ein Product von n-1 Factoren, welches abgesehen von der Ordnung der Indices die Form

(12) (23) ... (n—1n)

hat, und wie man jetzt auch den nten hinzuzufügenden Factor wählen möge, so wird durch denselben immer ein Cyclus geschlossen.

Für n=2, wo es nur das eine Element (12) giebt, ist die Unmöglichkeit eines nicht- cyclischen Productes zweier Elemente augenscheinlich, folglich gilt dieselbe nach obigem Beweise allgemein, d. h. wie man auch aus den Elementen (12), (13) ... (în), (23) etc. ein Product von n Elementen bilden möge, so ist dasselbe immer ein cyclisches. Hiermit

n.n. -1
2

ist die Eigenschaft 3. an der Summe A nachgewiesen.

Es bleibt jetzt noch zu zeigen, dafs die Summe A auch die Eigenschaft 4. besitzt. Der in (01) multiplicirte Theil von

wo kein Glied in B das Element (01) noch einmal enthalten darf, weil sonst der Cyclus 01 geschlossen wäre.

Jedes Glied von B wird eine Anzahl von Elementen (Oi) und eine Anzahl von Elementen (1k) enthalten. Dafs beide Anzahlen gleichzeitig verschwinden, ist nach dem vorhin Bewiesenen unmöglich. Zwei Elemente (Oi) und (1) können nicht in demselben Gliede von B vereinigt sein, weil sonst der Cyclus 01 i geschlossen wäre. Man betrachte irgend ein Product von 7 Elementen, unter welchen (01) und (Oi) aber nicht (1) sei. An die Stelle von (Oi) werde (12) gesetzt, und das neue Product heifse dem ursprünglichen zugeordnet, so leuchtet ein, dafs zwei zugeordnete Producte zugleich cyclisch und zugleich nicht-cyclisch sind. Hieraus folgt, dafs der Ausdruck B die Elemente (Oi), (1) nur in der Verbindung (0)+(1) enthält, wo i eine der Zahlen 2, 3, n bedeutet. Der von dem Index O unabhängige Theil des Ausdrucks B ist aber offenbar nichts Anderes als

...

d. b. die Summe A besitzt die Eigenschaft 4. Hiermit ist die Identität der Ausdrücke S und der Summen nicht- cyclischer Producte A vollständig dargethan.

Es möge noch schliesslich angedeutet werden, wie sich mit Hülfe der oben gegebenen Entwicklung des Ausdrucks S auch die Gliederzahl desselben bestimmen läfst. Man vermehre in S sowie in der Entwicklung von Sjeden Index um i und setze alsdann an die Stelle des Index i das Aggregat 0+1+...+i, welches der Kürze halber mit i' bezeichnet werde. Der Ausdruck (i',i+1,...i+n)

in welchen jetzt S übergeht, heifse T, seine Gliederzahlt, so ist

T= (i+1) (i+n+1)”—'.

In der That, die Entwicklung von T, d. h. diejenige, in welche die frühere Entwicklung von S übergegangen ist, enthält Ausdrücke, welche dem T ähnlich gebildet sind, für welche aber die Zahlen i, n durch andere ersetzt sind und zwar n überall durch kleinere. Indem man im Fall solcher Ausdrücke, die einem kleineren an die Stelle von n gesetzten Werthe entsprechen, die Formel für T als gültig voraussetzt, zeigt es sich, dafs sie auch für T selbst gilt. Für n=1 giebt aber die Formel den richtigen Werth =i+1, also ist sie allgemein gültig.

Für i=0 geht T in S über und in die Gliederzahl o von S, welche durch die Formel

bestimmt ist.

σ = (n+1)-1

Berlin, den 12ten Mai 1859.

Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung.

(Von Herrn Kinkelin früher zu Aarburg gegenwärtig zu Bern.)

Theorie der Function G(x).

S. 1.

Ich habe früher eine Untersuchung über die Functionen, welche die Relation eingehen:

veröffentlicht (siehe Grunerts Archiv Bd. 22), und bin dabei auf eine Function

gekommen, in welcher log I'(x) für ganze Werthe von a die Bedeutung

ist, welche Gleichung sich auf jeden reellen Werth von z anwenden läfst. B(x) bedeutet die Bernoullische Function, deren Werth für ganze Argumente

genügt. Ihr Ausdruck wird von Raabe (Bd. 42 dieses Journals) durch die folgenden Gleichungen gegeben:

WO

ten

(") den ten Binomialcoefficienten der Potenz und B2 die 2 Bernoullische Zahl, positiv genommen, bedeutet. Für diese Functionen bestehen die der ersten Gleichung dieses Paragraphen entsprechenden folgenden Gleichungen:

B2m (x) + B2m ( x + 1 ) + ...·· + B2m(x + ”—1)

2m

2m

2m

n

=

1

n2m

B2m (n x),

hat.

Br m+19

B, (x) +B, (x + 1) + ··· +B,(x + "—1) = — B, (nx)

(1)

1 n2-1 12 n

Gegenstand vorliegenden Aufsatzes soll es nun sein, die Function T(x) für den besonderen Fall μ-1=1, also die Function Ï'(x), die wir der gröfseren Bequemlichkeit wegen mit G(x) bezeichnen wollen, näher zu untersuchen, ihre Eigenschaften festzustellen, ihre Berechnung anzugeben und dann einige Anwendungen dieser Resultate auf die Ermittelung von Integralwerthen zu machen.

welches auch als Grenzwerth des folgenden Ausdrucks definirt werden kann:

enthaltenen Eigenschaften, wozu wir noch das von Raabe (Bd. 28, S. 12 dieses Journals) veröffentlichte Ergebniss

eine Gleichung, die für alle positiven Werthe von besteht. Man summire dieselbe in Beziehung auf über die ganzzahligen Werthe 1, 2, x −1,

Die rechte Seite dieser Gleichung behält für alle positiven Werthe von eine bestimmte Bedeutung, ich bezeichne dieselbe mit log G(x) und definire diese Function durch die Gleichung:

x-1

(x−1)
2

so ist G(x) eine Function, die für ganzzablige Werthe von x in die Exponentialgröfse mit dem Exponenten Exlogx d. h. in 1.22... (x − 1 )x−1 übergeht.

1

§. 3.

Setzt man in (2.) t für x, nimmt auf beiden Seiten die Logarithmen, und bezeichnet wie gewöhnlich das Product der Zahlen 1.2...k mit k!, so erhält man:

Wir verstehen in dieser Formel sowohl wie später überhaupt unter k eine über jede endliche Grenze hinaus wachsende Zahl.