nicht Gränz-Elemente sind, nenne ich Ecken oder Seiten der offenen Figur. Wenn man nun (Fig. 3.) ein Element a zum Anfangs - Element mehrerer offenen Figuren macht, dann unter den so gewonnenen offenen Figuren zwei beliebige so zusammenschliefst, dafs sie ein gemeinschaftliches End - Element erhalten, welches zugleich Anfangs - Element einer neuen offenen Figur wird, und beliebig fortfährt, die jedesmal noch übrigen offenen Figuren auf die angegebene Weise paarweise zusammenzuschliefsen, so will ich die so hervorgehende Figur eine Verkettung gerader Linien nennen; das Element a soll das Anfangs-Element dieser Verkettung, die sämmtlichen übrigen Gränz-Elemente der offenen Figuren sollen die Übergangs-Elemente der Verkettung heifsen, während ich die Ecken und Seiten der offenen Figuren zugleich als Ecken und Seiten der Verkettung setze. Wenn insbesondere zuletzt nur Eine offene Figur übrig bleibt, deren End-Element mit dem Anfangs-Element a der Verkettung zusammenfällt, so nenne ich die Verkettung eine geschlossene; und zwar vom nten Grade, wenn von dem Anfangs-Element (r) n offene Figuren ausgehen (die letzte mit eingerechnet, welche zum Elemente hat). Dann lautet der Satz wie folgt:

Wenn sich eine Verkettung nten Grades lineal, d. h. so bewegt, dafs alle Seiten durch feste Puncte gehen und alle Ecken in festen Geraden bleiben, so beschreibt das Anfangs-Element der Verkettung ein Gebilde nten Grades."

Wendet man diesen Satz z. B. auf die Curven zweiter, dritter und vierter Ordnung an, so erhält man folgende abgeleiteten Sätze:

1. Wenn in einer geschlossenen Figur alle Ecken und Seiten, mit Ausnahme einer Ecke, sich lineal bewegen (d. h. die Ecken in festen Geraden, die Seiten um feste Puncte), so beschreibt diese letzte Ecke einen Kegelschnitt. 2. Wenn drei offene Figuren, mit gemeinschaftlichen Gränz-Elementen, sich lineal bewegen (d. h. so, dafs die Ecken in festen Geraden bleiben, die Seiten durch feste Puncte gehen), so beschreibt jedes der Gränz-Elemente ein Gebilde dritten Grades (S. dieses Journal Band 36.).

3. Wenn fünf offene Figuren lich lineal bewegen, von denen vier alle dasselbe Anfangs-Element (x) und paarweise dieselben End-Elemente (y, ≈) haben, während die Gränz-Elemente der fünften mit diesen End-Elementen (y, z) zusammenfallen, so beschreibt das Anfangs - Element (x) ein Gebilde vierten Grades (S. Fig. 3.).

Ich füge hier noch zwei Bemerkungen hinzu, welche zur Erläuterung und richtigen Anwendung des Hauptsatzes dienen werden. Zuerst ist es klar, dafs von den offenen Figuren einige zusammenfallen können, und zwar in der Art, dafs sie auch gleiche Gränz-Elemente haben. Dies Zusammenfallen wird sich dann in der Verkettung selbst nur dadurch zu erkennen geben, dafs ein folgendes Übergangs- Element mehr als drei Gränz - Elemente in sich vereinigt. Der Grad der Verkettung, und also auch des erzeugten Gebildes, wird sich auch in diesem Falle leicht angeben lassen. Es werde z. B. in (Fig. 3.) der Weg gesucht, den g beschreibt, also g als Anfangspunct der Verkettung gesetzt. Alsdann gehen von dem Übergangs-Element x, aufser den beiden offenen Figuren, die von y direct nach gehen, noch zwei offene Figuren aus: mithin müssen jene ersteren beiden doppelt gerechnet werden, und es ist die Verkettung vom fünften Grade; y beschreibt also eine Curve fünften Grades, und Dasselbe gilt von z. Es würde sich leicht nachweisen lassen, dafs in solchen Fällen jedesmal Curven mit Doppelpuncten erzeugt werden (Vergl. darüber die Abhandlung in dem 31. Bande Seite 20). Doch möge dieser Nachweis dem Leser überlassen bleiben.

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf die Übergangsfälle, in welchen der Grad des Gebildes scheinbar niedriger wird. Dies kann auf zweifache Art geschehen, indem entweder die ganze Function nten Grades f(x, y), welche, gleich Null gesetzt, die Curve bestimmt, in Factoren sich zerfällen läfst, von denen zwei oder mehrere einander gleich sind: oder wenn Coëfficienten Null werden und dadurch die Glieder höherer Grade wegfallen; ja es könnten alle Coefficienten Null und dadurch die Curve ganz unbestimmt werden. In allen diesen Fällen wird man jedoch durch Variation der Constanten sogleich die Curve nter Ordnung wieder in Evidenz bringen können; und insofern wir also jene besondern Fälle nur als Übergangsfälle betrachten, in denen die allgemeinen Constanten gewisse besondere Werthe annehmen, werden wir auch diese Übergangsgebilde als Gebilde nten Grades setzen müssen. Nur unter dieser Voraussetzung hat der aufgestellte Satz seine vollkommen allgemeine Bedeutung; wie denn auch alle allgemeinen Sätze über algebraische Curven nur unter dieser Voraussetzung gelten. Schliefst man das unbestimmte Gebilde nten Grades aus und nimmt an, dafs die sämmtlichen Coëfficienten der Glieder der m höchsten Grade verschwinden, so bleibt die Curve vom (nm)ten Grade; und um

sie als Curve nten Grades aufzufassen, hat man m gerade Linien, welche ins Unendliche fallen, mit der Curve (nm)ter Ordnung zusammenzufassen. Obgleich das so eben Gesagte hinlänglich bekannt ist, so glaubte ich es doch hier noch einmal in Erinnerung bringen zu müssen, da die Art, wie wir aus einer Gleichung nten Grades die lineale Erzeugung der betreffenden Curve ableiteten, stets, wenn die Gleichung mehr als ein variables Glied enthält, auf ein Gebilde von höherem als dem nten Grade hinführt, welches sich aber in ein Gebilde nten Grades und in eine Reihe von geraden Linien die ins Unendliche fallen, zerfällen läfst. Ich denke, auf diese besonderen Verhältnisse in einer späteren Abhandlung zurückzukommen.

Stettin, im Juli 1851.

20.

Die höhere Projectivität und Perspectivität in der Ebene; dargestellt durch geometrische Analyse.

(Von Herrn Prof. Dr. H. Grafsmann, Oberlehrer der Mathematik zu Stettin.)

Die fruchtbaren Beziehungen der Perspectivität und Projectivität, wie sie von Steiner zuerst mit so viel Glück bearbeitet sind, und die entsprechenden Beziehungen für Curven höherer Grade ergeben sich aus der geometrischen Analyse, wie ich sie besonders im 31ten Bande dieses Journals entwickelt habe, so unmittelbar und leicht, dafs man nur nöthig hat, die fortschreitende Bildung eines geometrischen Productes mit einem variablen Puncte oder Strahl mit Aufmerksamkeit zu verfolgen, um jene Beziehungen in ihrer ganzen Einfachheit und Anschaulichkeit vor Augen zu haben. Der Übersicht wegen

werde ich den Algorithmus, wie ich ihn in der angeführten Abhandlung dargestellt habe und ihn hier anwenden will, ins Gedächtnifs zurückrufen. Ich verstehe nämlich (abgesehen von den in meiner Ausdehnungslehre zugleich mit dargestellten metrischen Werthen der räumlichen Gröfsen) unter ab die Verbindungslinie der beiden Puncte a und b, unter AB den Durchschnittspunct der beiden Geraden A und B, und setze ab oder AB Null, wenn a und b oder A und B zusammenfallen. Endlich soll die Gleichung Ab 0 ausdrücken, dafs der Punct b in der Geraden A liegt. Überall werde ich die Puncte mit kleinen, die Linien mit grofsen Buchstaben bezeichnen und festsetzen, dafs, wenn in einem solchen Ausdrucke keine Klammern stehen, die Verknüpfung von der Linken zur Rechten fortschreiten soll. Also wird z. B. unter abc der Durchschnitt der beiden Geraden ab und c zu verstehen sein. Ich werde solche Ausdrücke planimetrische Producte nennen *). Zugleich erinnere ich an das in der erwähnten Abhandlung mitgetheilte Resultat, dafs, wenn in der Gleichung Ab=0 A und 6 planimetrische Producte von Puncten und Linien sind und in diesen beiden Producten der veränderliche Punct a zusammen n mal als Factor vorkommt, daraus zwischen den Coordinaten von a

*) Nach der in meiner „Ausdehnungslehre" (§. 127, 128) gegebenen Nomenclatur würde ich sie „auf die Ebene bezügliche Producte" nennen müssen; womit der hier gewählte Ausdruck gleichbedeutend ist.

eine Gleichung nten Grades entspringt, also a eine Curve nter Ordnung beschreibt. Diesen Satz, der eine Erweiterung des bekannten Pascalschen Satzes ist, habe ich in meiner letzten Abhandlung (S. 187 dieses Bandes) in der Art ergänzt, dafs auch umgekehrt jede algebraische Curve sich in der so eben angegebenen Weise, d. h. hier durch eine Gleichung darstellen läfst, deren eine Seite Null und deren andere ein planimetrisches Product ist, welches den veränderlichen, die Curve beschreibenden Puncta als Factor enthält. Noch will ich der Bequemlichkeit wegen folgende Bezeichnungen mir erlauben, die auch schon sonst in analoger Weise üblich sind. Nämlich, wenn zwei Puncte a und b oder zwei Gerade A und B zusammenfallen, so will ich Dies durch

a b, A = B

ausdrücken; welche Formeln also identisch sind mit den Gleichungen

Ferner soll durch Ab.c, wenn der Punct b nicht in der Geraden A liegt, gleichfalls der Punct c dargestellt werden, so dafs also

Ab.cc, wenn AB ungleich Null ist.

Um den Algorithmus flüssiger zu machen, werde ich die einfachsten Umgestaltungsformeln ableiten. Unmittelbar leuchtet ein, dafs

(1.) abba,
ab ba, AB = BA

ist. Ferner, wenn in dem Product abC, welches den Durchschnitt der beiden Geraden ab und C darstellt, der Punct b in der Geraden C liegt, so wird abCb sein, wenn nicht etwa auch a in C liegt; in diesem letzteren Falle ist aber offenbar abC0. Beides läfst sich zusammenfassen in die Gleichung (2.) abc= aC.b,

welche stets gilt, wenn b in C liegt, d. h. bC=0 ist. Eben so ist, reciprok, (3.) ABC Ac. B,

wenn c in B liegt. Da ich von dieser Umgestaltung häufig Gebrauch machen werde, so will ich dieselbe in Worten ausdrücken:

„Wenn von den fortschreitenden Factoren eines planimetrischen Productes zwei aufeinanderfolgende einen Punct und eine Linie darstellen, und der Punct in der Linie liegt, so kann man die beiden Factoren vertauschen." Ich will dabei noch gelegentlich bemerken, dafs diese Beziehung auch dann noch gilt, wenn man die metrischen Werthe berücksichtigt, so dafs man in diese letzten Formeln auch statt des Zeichens das Gleichheitszeichen hätte