und soll y nach den aufsteigenden Potenzen von x entwickelt werden, so sei welche die Bedingungen der Function f(x) in (18.) y(0), y'(0),... endlich sind, y(0) nicht Null und z endlich sei: so ist u = %= xy(z), und wenn y der Werth von z ist, welcher der Gleichung (21.) genügt und mit verschwindet, welcher Werth als einfache Wurzel der Gleichung (21.) auftreten soll, so ist: (22.) y = x2 a 1.2 Əz *4(0)+ x3 z † 4 (0) + 1 2 2 · 22 · (v (≈));+1.2.3·82€• (4(≈)); +···; vorausgesetzt, dafs diese Reihe convergent und (u) endlich sei, von u= = 0 wo eine beliebige Gröfse ist. y ist alsdann die Wurzel, welche mit zugleich verschwindet. Es ist hier 32. Tafel der kleinsten positiven Werthe von a1 und x2 in der ganzzahligen Gleichung a1x2 =α2x1+1. (Vom Herausgeber.) X2 (Der Akademie der Wissenschaften zu Berlin in einer ihrer Classensitzungen vorgelegt.) Der Herausgeber dieses Journals hat gelegentlich vor mehreren Jahren eine Tafel der kleinsten positiven Werthe von 1 und 2 für die Gleichung a1X2 a2x1+1, (1.) in welcher a1, a2, X1, X2 ganze Zahlen sein sollen und a, a, ist, bis zu a1 = 120 berechnet. Bekanntlich ist bei Untersuchungen in der Theorie der Zahlen häufig die Auflösung ganzzahliger Gleichungen ersten Grades wie (1.) nöthig, und es ist unbequem, die Rechnung in jedem vorkommenden Falle machen zu müssen. Es ist offenbar besser, wenn diese Rechnung ein für allemal gemacht wird, damit nicht Jeder, dem sie vorkommt, von Neuem sie ausführen dürfe. Und auch aufserdem kommt die Auflösung von Gleichungen wie (1.) in mancherlei Fällen vor; nemlich überall, wo zu irgend einem in grösseren Zahlen gegebenen Verhältnifs ein demselben möglichst nahe kommendes Verhältnifs in kleineren Zahlen gesucht wird; z. B. bei der Vergleichung von Maafsen, Gewichten, Münzen u. s. w. Da auf solche Weise die oben bezeichnete Tafel auch Andern von Nutzen sein kann, so theilt der Herausgeber sie hier mit. Der Tafel vorausgehend, möge aber berichtet werden, auf welche Weise sie berechnet worden ist, damit die verschiedenen Erleichterungen, deren man sich dabei bediente und welche die ganze Arbeit bis auf sehr Weniges verminderten, von Denen, die etwa geneigt sein möchten, die Tafel, wie es zu wünschen ist, weiter fortzusetzen, ohne Weiteres benutzt werden können. Hätte man nämlich die Werthe von x, und 2 für alle die verschiedenen Werthe von a, und für alle zu jedem a, theilerfremden a2, deren zusammen hier bis zu a, 120 schon über 4000 Paare sind, nach irgend einer der bekannten Auflösungs-Arten der Gleichung (1.) berechnen wollen, z. B. nach Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLII. Heft 4. 40 der Bachetschen Art, mittels Verwandlung von in einen Kettenbruch, wel a a2 - ches Verfahren für einzelne Fälle immer noch das bequemste ist, so würde die Rechnung ungemein viel Zeit und Mühe erfordert haben und, eben dadurch, auch mehr oder weniger unsicher geworden sein. Es kam also auf Erleichterungsmittel der Rechnung an, und deren giebt es mehrere. Zum Beispiel folgende. Mittels derselben ist die Tafel aufgestellt worden. I. Man nehme, da vermöge der Gleichung (1.) a, und x, alle die Factorenpaare von a12-1 sind, von a, die Vielfachen, etwa bis zum 10fachen, so geben die Factorenpaare dieser Vielfachen weniger 1, unmittelbar die zu a, und 2 gehörigen Werthe von a, und x. Da x2, bis zu a1 = 17, nicht 10 übersteigt, so läfst sich die Tafel auf diese Weise bis zu a1 = 17 mit geringer Mühe vollständig aufstellen. Auch für gröfsere a, kann man, wenn man will, das Verfahren anwenden und gelangt dadurch unmittelbar zu mehreren Werthen von a2 und 1. II. Da die Gleichung (1.) nichts anderes ist als ... so kann man, wenn a1⁄2-1⁄2 durch p und a-x, durch bezeichnet wird, 9 willkürlich p=1, 2, 3, 10 setzen; dann giebt jedes Factorenpaar von ap+1 zusammengehörige Werthe von a und q, also a unmittelbar und darauf x1 = a1-q und x2 = A2 — p. So kann man wieder mehrere, besonders grössere Werthe von a1⁄2, x1 und æ1⁄2, unmittelbar und mit geringer Mühe finden. Z. B. für a, = 31, а2 — x2 = p = 4 gesetzt, giebt app+1=125 5.25, also a 25 und ga1-x1 = 5; also x=31-5=26 und X2 = a2p=25-4=21. 2 = - C wo n jede beliebige ganze Zahl sein kann. Also dieselben Werthe von x1 und 2, welche man für kleinere a, und a2 gefunden hat, gehören auch zu allen den grösseren Werthen a1+nx1 und a2+nx2 von a, und 2, und man braucht sie blofs in die fortgesetzte Tafel hineinzuschreiben. Z. B. für a: 7 und 5 ist x, 4 und x2 = 3; also ist auch für a, 11, 15, 19, 23, .. 5, 8, 11, 14, ..., x14 und x=3. 2 und a2 = X1 =11, = "... won wieder jede beliebige ganze Zahl sein kann, so sind a, und a2 gleich måssig die zu allen Werthen na, - x1 und na1⁄2 — x1⁄2 von a, und a2 in (1.) gehörigen Werthe von x, und 2, und man darf sie daher nur wieder in die fortgesetzte Tafel hineinschreiben. Z. B. für a1 = 7 und α= 5 ist x1 = 4 · und 3; also sind 7 und 5 gleichmäfsig die Werthe von x, und a2 für 10, 17, 24, 31, ... und na2und na2 — x2 =7, 12, 17, 22, ... x2 die Werthe na1 von a und a2. = V. Da in der Gleichung (1.) a und x, verwechselt werden können, so füllt jedes für x, und 2 gefundene Werthenpaar, für das gleiche a1, zwei Stellen in der Tafel aus; die wenigen Fälle ausgenommen, wo a2 = x1 ist. Z. B. für 4,31 und a 9 ist x1 = 24 und x27; also ist auch für a1 = 31 und a, 24, x1 = 9 und 27. Dieses Umstandes wegen X1 sind schon überhaupt fast nur die Hälfte der Werthe von x und x1⁄2 zu suchen nöthig. Desgleichen folgt hieraus, dafs x, für das gleiche a1 alle Werthe von a2 durchlaufen mufs; was zur Probe der Rechnung dient. VI. Wenn in der Gleichung (1.) a oder x, mit irgend einer ganzen Zahl m aufgeht, so gehören zu demselben a, und x, auch die Werthe "2 und x1. Z. B. für a -37 und a2: und mæ1, oder ma, und i̟, von aŋ = m = 22 m m VII. Eben so: wenn 2 durch m theilbar ist, gehören zu ma, und 2 dieselben Werthe von a und 1, wie zu a, und 2. Z. B. für a1 =52 und x2 24, ist a2 43 und 1 L2 12, a2 = 43 und 1 = = 29. VIII. Für diejenigen a2, welche in a,+1 aufgehen, so dafs z. B. +1 ist, sind die zugehörigen x1 = a,—n und x2=4—1; denn, diese Werthe von a2, x, und x2 in (1.) gesetzt, giebt a1 (a2 −1)—a2 (a,—n)+1 oder na+1 oder a1——a1—1+1; wie gehörig. Z. B. für a=87 und a=22 ist n=4, also x=87-4-83 und 2-22-1-21. IX. Da die Gleichung (1.) nichts anderes ist als (5.) (a2+na2) X2 = a2(x1-+nx2)+1, so gehören zu den Werthen a1+na, und a2 von ɑ, und a2 die Werthe 1+næ2 und 2 von 1 und 2. Z. B. zu a1 = 17 und a2 = 5 gehören x1 x=10 und 2 = 3; also gehören zu a1 = 22, 27, 32, 37, die Werthe 13, 16, 19, 22, . von 1 und 3 von 2. = 2 X. Ist die Tafel bis zu irgend einem Werthe von a, vollständig aufgestellt, z. B. durch das Hülfsmittel (I.) bis zu a, 17, so lassen sich weiter, je für ein um 1 gröfseres a1, die Werthe von x, und a2 zu allen verschiedenen a, die kleiner als a sind, aus der vollständigen Tafel wie folgt sämmtlich unmittelbar finden; also auch diejenigen æ1 und æ1⁄2, zu den Werthen von a2<ža, gehörig, welche die andern Hülfsmittel noch nicht geliefert haben. Bezeichnet man nemlich durch u, und u2 die zu a1 a, a2 und zu a2<ža, gehörigen Werthe von x, und 2, wo nun a,>17 sein kann, so dafs ist, so findet man u, a2<ža1; jedoch nur aa, sein mufs. und u2 in der vorhandenen vollständigen Tafel für alle für diese, weil in (6.), gemäfs (1.), a1— a2 > a2, also Hierauf giebt (6.) und folglich sind die zu a,>17 und a2 <a, gehörigen Werthe von 1 und 2 gleich u1+u2 und u2. Z. B. für a1 = 18 und a27 ist a1-a=11 und für 11 und 7 giebt die bis a, 17 reichende Tafel u,=3 und u2=2; also sind die zu a1 18 und a2-7 gehörigen Werthe von 1 und 2 gleich u1+u2 = 5 und u2 = 2. = XI. Da das Mittel (X.) nur die zu a,>17 und a2 <a, gehörigen Werthe von 1 und x2 giebt, so fehlen noch die zu a2> 14, gehörigen Werthe von x, und x2. Diese finden sich, wie folgt, ohne weitere Hülfe der vorhergehenden Tafel unmittelbar aus den Werthen von 1 und 2 für a2 <a alle; also auch diejenigen, welche nicht etwa die andern Hülfsmittel schon gegeben haben. Bezeichnet man nemlich durch v, und v2 die zu a und a12 gehörigen Werthe von 1 und 2, so dafs ist, wo nun v1 und v2 gerade diejenigen Werthe von x, und 2 sind, die durch das Hülfsmittel (X.) gefunden wurden, so sind die zu a, und a2 gehörigen Werthe von x, und x, folgende: Denn, diese Werthe von x und x2 in (1.) gesetzt, geben a1(a2+02 −01) =α2(α1—v1)+1 oder av2 = (a,—a2) v1+1, und dies ist die Gleichung (8.). (also a2 =11>a,) gab das Hülfsalso ist für a, 18 und a2 = 11 --- Z. B. für a1 = 18 und a1-a2 = 7 mittel (X.) 1 = 5 und v2 = 2; x=18-513 und 2 = 11+2—5—8. 2 |