre système coupent la cubique en un point. En effet le plan tangent à la surface en un point coupe la cubique en trois points situés sur les génératrices de la surface passant par ce point. Mais nous venons de voir que deux de ces points sont sur la génératrice du premier système, comme d'ailleurs une cubique gauche ne peut pas avoir trois points en ligne droite, le troisième est sur la génératrice du second système.

Il en résulte qu'il peut y avoir sur une surface du second degré deux systèmes de cubiques gauches suivant que les génératrices de la surface qui en sont des cordes sont d'un système ou de l'autre, et on peut démontrer que deux cubiques gauches de même système ont quatre points communs et deux cubiques gauches de systèmes différents cinq points com

muns. Sans nous y arrêter, considérons la surface du second degré qui passe par les sept points donnés 1.2.3.4.5.6.7, par un point quelconque 8 de la cubique (1.2.3.4.5.6) et par un point quelconque 9 de la cubique (1.2.3.4.5.7); cette surface ayant sept points communs avec chacune de ces courbes, les renfermera tout entières. Elle renfermera aussi la corde menée à la première par le point 7 dont elle contient trois points, le point 7 et ses deux extrémités; ainsi que la corde menée à la seconde par le point 6. Mais ces deux cordes sont des génératrices de systèmes différents, ainsi que les deux cubiques, sans quoi les courbes gauches du quatrième degré, formées par chaque cubique et la corde correspondante auraient neuf points communs, savoir les points 1.2.3.4.5 et deux points sur chaque corde, car les génératrices étant de même système, les cubiques sont de même système, et si elles sont cordes d'une cubique elles sont aussi cordes de l'autre. Deux courbes gauches du quatrième degré ne pouvant avoir neuf points communs sans coïncider, les deux cordes sont de systèmes différents et se rencontrent conséquemment en un point qui est le point cherché.

Remarquons maintenant que tous les cônes ayant leur sommet sur une cubique gauche et cette courbe pour base appartiennent à un même réseau de surfaces du second degré, surfaces dont les sept points communs distincts seraient sur une même cubique gauche, qui est la courbe considérée. Les plans polaires d'un même point par rapport à ces cônes ont donc un point commun, qui est nécessairement situé sur la corde menée du point à la courbe; il suffit donc de déterminer ce point pour déterminer la corde.

Cela posé, la construction sera la suivante:

Par les points 1.6.7 on mènera un plan P: pour déterminer les trois cônes ayant pour sommets respectifs 3.4 et 5 et pour base la première cubique (1.2.3.4.5.6), on projettera du point 3 sur le plan P les cinq points 1.2.4.5.6 en cinq points 1.2'. 4'. 5'. 6, du point 4 les cinq points 1.2.3.5.6 en cinq points 1.2′′. 4′. 5′′. 6, et du point 5 les cinq points 1.2.3.4.6 en cinq points 1.2"". 5'. 5". 6. On détermine ainsi trois coniques qui, prises deux à deux, ont trois points communs connus; on peut donc, sans les construire, trouver immédiatement le point de concours des polaires du point 7 par rapport à toutes les coniques passant par les points communs à deux d'entr'elles, point situé dans le plan polaire du point 7 par rapport aux cônes, qui leur correspond. En combinant ces trois courbes deux à deux on obtient ainsi de suite trois points, sommets du triangle formé dans 47

Journal für Mathematik Bd. LXXIII. Heft 4.

le plan P par les plans polaires du point 7 par rapport aux trois cônes; en joignant chaque côté de ce triangle au sommet du cône correspondant, on a trois plans dont le point d'intersection est sur la droite qui joint le point 7 au point cherché. On fera de même pour le point 6 et la cubique (1.2.3.4.5.7) en se servant du même plan 1.6.7, et le point cherché sera déterminé par l'intersection de deux droites.

L'épure est assez simple en prenant pour plan horizontal le plan 1.6.7 et pour plan vertical le plan perpendiculaire mené par la droite 6.7.

Note über die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen

zweiter Ordnung.

(Von Herrn O. Hesse in München.)

Bei Gelegenheit meiner Untersuchungen über die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnung im zwanzigsten Bande dieses Journals habe ich das daselbst p. 307 sich findende Theorem 14 aufgestellt, welchem man folgende etwas elegantere Form geben kann.

Theorem.

,,Irgend sechs Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnung lassen sich betrachten als die Ecken eines Sechsecks im Raume. Die drei von einem beliebigen Punkte ausgehenden geraden Linien, von welchen jede ein Paar gegenüberliegender Seiten des Sechseckes schneidet, bestimmen, wenn man ihre Schnittpunkte in der Reihenfolge der Seiten des Sechseckes verbindet, ein dem Sechsecke einbeschriebenes Sechseck, welches auf einem Hyperboloid liegt. Die beiden in gleicher Weise aus dem siebenten und achten Schnittpunkte der drei Oberflächen dem Sechsecke im Raume einbeschriebenen Sechsecke liegen auf einem und demselben Hyperboloid."

In dieser Darstellung erkennt man sogleich, dass das Theorem eine Ausdehnung des Pascalschen Theorems vom Hexagrammum mysticum ist.

Denn wenn das erste Sechseck im Raume ein Sechseck in der Ebene wird, so fallen die beiden aus dem siebenten und achten Schnittpunkte construirten einbeschriebenen Sechsecke zusammen, und jedes derselben wird ein Dreieck, dessen Ecken die Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seiten des ersten Sechseckes sind. Da nun nach dem Theoreme die Seiten dieses Dreieckes auf einem Hyperboloid liegen, so müssen dieselben in eine gerade Linie, die Pascalsche Linie des ersten Sechseckes, fallen, weil kein Hyperboloid ein Dreieck aufweisen kann, dessen Seiten auf seiner Oberfläche liegen.

München, im Mai 1871.