Da aber nach Gleichung (10.) die Differenz linker Hand = log x sein mufs, so ist 2ẞ+0, ß=—†, also: die man aus (4.) erhält und die unter der Bedingung 0<t<1 gilt, mit dt und integrirt zwischen den Grenzen O und x, so folgt mit Anwendung von (6.) und (7.) leicht: Durch Subtraction der Gleichung (25.) von (24.) erhält man ferner: (26.) log tang лt di G(1−x)G(}+x) G(x)G(1-x) 0 < x < und durch theilweise Integration findet man aus (24.), (25.), (26.) leicht die folgenden Integrale : G (1—x)}, G(x) ☛ log (2 cos лx)+log −}<x<}, { log(tang ☛ log (tang лx)+log G (1−x) G (4+x) Das letzte dieser Integrale führt natürlich auch zu der Bestimmung des folgenden: x tdt sich aus den so eben dargestellten durch theilweise Integration herleiten lassen. S. 11. Es ist klar, dafs man in die Integrale (24.), (25.), (26.) durch die Substitution at für t gewisse Constanten einführen kann. Es ist ferner ersichtlich, dafs man durch Addition von diesen Integralen auf solche kommen kann, bei denen unter dem Integralzeichen der Logarithmus einer Summe oder Differenz der trigonometrischen Functionen sich vorfindet. Wir übergehen es, diese Integrale vollständig aufzustellen und führen als Beispiel nur eins derselben ohne weitere Entwicklung an. Es ist dies das folgende: folgt, und denkt man sich hierin (ax) für x geschrieben, wo eine beliebige Function, a eine Constante bedeutet, so ergiebt sich: Əlog G (p(ax)) да {log Ã'¶ (ax) +- 4 (ax) -− 4 (1+log 2л)} Əq(ax) Mit Berücksichtigung dieser Gleichung erhält man aus (27.) durch Differentiation nach a leicht das folgende Integral: G(}(a—b)x) 2ax -10% G(1—¦(a—b)x) -log 2, (a2_b3) π + (a+b)π log sin ‡ (a+b) лx + (a—b)π log sin ‡ (a—b) лx+ Eine Anzahl von ähnlichen Ergebnissen findet man aus den dem Integrale (27.) verwandten, von welchen oben die Rede war. S. 12. Wir wenden uns jetzt zur Herleitung einer anderen Reihe von Integralen. Setzt man in (26.) arc tang at für 1, so erhält man leicht: 1 1 Mit Hülfe von (29.) läfst sich ein anderes Integral ebenfalls auf die Function G zurückführen. Es ist nämlich Hieraus folgt durch Addition und Integration nach a zwischen den Grenzen 1 Hieraus folgt unter der Annahme, dafs x, mit Hülfe von (29.) und (29.): Die entsprechenden Gleichungen für den Fall, dafs a>1, findet man aus den vorhergehenden leicht, wenn man für a setzt. 1 a Es lassen sich noch eine grofse Anzahl anderer Integrale, die mit den bisher betrachteten verwandt sind, hieran anknüpfen, so namentlich dt, s* (arctangul)2 doch übergehe ich der Kürze wegen die Entwicklung derselben. Aarburg, im Juli 1856. etc., Sur l'Invariant le plus simple d'une fonction quadratique bi-ternaire, et sur le Résultant de trois fonctions quadratiques ternaires. (Par M. A. Cayley.) M. Sylvester a trouvé depuis longtemps, pour le résultant des trois fonctions quadratiques ternaires *) 129 16C12-C, où C12, C6 représentent des fonctions données des coefficients qui sont non seulement des invariants mais aussi des combinants des trois fonctions quadratiques (Voir le mémoire de M. Sylvester On the Calculus of forms otherwise the theory of Invariants" §. VII. Camb. et Dub. Math. Journ. t. VIII pp. 256-269 année 1853, équation (A.) p. 267). Pour expliquer la formation de la fonction Co, il convient de considérer la fonction quadratique bi-ternaire U = (a, b, c, f, g, h) (x, y, z)2 (§, n, 5)2 a', b', c', f', g', h' a", b", c", f", g", h" A, B, C, F, G, H A', B', C', F', G', H' A", B", C", F", G", H" cette notation représentant la fonction (a, b, c, f, g, G, k ) (x, y, z)2. §2 h')(x, y, z)2. n2 h") (x, y, z)2. (2 H)(x, y, z)2. 2n5 H')(x, y, z)2. 25 § ૐ +(4", B", C", F", G", H") (x, y, z)2. 2§n. *) J'écris ( )(x, y, z)2 au lieu de ()(x, y, z)2. Dans mes publications antérieures qui font partie de ce Journal le signe (~) a été substitué aux parenthèses accouplées dont je me suis servi autre part, mais il vaut mieux omettre ce signe. |