wo u einen unbekannten Factor bedeutet. Alsdann kann man für die Bewegungsgleichungen schreiben:

ouμy cos U, ov = kya (a2c2) sin U, ow=

-μα,

-μa cos U. Die Projectionen des einen conjugirten Halbmessers sind also μy, 0, -μa, die des andern O, —kyα(a2—c2), 0. Damit die Curve ein Kreis sei, müssen beide Halbmesser gleiche Längen haben; und da a2+2=1, so bat man demnach:

und wenn man jetzt die Gleichung a2+2 =1 benutzt, so hat man:

Die Werthe von a, y sind hier, wirklich reell, werden aber durch Vertauschung der a, b, c imaginär. Es giebt daher Richtungen circularpolarisirter Strahlen nur in der Ebene der gröfsten und kleinsten Axe. Und diese Richtungen sind genau dieselben, welche bei linearpolarisirenden Medien die optischen Axen genannt werden; die Differenz der Quadrate der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten für diese Wellen ist gleich dem Doppelten der Constante k, welche für die Polarisationseigenschaften des Mediums characteristisch ist.

Man sieht sogleich, dafs es für diese Betrachtungen gleichgültig ist, ob man von der Fresnelschen oder von der Neumannschen Hypothese ausgeht.

Aus dem Obigen folgt, dafs eine Platte, gegen eine optische Axe senkrecht geschnitten, die Eigenschaft hat, die Polarisationsebene zu drehen; und zwar rechts oder links, jenachdem die Bewegung in der Welle von gröfserer Fortpflanzungsgeschwindigkeit in gleichem oder entgegengesetztem Sinne erfolgt, wie bei dem Zeiger einer Uhr. Dies combinirt mit den Resultaten des §. 8 zeigt ohne Weiteres, dafs die dort positiv genannten Krystalle in der Richtung der optischen Axen rechtsdrehend sind, die negativen aber linksdrehend.

S. 11.

Anwendung auf einaxige Krystalle (Quarz).

Es ist sehr leicht, die abgeleiteten Resultate auf einaxige Krystalle anzuwenden. Es sei ba, und also die Z-Axe die des Krystalls; ferner

B=0, was unbeschadet der Allgemeinheit angenommen werden kann; und S der Winkel der Wellennormale gegen die Z-Axe, so dafs

α = sins, y= cos C.

Die Gleichung der Wellenfläche geht dann über in

(76.) (m2 -- a3) (m2 — c2 sina cos2)

= k2.

Sie besteht aus zwei Rotationsflächen, welche innerhalb und aufserhalb einer Kugel vom Radius a liegen; die Längen der Radien Vectoren längs der optischen Axe sind gegeben durch die Werthe

a2 - k, a2 + k ;

und überhaupt sind die ein und derselben Richtung angehörigen Fortpflanzungsgeschwindigkeiten m,, m, durch die Gleichung verbunden:

Benutzt man die Gleichungen (76.), (77.), um die Ausdrücke (73a.) für die Coordinaten des Strahls zu transformiren, und bezeichnet man durch den Winkel des Strahls (welcher im Hauptschnitt liegt) gegen die Z-Axe, so kommt:

was dazu dient, die Lage des Strahls vollkommen zu bestimmen.

Die Bewegungsgleichungen (62.) oder (63.) nehmen die Gestalt an:

Aus dieser Form sieht man, dafs die Ellipsen bereits auf die Hauptaxen bezogen sind, dafs also eine derselben immer im Hauptschnitt liegt, die andere senkrecht dagegen.

Um die Gleichungen der Ellipsen in ihrer Ebene darzustellen, genügt es, für u, w die Coordinate

sw sinu cos

einzuführen, wodurch die Gleichungen (78.) mit Beseitigung eines gemeinschaftlichen Factors übergehen in:

Sei m die gröfsere Wurzel der quadratischen Gleichung; dann ist nach (77.) m2 > a2, m2<a2; and ferner ist nach (76.)

Ist also c2 a2, so ist m2 — a2> a2 — m2, daher auch

und man sieht also dafs, nach der Fresnelschen Hypothese, wenn die ungleiche Axe die gröfsere ist, die grofse Axe der Ellipse mit grösserer Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Hauptschnitt liegt; wenn dagegen die ungleiche Axe die kleinere ist, so liegt die grofse Axe der Ellipse mit gröfserer Fortpflanzungsgeschwindigkeit gegen den Hauptschnitt senkrecht. Nach der Neumannschen Hypothese sind diese Verhältnisse nur umzukehren.

Circulare Polarisation findet nur in der Richtung der Axe statt; und zwar ist in dieser Richtung der Krystall rechtsdrehend oder linksdrehend, jenachdem k positiv oder negativ ist.

Ich schliefse mit einer Bemerkung, welche einen scheinbaren Widerspruch der vorliegenden Theorie mit der Erfahrung, sowie mit der von Maccullagh aufgestellten Theorie zu beseitigen geeignet ist. In der letzteren ist es wesentlich, dafs zu den gewöhnlichen optischen Gleichungen Glieder hinzutreten, welche mit der reciproken Wellenlänge proportional sind; während in dem Vorliegenden die Gröfse k mit der Wellenlänge direct proportional ist. Dies scheint also darauf hinzuweisen, dafs, wenigstens bei einer Zahl von Substanzen, der erste Theil der Grundfunction K, welcher im §. 6 (43.) allein beibehalten worden ist, unbedeutend sein mufs gegen den folgenden Theil, welcher die vierten Potenzen von a, ß, y enthalten würde, und welcher in der That der Wellenlänge nach (5.) umgekehrt proportional wäre.

Man ist aber in der ganzen vorliegenden Untersuchung darauf geführt worden, dafs es überhaupt bei dem möglichen Grade der Annäherung nicht thunlich ist, in den die Circularpolarisation bedingenden Gliedern die für die verschiedenen Axen eintretenden Unterschiede festzuhalten; sondern dafs vielmehr diese so behandelt werden können, als ob das Medium unkrystallinisch wäre. Daraus geht aber hervor, dafs man höhere Glieder der Entwickelung von Kohne Weiteres dadurch berücksichtigen kann, dafs man die Gröfse k aus den für unkrystallinische Medien vollkommen strengen Gleichungen §.5 (38.) entnimmt, und dafs man also für k eine nach absteigenden Potenzen von λ2 geordnete Reihe setzen kann; wodurch offenbar in den Gleichungen der obigen Theorie durchaus nichts verändert wird. Es hat also auch keine Schwierigkeit anzunehmen, dafs das erste Glied jener Reihe unbedeutend sei gegen das zweite, und dafs also k wesentlich der reciproken Wellenlänge proportional sei. Und diese Annahme führt dann sehr leicht auf die Gleichungen Maccullaghs.

Carlsruhe, den 7ten October 1859.

Ueber eine Gattung von Curven vierten Grades, welche mit den elliptischen Functionen zusammen

hängen.

(Von Herrn Siebeck zu Liegnitz.)

Weun enn einige der wichtigsten Eigenschaften der Ellipse am einfachsten mittelst der Kreisfunctionen, und die diesen entsprechenden Eigenschaften der Hyperbel mittelst der hyperbolischen Functionen hergeleitet werden, so kann von einem allgemeineren Standpunkte aus nach solchen Curven gefragt werden, deren Wesen in den elliptischen Functionen seinen adäquaten Ausdruck findet. In dem nachfolgenden Aufsatze habe ich eine allgemeine Erzeugungsweise solcher Curven gegeben, welche auf einem ähnlichen Princip beruht, wie die Erzeugungsweise der Kegelschnitte mittelst des bekannten Gesetzes der constanten Summe oder Differenz der Entfernungen der Punkte eines Kegelschnitts von den Brennpunkten. Ist nämlich S die Entfernungssumme, D die Entfernungsdifferenz eines Punktes P von zwei festen Punkten A und B, und läfst man P sich so bewegen, dafs fortwährend mS2+nD2=4a2 (wo m, n, a constant sind), so giebt es alsdann noch ein Paar reelle und zwei Paar imaginăre feste Punkte, in Bezug auf welche sich der Punkt P nach demselben Gesetze bewegt. Ich beweise, dafs diese festen Punkte Brennpunkte der in Rede stehenden Curven sind, dafs insbesondere Curven dieser Art, welche in diesem Sinne confocal sind, sich rechtwinklig schneiden. Ferner habe ich zu dem bekannten Gesetz, wonach die Radien Vectoren eines Kegelschnittpunktes mit der Tangente desselben gleiche Winkel bilden, ein entsprechendes für diese Curven hergeleitet. Schliefslich habe ich den Zusammenhang dieser Curven mit sin amu, cos amu, amu nachgewiesen.

I.

Seien A und B zwei feste Punkte einer Ebene, deren Entfernung 2a gesetzt wird, P ein Punkt, welcher sich so bewegt, dafs wenn AP+PBS, AP-PB D,