mit positiven Coefficienten. Die Seite rechts der Gleichung (8.), d. h. der Differentialquotient von p, nacht genommen, ist daher negativ, wenn er von 0 verschieden ist, welches im übrigen auch der Werth von w sein mag. Hieraus folgt, dafs wenn wächst, die Function p immer abnehmen mufs, wenigstens nie zunehmen kann. Aber für 0 ist w= = 0, für alle Werthe von x, y, ≈, über welche die Integrationen in der Gleichung (8.) ausgedehnt sind; also ist p = 0. Da aber p mit wachsendem t nicht zunehmen und, als Summe von reellen Quadraten, multiplicirt mit positiven Coëfficienten, auch nicht negativ werden kann, so folgt, dafs für jeden Werth von t, `p=0 sein mufs. Aber aus 0 p = f ŋw2 dx dy dz = folgt, dafs identisch w = 0, also uu' ist. Das Problem läfst also nur eine Lösung zu. Ganz wie in der vorigen Nr. läfst sich nun weiter zeigen, dafs auch kein von O verschiedener imaginärer Ausdruck von w den Gleichungen (5, 6, 7.) gleichzeitig genügt. In der Theorie der Wärme wendet man zuweilen den Satz an, dafs, wenn v, wit wachsendem t, sich einer constanten Grenze v, nähert, v, ebenfalls die Grenze von u ist, für ∞. Ich glaube nicht, dafs bis jetzt ein Beweis dieses Satzes gegeben worden ist; man begnügte sich, einen Erfahrungssatz der Physik auf ein rein analytisches Problem zu übertragen. Der strenge Beweis ergiebt sich aber sehr leicht mit Hülfe der Gleichung (8.). Es sei z. B. von Anfang an v=v1 = Const., so werden offenbar die Gleichungen (1 und 2.) erfüllt, wenn man uv, setzt. Es sei ferner u' die Function, welche den Gleichungen (1, 2, 3.) gleichzeitig genügt. Offenbar werden die Gleichungen (5 und 6.), also auch die Gleichung (8.) erfüllt, wenn man wvu' - u' setzt. Da nun der Differentialquotient von p=ʼn (v,—u'}2dx dydz, nach genommen, beständig negativ ist, so lange w endlich ist, so folgt, dafs sich für 1∞, w = (v1 — u') der Grenze O für alle Werthe von x, y, z nähern mufs; d. h. es wird uv1. = 1=0 = ⇓, Die hier angestellten Betrachtungen lassen sich leicht verallgemeinern. Man kann z. B. setzen, dafs k1, k2, kз, h, ŋ Functionen von t und selbst von u seien. Diese Functionen sind aber gewissen Bedingungen unterworfen, wenn der bewiesene Satz gelten soll. Man kann ferner annehmen, dafs statt eines einzigen Körpers ein System von Körpern gegeben ist, mit beliebigen Anfangstemperaturen, und dafs sie in einem diathermalen Mittel von beliebig Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLII. Heft 4. 43 veränderlicher Temperatur, der gegenseitigen Einwirkung, theils durch Strahlung, theils in Folge von Berührung ausgesetzt sind. Sind die Gröfsen k oder n längs einer Fläche discontinuirlich, so findet für die Puncte derselben eine Gleichung von der Form (2.) Statt. Dafs das Problem des Gleichgewichts der Temperaturen nur eine Lösung zuläfst, folgt als Corollar aus dem Vorigen. Der selbständige Beweis liefse gründen; aus welcher folgt, dafs für alle Puncte im Innern: u also Const. ist. Aufserdem folgt w=0 für alle Puncte der Oberfläche, also, da w eine stetige Function ist, Const. = 0, oder u u'. =u'. III. Man setze, es sei in der Gleichung (2.) der vorigen Nr. (u, v) = u — v. Bekanntlich kann die Bestimmung der Function u, welche den Gleichungen (1, 2, 3.) genügt, auf die Bestimmung einer andern Function U zurückgeführt werden, welche folgenden Gleichungen genügt: Die erste Gleichung gilt für Puncte im Innern, die zweite für Puncte der Oberfläche. Beiden kann gleichzeitig durch einen Ausdruck von der Form aPe-ut a ist eine willkürliche Constante, P findet sich aus der genügt werden. Diese Gleichung ist im allgemeinen transcendent und hat unendlich viele Wurzeln. Bezeichnet man dieselben durch u,, 2,... und deutet ... die von ihnen abhängigen Gröfsen durch die nämlichen Indices an, so hat die allgemeinste Function, welche den Gleichungen (1 und 2.) genügt, die Form Die Constanten a sind so zu bestimmen, dafs die Gleichung (3.) erfüllt wird, d. h. so, dafs für alle Puncte im Innern des Körpers, ist. Die Möglichkeit, auf diesem Wege die Aufgabe zu lösen, hangt von folgenden Bedingungen ab. t 1) Für = darf U nicht unendlich und auch zu keiner periodischen Function von t werden. Denn nach der vorigen Nr. mufs sogar O sein. Es ist also nöthig, dafs die Gleichung (5.) reelle und positive Wurzeln habe. Falls es imaginäre oder negative Wurzeln giebt, müssen die davon abhängigen Glieder aus dem Ausdruck (6.) wegfallen. U 1=0 2) Die Lösung der allgemeinen Aufgabe setzt voraus, dafs eine ganz willkürlich gegebene Function F(x, y, z) sich innerhalb bestimmter Grenzen in eine Reihe von der Form (7.) entwickeln lasse. Hiezu ist nöthig, dafs die Reihe unendlich viele Glieder, also die Gleichung (5.) unendlich viele reelle und positive Wurzeln habe. Dafs Dieses auch genügend sei, mufs besonders nachgewiesen werden. Poisson zeigt, dafs alle Wurzeln der Gleichung (5.) reell sind. (Theor. math. de la chaleur, p. 178.) Dafs sie auch positiv sind, weiset er nur in besonderen Fällen aus der Form der Gleichung nach. (Ibid. p. 294.) Poisson geht von der Gleichung aus, in welcher P und P, den Wurzeln uλ2 und μ, entsprechen. Diese Gleichung gilt aber nur, wenn 22 und ni verschieden sind. Nemlich es ist mufs; dafs g' 0, folglich 22 positiv sein mufs, folgt auf diesem Wege nicht. Indessen kann der Beweis auch allgemein gegeben werden. Es seien nemlich und u, zwei Wurzeln der Gleichung (5.), und Pund P, die entsprechenden Integrale der Gleichung (4.). In der Gleichung (B.) setze man U = e-μt P, U' = P, so erhält man, wenn man den Factor e-μt wegläfst und die Gleichungen (4 und 5.) anwendet: -"fff2 PP, dx dy de μ ӘР ӘР Эх Эх ӘР ӘР ӘР ӘР ду ду +k1 } dx dy dz + / h PP,dw. Nun nehme man an, die Gleichung (5.) habe eine Wurzel von der Form μ = μ' + μ"√−1, wo u' und u" reell sind, so müfste, da sich P als reelle Function von μ, x, y, z voraussetzen läfst, eine zweite Wurzel von der Form u, u'-u-1 vorkommen. Diese Werthe in Pund P, substituirt, würden - G+G'√-1, P1=G-G'√-1 = P = geben, und dadurch geht die Gleichung (8.) in 0 = − (u'+u"√−1) Sffn(Ga2+G'2) dx dy dz+f{G2 + G12) h dw über. In dieser Gleichung sind alle Glieder reell, aufser den in u" multipliDiese also müssen besonders verschwinden; d. h. es mufs cirten. Diese Gleichung kann aber offenbar nur bestehen, wenn u positiv ist. Denn wäre u negativ, so bestände ihr zweites Glied aus einer Summe reeller und positiver Gröfsen, und könnte also nicht verschwinden. Gleichung (5.) müssen also reell und positiv sein. 1 Zürich, den 5ten Januar 1851. Alle Wurzeln der 35. Über die Gesetze der Wärmeleitung im Innern fester Körper; unter Berücksichtigung der durch ungleichförmige Erwärmung erzeugten Spannung. (Von Herrn Jacob Amsler, Privatdocenten an der Universität zu Zürich.) (Aus den Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft, vom Jahr 1850.) Leitet man einem Körper freie Wärme zu', und sorgt durch irgend welche mechanische Mittel dafür, dafs er sich in Folge der TemperaturErhöhung nicht ausdehnen kann, so steigt seine Temperatur rascher, als wenn seiner Ausdehnung kein Hindernifs entgegengesetzt wird. Man kann diese Wahrnehmung so aussprechen: „Die specifische Wärme der Körper unter constantem Drucke ist gröfser als bei constantem Volumen." Dieses Gesetz ist ohne Zweifel allgemein. Für die gasförmigen Körper sind darüber zahlreiche Versuche angestellt worden (von Delaroche und Berard, namentlich aber von Dulong). Für feste Körper sind mir nur von W. Weber (Poggendorffs Annalen, Bd. XX. S. 177) und G. Wertheim (Ann. de chim. et de phys. Ser. III. T. 12. p. 385) eigentliche Beobachtungsreihen bekannt; die indefs zur Genüge zeigen, dafs der Unterschied der beiden specifischen Wärmen sehr bedeutend ist. Durch diesen Umstand müssen natürlich die Gesetze der Wärmeleitung im Innern der Körper wesentlich modificirt werden. Von den Geometern, welche sich mit der mathematischen Theorie der Wärme beschäftigten, hat bis jetzt, meines Wissens, keiner darauf Rücksicht genommen. Blofs Poisson, in einer Note zu seiner „Théorie mathématique de la chaleur", giebt eine Andeutung für den Fall, dafs der erwärmte Körper in flüssigem Zustande ist. In gegenwärtiger Abhandlung beschränke ich mich darauf, die Principien der vervollständigten Theorie im Allgemeinen anzugeben und die wesentlichsten Momente ihrer Anwendung auf einige einfache Fälle zu entwickeln; ich hoffe, dieselben in der Folge weiter ausführen und mit Beobachtungen vergleichen zu können. |