Auch das Integral (59.) ist leicht auszuführen. Setzt man Führt man nun wieder für u seinen Werth in z ein, so erhält man : welches die Gleichung der gesuchten Curve ist. Setzt man in derselben m unendlich grofs, und an die Stelle von a, so geht dieselbe in die Glei a m chung der gewöhnlichen Kettenlinie über. Carlsruhe, den 26sten Mai 1859. Ueber eine der Interpolation entsprechende Darstellung der Eliminations-Resultante. (Aus dem Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin.) Wenn man die Resultante der Elimination zwischen zwei algebraischen Gleichungen mit einer Unbekannten aufsucht, so pflegt man die ganzen Functionen, welche die linken Seiten der Gleichungen bilden, als durch die Werthe ihrer Coefficienten gegeben vorauszusetzen. Diese Art der Bestimmung ganzer Functionen ist als diejenige Specialisirung der Interpolation anzusehen, die dem Zusammenfallen sämmtlicher Argumente, für welche die Functionswerthe gegeben sind, entspricht. Aber man weifs, dafs jedes Zusammenfallen mehrerer Argumente in der Theorie der Interpolation, anstatt die Resultate zu vereinfachen, sie verwickelter macht und die leicht übersichtliche Gesetzmäfsigkeit der Ausdrücke stört. Es war daher ein glücklicher Gedanke, der von Herrn Rosenhain herrührt, die Resultante der Elimination zwischen zwei Gleichungen z yz = 0 nicht durch die Coefficienten von yz und yz sondern durch die Werthe darzustellen, welche diese Functionen für gegebene Argumente annehmen. Das von demselben im 30sten Bande des mathematischen Journals veröffentlichte Ergebnifs ist von um so gröfserer Bedeutung, als sich die nämliche Art der Darstellung auf eine ganze Reihe anderer Ausdrücke ausdehnen läfst und namentlich auf diejenigen, welche sich bei der Entwicklung des Quotienten in einen Kettenbruch ergeben. Aber die Rosenhainsche Darstellung erfordert, dafs man die Werthe der Functionen pz, yz für eine Reihe von Argumenten kenne, deren Anzahl der Summe der Ordnungen von z und z gleich ist, also in dem Fall, in welchem beide Functionen von der nten Ordnung sind, für 2n verschiedene Argumente. Diese 2n Functionswerthe sind also nicht von einander unabhängig, sondern n-1 derselben durch die übrigen n+1 bestimmt. Die Rosenhainsche Formel kann daher nicht dazu gebraucht werden, die Resultante der Elimination darzustellen, wenn jede der Functionen z, z in terpolatorisch gegeben ist. Auf diesen Fall bezieht sich die gegenwärtige Untersuchung, sie beschäftigt sich mit der Lösung folgender Aufgabe: Die beiden Functionen z und yz, jede nten Grades, sind durch die Werthe gegeben, die sie für zα, a, ... a, annehmen. Durch diese zweimal n+1 Functionswerthe soll die Resultante der Elimination zwischen den Gleichungen z = 0, yz=0 ausgedrückt werden. z= In dem hier vorliegenden Falle giebt die sogenannte abgekürzte Bezoutsche Eliminationsmethode die Resultante durch die Coefficienten ausgedrückt. Nach der übersichtlichen von Herrn Cayley gegebenen Darstellungsweise des anzuwendenden Verfahrens hat man den Quotienten zu bilden und nach Potenzen von x und y zu ordnen. Ist ɑik xi yık das allgemeine Glied desselben, so ist die Determinante D der Coefficienten aik (wo sowohl i als k die Zahlen 0 bis n-1 durchlaufen) die Resultante der Elimination zwischen den Gleichungen 20, yz=0. Vermittelst bekannter Determinantensätze läfst sich die Determinante D so transformiren, dafs sie, anstatt durch die Coefficienten aik, durch besondere Werthe der Function F(x, y) dargestellt wird. Bezeichnet man mit F(x, y) diese besonderen Werthe (wo sowohl i als k die Zahlen 1 bis n durchlaufen), mit D' die Determinante derselben und mit (X1, X2, ... X1) das Product aller Differenzen der Argumente x1, x2, ... x, (jede Differenz so genommen, dafs ein Argument mit kleinerem Index von einem mit gröfserem abgezogen wird), so hat man *) D' n (1.) D = A (X1, X2, Xn) (Y1, Y2 ... ... Yn) *) Es lässt sich beiläufig bemerken, dafs in der Transformation (1.) zugleich eine unmittelbare Verification der abgekürzten Bezoutschen Eliminationsmethode liegt. Diese Verification ergiebt sich, indem man die beiden Reihen von Argumenten 1, X., ... Xn und Y1, Y2 ... Yn mit den Wurzeln P1, P2, . Pn der Gleichung qr=0 zusammenfallen läfst. Unter dieser Annahme wird ... In dem Fall der vorliegenden Aufgabe sind die Werthe von qr und x für xau, α1,... a, gegeben. Unter Einführung der Function wo über alle Combinationen zweier verschiedenen Gröfsen a;, ak zu sum miren ist.. 1= Hieraus ergiebt sich für xa:, ya, oder xa, y=α;, wenn i von k verschieden ist: wo sich die Summe nach k über alle von i verschiedenen Werthe erstreckt. Es ist daher wenn i von k verschieden ist. Die allgemeine Transformation (1.) giebt daher, so angewendet, für D, abgesehen vom Zeichen, den Ausdruck: Β' ψβι ψβ. . . . Ψβης wo nach k wiederum über alle von i verschiedenen Zahlen aus der Reihe O bis n zu summiren ist, so wird demnach schliefslich: Man bilde nun das System der (n+1)2 Gröfsen (ik), nämlich (ik) = (ki), und dafs je n+1 in ein System, welches erstens ein symmetrisches ist, so dafs welches ferner nach Gleichung (3.) die Eigenschaft besitzt, einer Horizontal- oder Verticalreihe stehende Elemente die Summe Null baben, so dass: •+(in) = 0. Hieraus folgt zunächst, dafs die Determinante n+1 ster Ordnung R aus dem ganzen mit (4.) bezeichneten System verschwindet. Es folgt überdies, dafs die sämmtlichen Unterdeterminanten erster Ordnung von R, die Gröfsen ƏR ƏR einander gleich sind. Man betrachte z. B. d. h. die DetermiƏ (ik) Ə (00) nante desjenigen Systems, welches aus (4.) hervorgeht, wenn die erste Horizontal- und die erste Verticalreihe fortgelassen wird, und das mit (5.) bezeichnet werden möge. In dem Systeme (5.) ist irgend ein Element der ersten Verticalreihe (1), wofür man die Summe setzen kann. Wegen der übrigen Verticalreihen ist es erlaubt, in dieser Summe die Glieder (i2), (i3)... (in) fortzulassen, ohne dafs sich der Werth der Determinante ändert, jedes Element (1) seiner ƏR bleibt also sich selbst gleich, wenn man für a (00) ersten Verticalreihe ƏR ǝ (00) ƏR - (10) setzt, d. h. es ist Aehnliches gilt, wenn man für die Indices 0, 1 zwei beliebige Indices setzt, und es sind demnach sämmtliche Unterdeterminanten AR einander gleich. Diesen gemeinschaftlichen Werth der Unterdeterminanten, |