30.

1

Über das Integral ƒ («—æs)'+' `(1—2)1→g1

(a xz)111

(Von Herrn Dr. Dienger, Prof. der Mathematik an der polytechnischen Schule zu Carlsruhe.)

wo a, eine beliebige Gröfse ist. Man setze m-r-n und mache n>0 und <1, r1, so ist

a-

Aus der Formel (5.) läfst sich leicht ein weit allgemeinerer Ausdruck ableiten, indem man beide Seiten rmal nach a differentiirt. Es ist:

--

(1 -n) (2—n) ....... (r—n) r (1-n) (2-n)... (r — 1 —n)

n(n+1)...(n+r—1)

(7.)

1

an+1

+ 1

a"+2

+

n(n+1)...(n+r-1)

a"+r

+r−1)].

1.2...r a" (a—x)'+1-" Ln (n+1).....(n+r−1)

+

r (1-n)(2-n)...(r-1-n) a-x

_n (n + 1) ... (" + r—1) + 1 ́ ̄(1+n)(2+n)...(r−1+n) r.(r—1) (1—»)(2—2)... (r—2—n). (^— " ) + ··· + (^ — *")] si

2

[1 + 1 · (2r—1)

0, so ergiebt sich hieraus

1

(9.) 1+ 1·2 - 1

+

1.3

r(r−1)
1.2 (2r-1)(2r-3)

Setzt man allgemeiner in (7.) x = 0, so folgt:

(1—n) (2—n) ... (r —n)

r (1—n) (2—n) ... (r—1—n)

2.4.6... 2r 1.3.5... (2r-1)

+

n(1+n)........ (r−1+n)

woraus, nach einer leichten Umformung,

)'+1 (1—2

r. (r−1)
1.2

(10.) F(r+1—n)Ã(n) + + ·T(r−n)I(n+1)+ · I'(r—1—n)I'(n+2)+...

1

folgt. Hier, wie in allem Vorstehenden, ist eine positive ganze Zahl 0. erhält man aus (10):

0

n

1°

Für n =

Rücksichtlich Dessen, dafs oben unendliche Reihen angewendet wurden, die nur insofern gelten, als sie convergent sind, wäre zu bemerken, dafs die gefundenen Resultate, also namentlich die Gleichung (5.), auch nur gelten, insofern die angewandten Reihen convergent sind. Jedoch ist klar, dafs die Gleichung (5.) und also auch (7.) gelten, so lange alle Elemente der betreffenden Integrale endlich sind; was sich nach bekannten Sätzen rechtfertigen läfst.

Sinsheim, Ende Januar 1847.

31.

Die Lagrangesche Umkehrungsformel. Directer Beweis des Taylorschen Satzes.

(Von Herrn Dr. Dienger, Prof. der Mathematik an der polytechnischen Schule zu Carlsruhe.)

Die

ie bekannte Lagrangesche Formel, welche y aus der Gleichung y = a + xf(y)

nach steigenden ganzen Potenzen von æ giebt, ja selbst eine beliebige Function F(y) von y, ist namentlich von Cauchy, dem die Wissenschaft so viel verdankt, strenge abgeleitet worden. Im Folgenden werden wir den Grundgedanken Cauchy's im Allgemeinen folgen, um die höchst wichtige Formel zu beweisen. Zugleich haben wir dabei die Absicht, die Taylorsche und Maclaurinsche Formel durch directe Summirung der unendlichen Reihe zu suchen. Nach unserer Meinung sind nämlich Entwicklungen in unendliche Reihen unzulässlich, wenn ein geschlossener Ausdruck, wie es jede bestimmte Function einer Gröfse im Allgemeinen ist, nicht einer unendlichen Reihe gleich sein kann, sondern blofs einer endlichen, also geschlossenen Reihe. Dagegen aber kann er die Grenze (und dies Wort in dem Sinne genommen, welchen ihm Dirksen in dem „Organon der gesammten transcendenten Analysis" beilegt) einer unendlich fortscheitenden Reihe sein. Aber eben deshalb mufs die Aufgabe so gestellt werden, die Grenze dieser Reihe zu finden, wenn sie eine solche hat, d. h. convergent ist. Die allgemeine Aufgabe bezüglich des Maclaurinschen Satzes ist also: nicht aus f(x) die Reihe

(a.)_f(0++f'(0+1.2 ƒ" (0) + ···

...

zu finden, sondern vielmehr nachzuweisen, dafs die Grenze der Reihe, deren allgemeines Glied

ist, f(x) sei, oder, in gewöhnlicher Weise gesprochen, dafs die Summe der Reihe (a.) gleich f(x) ist.