Die folgenden Beispiele können mit geringerer Ausführlichkeit behandelt werden, da die Methode der Berechnung dieselbe bleibt. Wir wenden unsere Untersuchungen hier auf den Quotienten übergehen würde. Es werden dann die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche folgende Werthe erhalten: 2m (2m-1) Ꮖ 2m (2m−1)(2m—2)(2m—3) x2 2m (2m+7—1) 1.7 + 2m (2m—1) (2m+7—1)(2m+7—2) * 1.2.y(y+1)+', Das Gesetz, nach dem diese Reihen fortschreiten, ist leicht zu übersehen: bildet man nämlich eine Reihe, die ähnlich der hypergeometrischen ist, und nur statt der zwei Elemente a, ß im Zähler vier a, ß, d, & hat, im Nenner statt des einen y drei, y, n, 5, so sind vorstehende Reihen unter dieser enthalten, z. B. erhält man P2m, wenn man die Elemente des Zählers gleich —† (2m −1), —† (2m −2), k, k, die des Nenners gleich (2m-1), −(2m+y−1), y+1 macht und die Veränderliche gleich, darauf aber koo setzt. Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 3. 32 4x S. 8. Wir wenden nun unsere Formeln auf die den beiden früheren entsprechenden Entwickelungen an, welche durch 9 verallgemeinert sind; man hat dann nur statt der Formel (16.) die Gleichung (15.) bei der Summation zu gebrauchen. Dann ergeben sich folgende Zähler und Nenner des Kettenbruches, welcher aus (6.) für die Function (k, 1, 1, x), nachdem k gleich + (1—q-m)(1—ql~m) 1 P2m == 1+ Q2m = 1 (1—ql—2m)(1—q2—2m) ̄ ̄ ̄ (1—(7)(1—q3) 1-2m 1-gl-2m 1-q (1 — q1—2m) (1 — q2—2m) (1−q) (1 — q2) Die letztere Reihe ist für k 4(—m, 1—m—k, 1-2m, xqk) so dafs die Potenz von q, welche in dem ten Gliede mit für k∞, also den Bruch, dessen Zähler und Nenner respective sind: Hier wird, wenn wir wegen der gröfseren Ausdehnung der Formeln nur die allgemeinen Glieder geben: L (v) L (y+v)' (1 — q1—y—2m ) (1 — q2—y—2m ) . . . (1 — q¤—ɣ—2m) " (1 — qv−2m)....... (1 — q2v—2m−1 ) R (v) N (y+v—1) (1 L (v) K (y+v—1) ̊ (1 — q1−y—2m)... (1— q3—y—2m) 9 P2m+1 = 2 (y) = Q(v) & ( x + x) (1 — qv−2m)... (1 — q2v−2m−1 ) N(v)N(y+v) (1—q—r—2m)...(1—qv—1—y—2) Q2m+1=2(y−1) E (v) (y+v−1) -q—y—2m)... (1—qv-1—y—2m) wo, wie Bd. 34 Formel (83.), 2 die Eigenschaften besitzt, dafs Würde man m∞ setzen, so würde sich ergeben, dafs der Quotient der beiden Reihen, welchen wir hier betrachtet haben, gleich (1−q)(1—q¥+2) † (1−−q) (1—q3) (1—gr+1)(1—qr+2) +... wird. Diese überraschende Beziehung zeigt sich übrigens als einfache Folgerung des Satzes Bd. 34, V. Abschnitt, No. XVIII, welcher die Erweiterung des Eulerschen Es stimmen also die beiden Quotienten so überein, dafs ihre Zähler und ebenso ihre Nenner sich nur durch den Factor Ueber die Anzahl der verschiedenen Classen quadratischer Formen von negativer Determinante. (Von Herrn Kronecker.) Die Untersuchung derjenigen elliptischen Functionen, für welche complexe Multiplication stattfindet, hat mir höchst merkwürdige Formeln für die Anzahl der verschiedenen nicht äquivalenten Classen quadratischer Formen von negativer Determinante geliefert. Einige von diesen Formeln habe ich bereits in einer Notiz mitgetheilt, welche in dem Monatsberichte der hiesigen Akademie vom October 1857 abgedruckt ist; und zwar habe ich dort, da es mir nur darauf ankam den allgemeinen Character der Formeln anschaulich zu machen, diejenigen ausgewählt, welche sich mit einfachen Bezeichnungen geben lassen. In dem Folgenden werde ich aber die erwähnten Formeln sämmtlich aufstellen und führe zu diesem Zwecke mehrere Bezeichnungen ein: Es bedeuten eine beliebige positive ganze Zahl, m eine beliebige positive ungrade Zahl, r eine beliebige positive Zahl von der Form 8k — 1 und seine beliebige positive Zahl von der Form 8k+1. Ferner sei: G(n) die Anzahl aller nicht äquivalenten Classen quadratischer Formen für die Determinanten, F(n) die Anzahl der verschiedenen Classen solcher quadratischer Formen der D terminante -n, in welchen wenigstens einer der beiden aufseren Coefficienten ungrade ist; X(n) sei die Summe aller ungraden Divisoren von n, (n) die Summe sämmtlicher Divisoren von n, (n) der Betrag, um welchen die Summe der Divisoren von n, die gröfser als yn sind, die Summe derjenigen übersteigt, die kleiner als yn sind, p'(n) die Summe der Divisoren von n, die von der Form 8k±1 sind, vermindert um den Betrag der Summe derjenigen, die von der Form 8k +3 sind; '(n) die Summe der Divisoren 8k±1, die gröfser als vn, und der Divisoren 8k±3, die kleiner als yn sind, vermindert um die Summe derer von der Form 8k±1, die kleiner als vn, und derer von der Form 8k±3, die gröfser als yn sind; (n) der Betrag, um welchen die Anzahl der Divisoren von der Form 4k+1 die Anzahl derjenigen von der Form 4k-1 übersteigt; (n) der Betrag, um welchen die Anzahl der Divisoren von der Form 3k+1 die Anzahl derjenigen von der Form 3k-1 übersteigt; '(n) die halbe Anzahl der verschiedenen Auflösungen der Gleichung n = x2+64 y2 und 2 '(n) die halbe Anzahl der verschiedenen Auflösungen der Gleichung x2+3.64y2 in ganzen Zahlen, wobei aber die positiven und negativen Werthe von x und y als verschiedene und auch die Nullwerthe derselben zu berücksichtigen sind. Nach diesen Festsetzungen lassen sich die aus der Theorie der elliptischen Functionen resultirenden Beziehungen für die Classenanzahlen der quadratischen Formen negativer Determinante folgendermaafsen ausdrücken: I. F(4n)+2F(4n—13)+2F(4n—23)+2F(4n—32) +..... = 2X(n)+P(n)+¥(n), III. F(2m)—2F(2m—13)+2F(2m—23)—2F(2m−33)+... = —q(m), IV. 3G(m)+6G(m—11)+6G (m—22)+6G(m—33)+··· = P(m)+3¥(m)+34(m)+24(m), In den ersten sieben dieser Formeln ist die Reihe der Functionen F und G nur so weit fortzusetzen, als die dazu gehörigen Zahlen nicht negativ werden, so dafs, wenn man z. B. das letzte Glied in der ersten Formel mit F (4n—k2) bezeichnet, die Zahl durch die Bedingung k4n bestimmt wird. In der letzten Formel (VIII.) bezieht sich das Summenzeichen auf alle diejenigen verschiedenen positiven Zahlen k, für welche (sk2) ganz und gröfser oder gleich Null ist; und in allen Formeln ist F(0)=0, aber G(o) zu setzen. = Für die zahlentheoretischen Functionen F und G bestehen aufserdem folgende Fundamental - Beziehungen, welche ebenfalls aus der Theorie der |