Setzt man endlich diese Werthe von A in die Gleichung (4.), so erhält man das Borchardtsche Resultat:

Der erste oben angegebene Lehrsatz läfst sich noch erweitern in der Voraussetzung, dafs die linearen Substitutionen einer weniger beschränkten Bedingung unterworfen sind. Indem ich auf diese Erweiterung näher eingehe, beabsichtige ich zugleich die Werthbestimmung des Zahlencoefficienten C in der vorhergegangenen Untersuchung hier wieder aufzunehmen und einen möglichen Anstofs in der Entwickelung des genannten Lehrsatzes nachträglich zu beseitigen.

Es liege irgend ein System linearer Gleichungen vor von der Form: x1 + a22 2x2 + ··· + a2

(20.) Xx

=

(x)

(x)

...

(x)

Durch Auflösung dieses Systems nach den Variabeln erhält man ein System von Gleichungen von der Form:

(21.) Xx =

Bildet man mit Berücksichtigung dieser neuen Coefficienten e das System linearer Gleichungen:

so weifs man nicht allein, dafs die Auflösungen dieser Gleichungen nach den Variabeln y folgende sind:

sondern dafs die Substitutionen (20.) bis (23.) auch die Gleichung (24.) · X,Y1+X2 Y2+ ··· +X, Yn

1

2 2

zu einer identischen machen.

...

n

=

Diese Gleichung bleibt auch eine durch die genannten Substitutionen identische, wenn man sowohl ihren rechten als ihren linken Theil zur nten Potenz erhebt. Dadurch erhält man mit Anwendung des polynomischen Lehrsatzes und Unterdrückung des gleichen Factors II(n) = 1.2...n auf beiden Seiten der Gleichung:

Bezeichnet man nun in der Entwickelung des Products yy... y,

nach den Variabeln Y den Coefficienten von Y, Y2..

mit

und eben so in der Entwickelung des Productes xx... nach den Variabeln X den Coefficienten von X, X2... X, mit

so erhält man aus (25.), wenn man diese Gleichung nach den Variabeln Y entwickelt und in der Entwickelung die Coefficienten des Productes Y, Y2... Y auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich setzt,

1

Auf gleiche Weise erhält man aus derselben Gleichung durch Entwickelung nach den Variabeln X

Hiernach ist es erlaubt die angegebenen Definitionen der Gröfsen A und E aufzugeben und sie Statt dessen als die Entwickelungscoefficienten der Producte (27.) und (28.) aufzufassen; wobei zu bemerken ist, dafs die Gröfsen E ganz dieselben Functionen der Substitutions coefficienten e, wie die Gröfsen A von a sind. Behält man aber die erste Definition der Gröfsen A und E bei, und entwickelt die Gleichung (25.) nach Potenzen und Producten der Variabeln X und Y, so erhält man durch Gleichstellung der Coefficienten des Productes X, X2... X. Y, Y2... Y, auf beiden Seiten der Gleichung

Wenn die in (20.) bis (23.) gebildeten linearen Substitutionen die Producte der Variabeln X und die Producte der Variabeln Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 2.

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Y transformiren in (27.) und (28.), so findet unter der Voraussetzung von (26.) zwischen den Coefficienten in diesen Transformationen die Gleichung (29.) Statt.

Da die Gröfsen E in die entsprechenden A übergehen, wenn die Substitutionscoefficienten e mit den entsprechenden a gleich werden, wodurch auch die Substitutionen (20.) bis (23.) mit (1.) und (2.) zusammenfallen, so geht auch (29.) in (4.) über. Der erste Lehrsatz ergiebt sich hiernach als ein Corollar dieses letzten.

Heidelberg, im October 1859.

Vergleichung zweier Formen der Eliminations

Resultante.

(Von C. W. Borchardt.)

Bei Gelegenheit einer Besprechung des vortrefflichen Baltzerschen

Buches über Determinanten *) hat Hesse in der kritischen Zeitschrift für Mathematik (Jahrgang 1858 S. 483) es als wünschenswerth bezeichnet, durch directe Transformation die Identität der beiden Formen nachzuweisen, unter welchen die Resultante der Elimination zwischen zwei Gleichungen erscheint, wenn sie einerseits nach der ersten Eulerschen Methode (1748) durch die Wurzeln beider Gleichungen als Differenzenproduct ausgedrückt wird, und wenn sie andrerseits nach der zweiten Eulerschen (1764) oder Bezoutschen Methode in die Form einer Determinante gebracht wird, deren Elemente die Coefficienten der beiden Gleichungen sind. Nachdem Hesse an dem genannten Ort ein Verfahren bekannt gemacht hat, diese directe Transformation zu bewerkstelligen, soll in nachstehender Mittheilung ein von jenem verschiedenes Verfahren angegeben werden, welches darauf beruht, dafs das in der ersten Eulerschen Methode vorkommende Differenzenproduct sich als Quotient darstellen läfst, dessen Zähler und Nenner aus alternirenden Differenzenproducten bestehen.

so wird die Eliminations-Resultante R der Gleichungen fx 0, x=0 nach der ersten Eulerschen Methode folgendermafsen gefunden. Man bildet das Differenzenproduct

so ist

i=m k=n

*) R. Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten. Leipzig, 1857.

was sich auch unter die beiden Formen bringen läfst:

Bezeichnet man nun mit 4(a,, α2,... a) das alternirende Differenzenproduct der Gröfsen a1, α2, ... a,, jede Differenz a-a; so genommen, dafs von einem a mit gröfserem Index k eines mit kleinerem Index i abgezogen wird, und setzt man:

so dafs D auch als folgende Determinante m+nter Ordnung

D

woraus für (-1)P die oben erwähnte Darstellung folgt.

A.B

Wendet man dagegen die zweite Eulersche oder Bezoutsche (Sylvesters dialytische) Methode an, so hat man zwischen den Gleichungen

die Potenzen zo, x1,... x2+n-1 zu eliminiren und erhält dann als EliminationsResultante die Determinante m+n'er Ordnung: