folglich für Werthe von ya, die positiv und kleiner als 1 sind:

u

S'log (1—u) d

x-u

du [ua—y—1 (1 — u)y—¤ (x — u)—¤—1] du

`μ¤—' ( 1 — u) ——~—1 (x — u)—¤—2 [(1 − u) (x—u) — u(x−u)+u(1—u)]du.

Man hat daher nach einigen Reductionen:

U¤—ɣ ( 1 — u)Ÿ—a—1 (≈ — u) ̃ ̃ ̄2 [x (2α +1)(1 − u) − y (x — u)] du
— −

oder

x(1−x)y"+[y— (2a +1)x]y'— a2 y

— ƒ'u2 ̄v (1 — u ) ---1 (x — u)—'—2 [(a — y — u+1)x + yu — au3] du,

was dem frühern zu Folge gleich Null ist; folglich genügt wirklich der Gleichung (2.) das Integral (3.).

Ist a eine ganze negative Zahl, etwa gleich -m, so läfst sich, wie leicht einzusehen, das erste particulare Integral in folgender Form wiedergeben:

unter 1⁄4, ▲1, A2, Am constante Zahlen verstanden.

...

Wien, 1859.

Bemerkung zur vorstehenden Note.

(Vom Herausgeber.)

Die von Herrn Spitzer für den besonderen Fall des Zusammenfallens der beiden Elemente a, ß gegebene vollständige Integration der Differentialgleichung (1.) der hypergeometrischen Reihe ergiebt sich ohne Rechnung aus ihrer Integration im allgemeinen Fall.

Unter den bekannten auf Seite 152 des vorigen Bandes angeführten Integralen der Differentialgleichung (1.) befindet sich das folgende mit 3) bezeichnete:

wo das Zeichen F in der von Gauss eingeführten Bedeutung genommen ist. Abgesehen von einem constanten Factor ist dies bekanntlich

und

welches der Kürze wegen mit (a, ẞ) bezeichnet werden möge. Dann hat man wegen der Symmetrie der Differentialgleichung (1.) in Bezug auf B die beiden particularen Integrale

(a, B) und (ẞ, a).

An der Stelle des letzteren kann man auch als zweites particulares Integral das folgende

❤(α, ß) — q(ß, a)

α

β

(a=ẞ)

(a=B)"

d. h. nach Einführung des bestimmten Integrals, welches mit (a, B) bezeichnet worden ist,

u (1-1)

du

gefunden wird, während das erstere in (α, α), d. h. in

ua—Ÿ (1 — u)—a—1 (x — u) ̃o du

übergeht. So erhält man die beiden particularen Integrale der Differentialgleichung (2.), welche Herr Spitzer durch wirkliche Differentiirung verificirt hat.

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1.

11

Ueber die Integration der Differentialgleichung

day = ±y

xm
dx

durch bestimmte Integrale.

(Von Herrn S. Spitzer zu Wien.)

Kummer hat im 19ten Bande dieses Journals die Gleichungen der Form

auf eine sinnreiche Weise in dem Falle integrirt, wo m eine ganze positive Zahl ist. In dem hier vorliegenden Aufsatze will ich zeigen, wie sich die Gleichung

(1.) xm

dry
dx

= εy,

wo &= ±1 und meine ganze Zahl ist, die >2n, durch eine Methode, die die gröfste Analogie mit der Kummerschen hat, integriren läfst.

wenn man nur zwischen den n+1 willkürlichen Constanten, die in Folge der Gleichung (3.) in dieses Integral eintreten, eine gewisse Bedingungsgleichung aufstellt.

Um dies zu beweisen, bringe ich die Gleichung (4.) in folgende Form:

Setzt man hierin den in (5.) stehenden Werth, so hat man, da

Wird nun der sich hieraus ergebende Werth von +1(+1)() in die Gleichung (7.) eingeführt, so erhält man

น

y (4) du+m/^u~~e=4 (4) du
+mf*

welche Gleichung, nach u von 0 bis integrirt, unter der gemachten Voraussetzung ein mit (8.) übereinstimmendes Ergebnifs liefert.

sind, und C1, C2, ... Cn+1 willkürliche Constanten bedeuten. Man überzeugt sich von der Richtigkeit des Integrals (10.) am einfachsten dadurch, dafs man die Exponentialgröfsen in unendliche Reihen verwandelt, dieselben mit " multiplicirt, und dann diese Reihen in die Gleichung (9.) einführt.

und C1, C2,

9

...

+ die n+1 Wurzeln der Gleichung u+11 sind,

=

C+1 willkürliche Constanten bedeuten, zwischen denen eine

gewisse Bedingung obwaltet, die nun aufzustellen ist.

Zu dem Behufe substituire ich das gefundene Integral (12.) in die Gleichung (11.), werde aber vorher der Einfachheit halber das Integral (12.) umgestalten. Denn da y sich folgendermafsen schreiben läfst:

u7+1 n+1