Diese Bemerkungen fasse ich zusammen im folgenden

Lehrsatz 4.

Wenn die Determinante einer homogenen ganzen Function u der ,,unabhängigen Variabeln 1, 2, ... x, mten Grades, identisch verschwin„det, so haben die partiellen Differentialquotienten U11, 2U12, 2U137

"

U22,... Unn der Determinante, nach den Componenten genommen, einen, „allen gemeinschaftlichen Factor M vom (n-1) (m-2)ten Grade, und ,,die genannten partiellen Differentialquotienten stellen sich unter der „Form

und erwägt, dafs ▲ identisch verschwindet, so erhält man, nach der Division mit a,, die identische Gleichung

Wenn die Determinante einer homogenen ganzen Function von „n Variabeln identisch verschwindet, so giebt es immer n Constanten, „mit welchen die ersten partiellen Differentialquotienten der Function zu ,,multipliciren sind, damit die Summe dieser Producte identisch ver„schwinde."

Wie diese n Constanten bestimmt werden können, ist aus dem Lehrsatz (4.) zu entnehmen.

Ich behaupte nun, dafs durch die Substitutionen:

WO 21, 22,

...

z, beliebige lineäre Functionen der n-1 neuen Variabeln Y1, Y2,... Yn-1 von der Form = bî y1 + b2 y 2 + ... b-1-1 sind, und die λ

nte Variabele aus der Function u ist, die letzte Variable ganz verschwindet. In der That: macht man in der Function u die angegebenen Substitutionen, so erhält man durch die Entwickelung nach aufsteigenden Potenzen von λ:

In dieser Entwickelung bedeuten w und Dw die Ausdrücke, in welche u und а1u1 +α2u2+ ... a,u, übergehen, wenn man in denselben 1, 2,... ≈, statt

...

Da aber der Ausdruck au1 + α2 u2+ anun identisch verschwindet, so verschwindet auch Du identisch. Verschwindet aber Dw identisch, so verschwinden auch die partiellen Differentialquotienten dieser Function, nach 1, 2,... genommen, identisch: mithin auch D'w. Verschwindet ferner D'w identisch, so verschwinden aus demselben Grunde auch D3w, D*w, Dm w. Es fallen also aus der Entwickelung von u nach Potenzen der nten Variabeln diese gänzlich weg, und es wird durch die angegebenen Substitutionen uw zu einer homogenen Function der n-1 Variabeln Y1, Y2, Yn-1

...

Hierdurch ist nicht allein der Lehrsatz (3.) bewiesen, sondern auch der Weg angedeutet, auf welchem man zu den lineären Substitutionen gelangt, durch die eine gegebene homogene ganze Function auf eine andere zurückgeführt werden kann, welche eine Variable weniger enthält; unter der Voraussetzung, dafs Dies bei der gegebenen Function möglich ist.

Für die Fälle n=3 oder n=4 ergeben sich folgende bemerkenswerthe geometrische Sätze:

Lehrsatz 6.

Wenn u= O die homogene Gleichung einer ebenen Curve mter „Ordnung zwischen drei Linearcoordinaten bedeutet, so ist die Bedin

„gung, dafs diese Curve m von einem und demselben Puncte ausge,,hende gerade Linien vorstelie, das identische Verschwinden der Deter,,minante der Function u."

وو

Lehrsatz 7.

,Wenn u0 die homogene Gleichung einer Oberfläche mter „Ordnung zwischen 4 Liniencoordinaten bedeutet, so ist die Bedingung, „dafs diese Oberfläche ein Kegel sei, das identische Verschwinden der „Determinante A der Function u."

Königsberg im März 1851.

12.

Développement de deux formules sommatoires.

(Par Mr. le Dr. Schlömilch, professeur à l'université de Jena.)

On sait que toute fonction F(x) peut être développée en série infinie, de manière que l'on a

Comme une opération quelconque entraine une opération inverse, les équations proposées conduisent immédiatement au problème, de trouver la fonction F(x), si l'on connait a priori la forme des coefficients, (n) et (n), c'est à dire, au problème de sommer les séries à droite. Nous donneront ici la solution de ce problème important, en développant les deux formules sommatoires

(1.)_{f(0)+f(1) cos x +f(2) cos 2x +f(3) cos 3x+

qui ont lieu pour chaque x compris entre les limites 0 et x=

I.

Nous commençons par quelques recherches sur la valeur de l'intégrale double

dans laquelle F"(≈) désigne la fonction dérivée de F(x). En effectuant l'intégration relative à y, on trouve d'abord

Pourvu que la fonction F"(x+yy-1) soit finie et continue entre les limites x= =, xet yn, y=Y, l'ordre des intégrations relatives à ret y peut être renversé. Cela donne au lieu de (2.):

En égalant les deux valeurs de l'intégrale double, qu'on vient de trouver, on a la formule:

√ - 1 / {r(x + X √−1) − F(x+7√−1)} dz

(4.)

(5.)

- =

Y+ et nous supposons

F(x+∞ √-1) = 0, (∞>x>0),
F(∞+y√-1) 0, (∞>y>—∞).

L'équation précédente se réduit alors à celle-ci:

Soit p. e. F(x)=

f(x) a+z

et f(x) une fonction dont la dérivée f'(z) demeure finie et continue entre les limites x 0, x∞, y=x, y = +∞,

=