Zurückführung dürfte von Wichtigkeit sein, weil die Analogie zwischen den Functionen X und einerseits und zwischen E und F andrerseits zu der Annahme berechtigt, dafs eine etwaige Bedeutung von (n) für die Darstellung der Zahl n durch eine quadratische Form näher liegen wird als die entsprechende Bedeutung von F(n). Namentlich auf Grund dieser Betrachtungen habe ich auch die obigen Reihen aufgestellt, in denen F(n) und (n) die Entwickelungscoefficienten bilden, aber es ist mir bisher noch nicht gelungen, befriedigende Resultate für die gesuchte weitere Bedeutung der Functionen F und daraus abzuleiten. Leichter scheint es, auf rein analytischem Wege die Eigenschaften der unendlichen Reihe auf der rechten Seite der Gleichung XI. insoweit zu ergründen und aufzustellen, dafs man vermittelst derselben aus dieser Gleichung allein die obigen acht Formeln sämmtlich entwickeln kann. Hierzu bedürfte es nämlich nur gewisser Umformungen, deren jene Reihe fähig ist, wenn man in derselben q mit den verschiedenen achten Wurzeln der Einheit behaftet annimmt; Umformungen, welche sich andrerseits durch Benutzung der Gleichungen I. bis VIII. ergeben. Ich bemerke schliefslich, dafs die Formeln V. und VI. zur Berechnung der Classenanzahlen der quadratischen Formen von negativer Determinante vorzüglich geeignet sind. Ich habe auch bereits nach einer Verbindung dieser Formeln den Werth von F(m) für alle ungraden Zahlen m bis zu 10000 ausrechnen lassen, wobei die Leichtigkeit und Sicherheit der Rechnung nichts zu wünschen übrig liefs. Die Anzahl der eigentlich primitiven Classen der quadratischen Formen von negativer Determinante ergiebt sich aus den be-. rechneten Werthen von F(m) mit leichter Mühe. Berlin, im December 1859. Von den den Gammafunctionen und einer besonderen Art unendlicher Producte. (Von Herrn G. Bauer zu München.) Gaufs bemerkt in seiner Abhandlung „Disquisitiones generales circa seriem infinitam etc." dafs die Stirlingsche Formel für log (1.2.3...a) überhaupt für log 1'(a+1) gültig sei, wenn a irgend eine positive Zahl bezeichnet. In dem Aufsatze über,,die Darstellung gewisser Functionen durch die Eulersche Summenformel" im 56sten Bande dieses Journals verificirte Herr Lipschitz die so verallgemeinerte Stirlingsche Formel und bestimmte zugleich den Rest der Reihe, die sie enthält. Ich wurde biedurch veranlafst eine frühere Untersuchung wieder aufzunehmen, welche zum Zwecke hatte unmittelbar aus dem Integralausdruck eine convergente Reihenentwicklung für log I'(a) herzustellen, und welche mich zu einem neuen Ausdruck für Ã(a) in Form eines unendlichen Products führte. Dieses Product ist so beschaffen, dafs, wenn a wächst, die ersten Factoren unmittelbar den Näherungswerth 1/2л.eliefern, während die übrigen Factoren gegen die Einheit convergiren, und die Entwicklung von log (a) aus diesem Product nimmt die Form der Stirlingschen Formel an. Man erhält hiebei zu gleicher Zeit verschiedene, so viel mir bekannt, neue independente Ausdrücke für die Bernoullischen Zahlen. Andererseits lässt sich auch aus dem Producte leicht der von Gauss in der oben erwähnten Abhandlung für (a+1) gegebene Ausdruck ableiten. dlog r(a) да Durch Producte ähnlicher Art lassen sich endlich auch die Functionen und e darstellen, und zwar unterscheiden sich die Producte, welche diese beiden Functionen darstellen, nur in den Exponenten der einzelnen Factoren. 9 ди 1. Nennen wir die Function Əlog I(a) welche Gauss mit (a-1) bezeichnet, um die Formeln gleichmässiger zu machen, hier w(a), so hat man nach Dirichlet (Sur les intégrales Eulériennes Bd. 15, S. 260 dieses Journals) für y(a) den Integralausdruck Aus diesem Ausdruck für (a) läfst sich sogleich entnehmen, dafs wenn a gegen Unendlich convergirt, (a)-log(a) gegen Null convergirt. In der That ist mithin log a = √( 200 ду y e in allen Elementen des Inte grals, in welchen y einen endlichen Werth hat; diejenigen Elemente aber, in welchen y unendlich grofs ist, tragen ohnehin nichts zum Werthe des Integrals bei. Hierdurch ist obige Behauptung gerechtfertigt. Differentiirt man die Gleichung (1.) nochmals nach a, und setzt eine Reihenentwicklung, welche convergent ist für jeden positiven Werth von a. 2. Gaufs hat in der schon erwähnten Abhandlung über die hypergeometrische Reihe für '(a) die folgende Reihe gefunden: sein. Bevor ich weiter gehe, will ich die Gleichheit dieser beiden Reihen direct beweisen. Zu diesem Zwecke betrachten wir die allgemeinere Reihe Schliefsen wir den Fall aus, wo k eine ganze negative Zahl ist, so ist diese Reihe convergent für jeden Werth von k und jeden positiven Werth von a. Für k=0 geht sie in die Reihe wodurch f(k, a+1) auf f(k, a) k = zurückgeführt wird, ausgenommen wenn =a+1 ist. Andererseits giebt diese Relation durch wiederholte Substitution, da f(k, a) mit wachsendem a gegen Null convergirt, für f(k, a) die Reihe 1 a-k+1 (a—k+1)(a−k+2)+ (a−k+1)(a−k+2)(a—k+3) (a+1)(a+2)(a+3)'(a+4) welche abbricht, so oft k um eine ganze Zahl gröfser ist als a. a(a+1) + (a+1)*(a+2) † (a+1)(a+2)2 (a+3) + Für k-1 giebt diese Reihe 1 f(1,a) = a(a+1) + (a+1)*(a+2) + (a+2)*(a+3) + (a+3)o(a+4)+·· und für k=0 f(0, a) = 1/ a 1 eine Gleichung, deren Richtigkeit von selbst erhellt. Aus diesen beiden Reihen. 3. Verweilen wir noch etwas bei der Reihe f(k, a). Dieselbe läfst und aus dieser Relation und der Relation (6.) ergiebt sich Mittelst dieser Gleichung ist f(k+1, a) auf f(k, a) zurückgeführt, oder umgekehrt, ausgenommen wenn k=0 oder ka ist. Ist also k eine ganze positive Zahl, so läfst sich f(k, a) auf f(1, a) zurückführen und hängt mithin von (a) ab. Eine ähnliche Aenderung wie die, welche die Function f(k, a) erleidet beim Uebergang von k=0 auf k=1, erleidet dieselbe auch beim Uebergang von ka+1 auf k=a. Für k=a+1, wie überhaupt für =a+n, wo n eine ganze positive Zahl, ist f(k, a) eine rationale Function von a (nach Nr. 2), für k=a hingegen hängt der Werth von f(k, a) ebenfalls von '(a) ab, wie aus einer bemerkenswerthen Transformation mittelst k = |