π

2

und durch den Winkel bestimmt ist, den seine Ebene mit einer der Hauptebenen macht, ist als specieller Satz in der allgemeinen Gleichung (18.) §.7 enthalten, welche für ß= 1⁄2, r1=91, r1⁄2=Q2 in die Eulersche Gleichung übergeht. Die allgemeine Methode im §. 7 läfst auch überhaupt die Krümmungshalbmesser der Normalschnitte einer Fläche von einer neuen nicht uninteressanten Seite erkennen, indem sie zeigt, dafs der Drehungswinkel des Krümmungshalbmessers eines Normalschnitts mit einer, von dem unendlich. nahen Punkte in der Ebene dieses Schnittes ausgehenden Normale, für die ganze Länge des Krümmungshalbmessers gerechnet, gleich einem Rechten ist, oder:

Wenn man an zwei unendlich nahe Punkte einer Fläche die Normalen zieht und ihnen die bestimmte Länge giebt, in welcher ihr Drehungswinkel gleich einem Rechten ist: so stellen sie die Krümmungshalbmesser der Fläche in diesen beiden unendlich nahen Punkten für den durch dieselben hindurchgehenden Normalschnitt dar.

Das Gaufsische Krümmungsmaafs der Flächen findet sich in den allgemeinen Strahlensystemen als der allgemeinere Begriff des Dichtigkeitsmaafses wieder, und dem Ausdrucke desselben, als reciproker Werth des Products der beiden Hauptkrümmungshalbmesser, entspricht vollständig der im §. 6 gegebene Ausdruck des Dichtigkeitsmaafses, nach welchem dasselbe gleich ist dem reciproken Werthe des Products der Entfernungen der beiden Brennpunkte von dem betreffenden Punkte des Strahls. Für die Strahlensysteme, welche Normalen einer Fläche und darum auch Normalen der ganzen Schaar ihrer Parallelflächen sind, ist das Dichtigkeitsmaafs mit dem Krümmungsmaafse vollständig identisch, da in jedem Punkte des Raumes das Dichtigkeitsmaafs der Strahlen dem Krümmungsmaafse der durch diesen Punkt hindurchgehenden Parallelfläche gleich ist. Es zeigt sich auch hierin, wie die von Gaufs in die Wissenschaft eingeführten Begriffe durchgängig denjenigen Charakter wahrer Allgemeinheit an sich tragen, durch welchen sie ihren Einflufs weit über die Gebiete hinaus erstrecken, in denen sie ursprünglich entstanden sind.

Berlin, im October 1859.

Ueber die Zähler und Nenner der Näherungswerthe

von Kettenbrüchen.

(Von Herrn E. Heine zu Halle.)

Die vorliegende Abhandlung liefert die Entwickelung der Formeln, welche ich im 53sten Bande dieses Journals S. 284 mittheilte, so wie die dort erwähnte Uebertragung auf die verallgemeinerten hypergeometrischen Reihen und endlich Beispiele von der Anwendung der gefundenen Ausdrücke auf einige specielle Fälle.

Es ist bekannt, dafs Gaufs in seinen Disquisitiones generales circa ser. infin. etc. jene allgemeinen Kettenbrüche entwickelt hat, von denen er art. 13 sagen konnte, dafs kaum ein Kettenbruch von den Analysten entwickelt worden sei, der nach einem übersichtlichen Gesetze fortschreite und nicht als specieller Fall in den seinigen enthalten sei. Es sind diese Brüche die Entwickelungen von Quotienten hypergeometrischer Reihen

und im speciellen Falle, für ẞ=0, von einer hypergeometrischen Reihe F(1, α, y) selbst.

1-x

In einer späteren Arbeit: Methodus nova integralium val. per upprox. inven. betrachtet Gauss einen unter dem letzteren enthaltenen besonderen Fall, den der logarithmischen Reihe, und findet das Gesetz für die 1+x Nenner der Näherungswerthe von log, bei welcher Gelegenheit sich das wichtige Resultat ergab, dafs diese Nenner mit den Kugelfunctionen übereinstimmen, und dafs jeder Zähler sich von dem Producte des Nenners in log um einen Rest unterscheidet, dessen wesentlicher Theil wiederum eine hypergeometrische Reihe ist. (M. vergl. dort §. 18. Ein übersichtliches Gesetz für die Zähler in diesem Falle hat zuerst Herr Christoffel in seiner

Inaugural-Dissertation, Berlin 1856, später im 55sten Bande dieses Journals S. 68 gegeben. Dafs der Rest ein zweites Integral der bekannten linearen Differentialgleichung ist, von der eines durch den Nenner gegeben wird, findet sich im 26sten Bande dieses Journals, Formel (11.) bewiesen.) Nachdem ich, in Folge einer Aufforderung von Jacobi, die linearen Gleichungen, auf die man in diesem speciellen Falle durch Gaufs' Betrachtungen geführt wird, auch auf den allgemeineren übertragen hatte, dafs statt der logarithmischen Reihe F(1, a, 7) in einen Kettenbruch entwickelt wird, fand ich ihre Lösung, wodurch sowohl die Nenner des allgemeineren Kettenbruchs gefunden wurden, als auch das ähnliche Resultat für den Rest erwiesen war. Die Anwendung derselben Methode auf den allgemeinsten Fall, nämlich auf jene Quotienten, bot unübersteigliche Hindernisse dar.

Unterdessen hatte Eisenstein an verschiedenen Stellen dieses Journals neue Kettenbrüche ohne Beweis veröffentlicht, welche sich auf Reihen bezogen, die bei den die bei den elliptischen Functionen auftreten, und die zwar mit den von Gaufs gegebenen eine gewisse Aehnlichkeit haben, aber allgemeiner als diese sind. Von der Erwägung geleitet, dafs man den Kettenbruch kennt, wenn die Zähler und Nenner seiner Näherungswerthe, und in dem besondern Falle, dafs die Partialnenner sämmtlich 1 sind, wenn die Nenner der Näherungswerthe allein bekannt sind; dafs ferner meine Methode nicht die Kenntnifs des Kettenbruchs selbst, sondern nur seiner allgemeinen Form zum Auffinden der Näherungswerthe erfordert, gelang es mir (Bd. 32, S. 209 dieses Journals) durch Lösung linearer Gleichungen zuerst einige, später alle Entwickelungen von Eisenstein aufzufinden, und nachdem so die Verwandtschaft der Eisensteinschen mit den Gaufsschen Brüchen klarer hervorgetreten war, den Kern der Verallgemeinerung von Eisenstein zu entdecken (Bd. 32, S. 210-212). Die Uebertragung sämmtlicher Entwickelungen von Gauss und einiger von Kummer, die sich auf die Gaufssche Reibe bezogen, auf die nach diesem Principe verallgemeinerte, die ich mit dem Zeichen einführte, wurde im 34sten Bande dieses Journals mitgetheilt, und der II. Abschnitt jener gröfseren Abhandlung enthält Alles, was ich bis dabin über diese Kettenbrüche gefunden hatte. Nachdem dort gezeigt worden ist, wie auch die Nenner der Näherungswerthe des Kettenbruchs für (1, a, y) durch Auflösung linearer Gleichungen sich ergeben, setzte ich zum Schlusse des II. Abschnittes eine andere Methode zu demselben Zwecke aus einander, die sich jetzt endlich als geeignet erwies, auch für die Kettenbrüche der Quotienten,

die Zähler, die Neuner und den Satz über den Rest zu liefern, so dass meine Untersuchungen über diesen Gegenstand durch die vorliegende Arbeit ihren Abschlufs gefunden haben.

Es muss noch bemerkt werden, dafs, ehe ich die allgemeinsten Untersuchungen vollendete, mir ein Resultat des Herrn Christoffel bekannt war, der bereits die Nenner der Entwickelung eines Quotienten von zwei besonderen Gaufsschen Reihen, wenn ich nicht irre von durch Induction gefunden hatte.

c-x

ex
ex + e-x

Um eine Uebersicht über die folgende Abhandlung zu geben, bemerke ich, dafs §. 1 Gleichungen zwischen den Zählern P und Nennern enthält, welche bei allen Kettenbrüchen irgend eines Quotienten fo bestehen, wenn

f.

zwischen fo, fi und anderen Gröfsen f2, fs, etc. solche lineare Relationen existiren, wie sie am Anfange des §. 1 angegeben sind. Diese Beziehungen sind nicht neu und rühren zum Theil in derselben Form von Euler her; man findet sie auch im Wesentlichen in den dioptrischen Untersuchungen von Gaufs. Ich habe sie aber zur leichteren Uebersicht kurz abgeleitet, indem ich nur die allgemein bekannten Sätze über Kettenbrüche ohne weiteren Beweis brauchte. Da, wenn ein Quotient zweier bypergeometrischer Reihen ist, solche lineare Relationen bestehen, und f, wieder eine hypergeometrische Reihe wird, deren drei erste Elemente sich übrigens nur um ganze Zahlen von denen von f unterscheiden (wie man sofort aus dem I. Abschnitt von Gauss' Untersuchungen über die hypergeometrische Reihe und meiner Arbeit im 34sten Bande dieses Journals ersieht), so gelten die Formeln (2.), (3.), (4.) also auch für diese Functionen.

Ich verweile zunächst bei der Gleichung (4.). Setzt man hier ẞ=0, und a = y=, so ergiebt sich sofort das vorerwähnte Resultat von Gauss für den Rest bei der Entwickelung der logarithmischen Reihe und, wenn a und y allgemein bleiben, das allgemeinere, welches ich für diesen Fall oben angab; es bleibt, wie man sieht, selbst noch bestehen, wenn auch B allgemein ist (das genaue Resultat für diesen Fall findet man fertig angegeben §. 3, Formel 14), so dafs, wenn es nicht darauf ankommt, die Zähler und Nenner

P, und Q, selbst zu kennen, zur Kenntnifs des Satzes über den Rest ein weiteres Eingehen in die Eigenschaften der hypergeometrischen Reihe nicht erfordert wird. Einige specielle Fälle dieses Satzes sind bereits bekannt und von Herrn Bauer im 56sten Bande dieses Journals §. 9 angegeben. Er findet dieselben, indem er einige Functionen auf doppelte Art nach Kugelfunctionen entwickelt, und die gleichnamigen Coefficienten dieser Entwickelungen gleich setzt. Die Zähler und Nenner selbst, die bei ihm auftreten, hat er nicht angegeben.

Die Gleichungen (2.), (3.), (4.) enthalten nur drei nicht identische Gleichungen zwischen vier Zählern und Nennern P-1, Q-1, P, und Q. Eine vierte findet sich durch folgende Betrachtung: Man weifs, dafs wenn ein Kettenbruch

P..

Q

1

บ 1

Führt nun eine Reihe von Functionen fo, fi, f2, etc.

o

Ψι

f, und kennt man noch eine

Q- wird. immer On durch solche lineare Gleichungen, wie wir sie oben erwähnten, auf den ersten Kettenbruch als Anfang der Entwickelung von fo zweite Reihe von Functionen, Yo, 1, etc., die auf den zweiten als Anfang der Entwickelung von führen, so wird man aus jeder der drei Gleichungen, und hier genügt die eine (4.), eine neue bilden, in der die statt der f und statt P, Q, die Zähler und Nenner des neuen nten Näherungswerthes, also Q und Q, stehen. Eine solche Reihe von Functionen kennt man aber durch Gleichung (72.) der Arbeit im 34sten Bande, indem ich dort darauf aufmerksam machte, dafs durch Umkehrung des Anfanges der Entwickelung eines Quotienten wiederum der Anfang der Entwickelung eines ähnlichen Quotienten entsteht. Wir haben somit die gehörige Anzahl linearer Gleichungen, um die P und Q zu finden. Durch ihre Auflösung ergeben sich die Werthe im §. 2. die im §. 3 noch vereinfacht werden.

Nachdem im §. 4 einige Bemerkungen über die nachträgliche Verification dieser Formeln und über ihre Natur gemacht sind, behandeln die übrigen Paragraphen nur noch einige besondere Fälle.