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Par notre méthode on peut aussi former aisément les fonctions S, T, que M. Aronhold n'a pas données explicitement.

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suivante.

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Reprenons maintenant le théorème (1.). On en tire la proposition

2. Si à deux points de la courbe P, Q, on mène des tangentes P1, P2, P3, P4, 91, 92, 93, 94, les points d'intersection, P191, P292, P393, P44 se trouveront sur une conique qui passe aussi par les points P, Q. Il existe quatre coniques de cette sorte, dont chacune passe par les points P, Q et par quatre des seize points d'intersection des tangentes.

3. Soient P, Q les deux points imaginaires à l'infini sur un cercle quelconque; alors, suivant la définition de M. Plücker (3.), une courbe circulaire de troisième degré a seize foyers, disposés sur quatre cercles.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLII. Heft 3.

37

Seulement quatre de ces foyers sont réels. La courbe a en outre un foyer double.

Les théorèmes (2. et 3.) sont dû à M. Hart qui les a obtenus comme suit. D'abord la propriété caractéristique des ovales de Descartes est ag1+bQ2 = =c, où Q1, Q2 sont les distances de quelque point de la courbe à deux points fixes. M. Chasles a démontré que la courbe a de plus un foyer tel que a11+6193 = c1, et M. Hart a trouvé l'extension suivante de ce théorème. „Soit ag±bo2+co, 0 la propriété caractéristique d'une courbe; alors cette courbe sera du quatrième ordre, et aura de plus un foyer tel que a11±b12± C1 Q1 = 0. 02 1 Les quatre foyers seront disposés sur un cercle; et si a+b+c=0, la courbe ne sera que du troisième degré." Une courbe de troisième degré aura quatre foyers, pourvu que les termes les plus élévés en x et y soient divisibles par x2+y2.

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Q3

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Le problème suivant Les quatre foyers étant donnés: décrire la courbe' admet deux solutions. Soient les quatre foyers A, B, C, D. Si AB, CD,

s'entrecoupent en 0; l'équation de la courbe sera, ou

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De ces équations on tire CD (0,2) = AB (391), c'est à dire, la courbe est le lieu géométrique de l'intersection de deux coniques dont les foyers sont donnés. Les deux courbes s'entrecoupent à angles droits au centre du cercle et aux trois points O, P, Q, qui sont les intersections des droites AB, CD; AC, BD; AD, BC. Les tangentes à ces points sont parellèles aux bisecteurs de l'angle AOC. On voit aisément que l'asymptote de la courbe est aussi parallèle à l'une ou l'autre de ces bisecteurs. Donc, au moyen de la projection on obtient cette proposition:

Soient P, Q, R les trois points dans lesquels une droite rencontre une courbe de troisième ordre, et menez les tangentes P1, P2, P3, P4, 91, 92, 93, 93: alors les intersections des droites qui joignent (p.4.—P292), (P343 — P494); (P191, P393) (P2¶ 29 P494) ; ( P1919 P494) (P2 ¶ 2, P393) seront des points de contact des tangentes qui passent par R: le quatrième point de contact sera le pôle de PQ pour la conique qui passe par P, Q, P191, P292, P393, P494 · Trinity College Dublin July 24. 1851.

26.

Sur la formation de l'équation de la courbe reciproque à une courbe donnée.

(Par Mr. George Salmon à Dublin.)

Dans le tome 41 de ce Journal (p. 285) M. Hesse a donné une méthode pour former l'équation de la courbe reciproque à une courbe du troisième ou quatrième ordre. L'application de sa méthode est cependant presqu'impossible au quatrième ordre, parcequ'elle demande ici l'élimination entre 12 équations linéaires.

Mais il me paraît que la méthode qui se présente au premier abord, soit aussi la plus facile. Entre l'équation de la courbe donnée et l'équation

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on pourra éliminer z, et puis y appliquer la condition que l'équation résultante en et y ait deux racines égales. De cette manière on trouve pour la courbe réciproque à la courbe:

2

3

1

A1x2 + B2y2 + C3≈a + 4 A2x3y+4A ̧x3≈+4B1y3x+4B ̧y3z+4C1 ≈3 x +4C2z3y+6Dy2x2+6 Ex2x2+6Fx2y2+12 Lx2yz+12 My2xz +12 Nx2xy = 0,

et S3 27 T2, où

=(B2C ̧—4B ̧C2+3D2)x2+(C;A‚—4A‚C1+3E2)y2+(A‚B2—4A ̧B1+3F12)≈*

4(B ̧C1—B1C ̧—зND+3MC2)x3y +-4(B,C,—B,C,—3MD+3NB ̧)x31⁄2 -+- 4(C2A3—A¿C2-3EN+3LC1) ya3x +4(A‚¤‚—A‚C2—3LE+3NA3) y3z ÷ 4(B‚Â1⁄2—B2A,—3MF÷3LB1)≈3x+4(‚В1— ̧—зFL+3MA2)≈3y + 6(A,D—2A,M—2A,N+2L2 +EF)y2x2

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Pour éviter des longueurs, je ne donne pas tous les termes de T. On obtiendra les autres coefficients en permutant symétriquement les lettres

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+2

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\—FA,B,—2FA,B2 — 3FLB1)

6FB2E+8MB2A ̧+DÃ ̧B2+6FB1N+6FLB,+4MA,B3

++2DA,B,+12LMB,-6NA1⁄2В2— Â ̧Â2 —8Å‚B‚B ̧ (—9B,L3—6EB-3F2D-12FM2

9FA3A3+LB24—10LAB ̧+MA,B,—10MA,B,+2NA,B2)

+2+4NA2B1+3FEB,+3FDA2+6B,L2+6A,M2— 6NF12

1

1

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A2B2C2+2C,B+2A,B}+6EB ̧B2+9B2LN+4M3+6DFM

3

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+2—8A,B,—2DB2A ̧—FC‚Â ̧—2FC ̧B ̧— 6EMB2—3DLB ̧ ≈3Ã3 -3FNB,-6MNB,—6MLB,

+2

+

3ELB2+DA,B ̧+‍11DB12+8NA,B,—5NB2A,+15FMN

2

2

+12L3B2+-3F2C2+12EMB1+3A,B,C ̧ — 2A‚B ̧C2
—12LNB,—9DMA‚—6LM2—6LNB,—3DFL
-3FB1C1—6MA‚B ̧—15EFB ̧—А ̧B2C2

3

A,B,C,—20AB ̧C1—20 A ̧B ̧С2+ 2 A,B,C2 + 2 B2A‚C1 \+2C3A2B1+24LB,C, +24 MA2C2+24 NA,B ̧ — 6 ELB, ·6ENB1—6DMA,—6DNA1⁄2—6FLC2—6FMC1—3A ̧D2 \z2x2y2 −3B2E2— 3С¿F2— 30M2E— 30L3D — 30N2F+48DEF +48LMN

etc.

On voit bien que les 24 tangentes aux points d'inflexion d'une courbe de quatrième ordre touchent une courbe de quatrième classe.

Dublin, Août 1851.

27.

Elementary geometrical proof of Joachimsthal's

theorem.

(By Mr. Ch. Graves esq. prof. at the university of Dublin.)

Lemma 1. If tangent planes be drawn at two points, P, P', on a central surface of the second order; and if perpendiculars be let full from the points of contact on these tangent planes; the perpendiculars will be proportional to the perpendiculars let fall from the centre of the surface upon the tangent planes.

This is evident in the case of the sphere; and the theorem may be extended to the other surfaces by a simple deformation.

Lemma 2. Let LL' be the line of intersection of the two tangent planes, and let the point S be taken on it so that the lines PS, P'S, make equal angles with the lines LL'; then the lines PS, P'S, will be reciprocally proportional to the perpendiculars let fall from the centre upon the tangent planes at P and P'.

For the lines PS, P'S, are evidently proportional to the perpendiculars let fall from P, P', upon the tangent planes; and these, by the preceding Lemma, are proportional to the perpendiculars let fall from the centre upon the tangent planes at P' and P.

If the point S has been taken in L, L', so that the angles PSL, P'SL', are equal, the point S will be that the sum of whose distances from P and P' is a minimum.

Again, the lines PS, P'S, being tangents, are proportional to the parallel semi-diameters of the surface. We may, therefore, state the result at which we have now arrived in the following proposition.

If two points on a central surface be connected by a shortest line passing over the line of intersection of the two planes which touch the surface at those two points; the semi-diameters of the surface parallel to the two straight portions of the shortest line will be reciprocally proportional to the perpendiculars let fall from the centre upon the tangent planes in which those portions are respectively contained.

If we suppose, now, that the two points approximate indefinitely, we see, as a particular case of the more general theorem just stated, that „For two consecutive elements of a shortest line traced upon the surface, the product of the perpendicular let fall from the centre upon the tangent plane, and the semi-diameter parallel to the element of the curve, remains the same." Of this celebrated theorem it would, perhaps, be hard to discover a more elementary demonstration. May 25, 1850.

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