Ueber eine symbolische Formel, die sich auf die Zusammensetzung der binären quadratischen Formen bezieht. (Von Herrn L. Schläfli zu Bern.) Der Beweis, den Gaufs (Disquisitiones arithm. p. 352) dafür giebt, dafs die Elemente A, B, C der Form ax2 +2bxy+cy2, ... übergeht, aus seinem Verfahren die Substitutionselemente 2, μ, zu bestimmen, als ganze Zahlen hervorgehen, schliefst eine merkwürdige symbolische Formel in sich, welche verallgemeinert werden kann. Da die sechs Determinanten (u'), ... der Substitutionselemente 1 zum gröfsten gemeinschaftlichen Maafs haben, so kann man sechs ganze Zahlen finden, welche einzeln mit den Determinanten multiplicirt sechs Producte geben, deren Summe 1 ist. Der Ausdruck, dessen Werth 1 ist, als lineare und homogene Function von 2, ... aufgefasst, sei aλ+a'n'+a"2"+œ"""", in derselben Beziehung zu μ, ... sei er Bu+B'u' + B"μ" + B""μ"". Dann kennt man acht ganze Zahlen α, ß, welche die Bedingungen α α Σαλ= 1, Σαμ = 0, Σβλ=0, Σβμ=1 erfüllen. zu setzen ist, wenn wir die Discriminanten der drei Formen mit y=a§§'+a'šv′+a"vš′+a""vv', y=ߧ§'+ß′§v'+ß"v§'+ß"vv', Þ=Xq+Yy, unterscheiden die Variabeln als Objecte der Differentiationssymbole durch einen übergesetzten Strich von ihren als constant geltenden Werthen, die wir durch dieselben Buchstaben ohne diesen Strich ausdrücken, und machen der Kürze wegen Σβμ Σαμ = und fällt mit Σßμ = 1 zusammen, während Zau = 0, ẞλ=0 schon durch die Ausdrücke für 2, μ,... realisirt sind; und die von Gaufs zum Beweise, dafs A, B, C ganze Zahlen sind, gebrauchte Gleichung erscheint unter der merkwürdigen Form Dafs ähnliche Gleichungen für eine Zusammensetzung aus beliebig vielen quadratischen Formen existiren, deren Discriminanten sich wie die Quadrate ganzer Zahlen verhalten, wird schon hinreichend klar werden, wenn wir F=ff'f" betrachten. Die Discriminanten der vier Formen seien D, n2D, n22D, n'2D, und da wir die irrationalen linearen Factoren der Formen brauchen, so setzen wir D=- R2, D: und haben dann f=tu, f'=t'u', f"t"u". Da auch F'= TU werden soll, wo TAX+(B-R) Y, U = X + B+R Y, A ... so lassen wir T, U sich respective von tt't", uu'u" nur durch constante Factoren unterscheiden. Die Symbole 4, Y, Þ= Xq+Yy mögen ähnliche Bedeutung haben, wie oben, nur mit dem Unterschiede, dafs sie jetzt dreischichtig linear sind in Bezug auf §, v, auf §', v' und auf ", v". Wir denken uns aber vor der Hand diese Symbole in Function von T, 8; t', 8′; t′′, 8′′ darin substituirt und schreiben daher = Pontt't" + Povitt's" + ··· + 9m88′8′′ und ebenso hinsichtlich 4, P. Damit F als binäres Product erscheine, setzen wir F=¿ÞÞ(lt't'"'uu'u" + uu'u'tt't"), wo der Strich über dem zweiten bedeutet, dafs die zuerst als constant behandelten t, u, ... nach dem vollzogenen zweiten überstrichen, d. h. als Differentiationsobject des ersten aufgefasst werden sollen. Es folgt dann FPP; folglich A= 2B = 400x4111+1‰00, C=Y; also 2R40004111-4000 = 111 qÿ (tt't"uu'u" — uu'u'tt't"); = dafs hier das Vorzeichen richtig gewählt ist, wird sich sogleich zeigen. Da X=1xx'x", q Zas", so ist 9X Zaλ und mufs 1 sein. Der = Σαλ vorige Ausdruck für 2R giebt uns also 2RX= y (tt't"uu'u" — uu'u'tt't"), d. h. 2RX=ytt't" - Yuu'u", 2RY=-Putt't" + uu'u", woraus 2RY—— Pott't", Pu uu'u" folgt. Die Werthe für A, B, R in den Ausdrücken T= für T, U substituirt, geben T-1000, U= P1, also T = = Quitt't", = Φ 111 9111 wie wir verlangt haben. Hätten wir hingegen vorhin angenommen, so würden wir bekommen haben. Wenn, wie oben, r= · (ax+by) x + (bx + cy)ỹ, s=yx-xỹ gesetzt wird, so ist tū = r — nRs, ut = r÷nRs, daher = = ¿(tt't"'uu'u" + uu'u'll't") — rr'r" —n'n" Drs's" —nn" Dsr's"—nn' Dss'r", 1 (t'l''uu'u" — uu'u'tt't" \ — 28 = = nsr'r" + n'rs'r" + n"rr's" — nn'n" Dss's". Mittelst dieser zwei Relationen sind nun die Ausdrücke für F, 2RX, 2R so zu verwandeln, dafs , als explicite Functionen von §, v; etc. zur Anwendung kommen. Um die abgeleiteten Functionen im Folgenden kürzer bezeichnen zu können, setze ich z. B. ¶ = ¶„. . § + 41..v = 9.v. §' + 9.1.v′ = 4..0§" + ¶..‚v", Man verwechsele nicht diese auf §, v, . . . bezüglichen Zeiger mit den früher gebrauchten, die sich auf 7, 8, ... bezogen, und die wir nicht mehr anwenden werden. Da (r) dasselbe ist, wie wenn ξ, υ in φ respective durch ax + by, bx+cy ersetzt werden, also gleich, so siebt man, dafs (rr'r")= }Þ2ff'f" ist. fff" ist. Da ferner ÞÞ{ry'y'x'x") = {{Þy'y">Þx'x")f= ¥Þ‚„Þ‚„f=ÞÞ(rx'x'y'y"), etc. ist, so folgt — y (ss's′′) = 88′8′′y=Ymxx'x" — Y1xx'y"- etc.— Y'1yy'y"; folglich Wir gelangen so zu folgendem System, das die vollständige Lösung der Aufgabe, drei Formen zusammenzusetzen, enthält: ... Wenn die sechszehn Coefficienten ooo, 4001, ... Ф111, Фото, .. in den symbolischen Functionen, ganze Zahlen sind, die der einzigen Bedingung {n(Po..Y1.. — P1. Yo..)f'f" + \n'(4.0.4.1 —9.1.4.0)ff"+‡n"(4.¥......1¥..)ff' · nn'n"D(PoŸ'111—4100011010101001110011100+1014010 +1000-4000) =1 XpYy, so geht die quadratische Form durch die Substitution Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 2. 23 X = {n(x¥ ̧ ̧.—y¥%..)f'f"+‡n'(x'¥...—y'¥..)ff"+\n"(x"¥..1—y"¥.)ff' —nn'n'D(Ÿ'...xx'x"—110xx'y"—101xу'x" +100y'y"— Y‰1yx'x'"'+Y‰шyx'y" +Y‰ÛYy'x”—YYY'y'), Y einem ähnlichen Ausdruck, worin - anstatt steht, in ff'f" über. Bezeichnet z. B. 20 den Coefficienten von xx'x" in der Entwicklung von X, so hat man 1109 2001 = \n§'v′′¥1..f'f'" + \n'§v"¥¿ff" — \n"§v'¥.......ff'+nn'n" D'11, etc. Hieraus sind die Werthe der Determinanten der Substitutionselemente λ, μ, zu entnehmen. Z. B. (2000) ist im Ausdruck für der Coefficient von ... You also n"" ff" =n"aa'; (Mon) ist ebendaselbst der Coefficient von You, also in'"v"ff" +‡n′′š2§'v'ff' = u(n'b"+n'b'); so auch (2000 μ111) = nb'b" + n'bb" + n"bb' — nn'n"D, u. s. f. Geht man von den bekannten Werthen dieser Determinanten aus, von denen man leicht zeigen kann, dafs sie ganze Zahlen sind, die 1 zum gröfsten gemeinschaftlichen Maafs haben, so kann man nach der Methode von Gaufs λ, μ bestimmen und erst dann, wie zu Anfang dieses Aufsatzes gesagt wurde, die Functionen, y, so dafs sie jener einzigen Bedingung genügen. Dafs der hier eingeschlagene Weg für jede beliebige Anzahl zusammenzusetzender Formen befolgt werden kann, ist wohl klar genug. Bern, im Sommer 1859. |