Zweiter Satz.

„Wenn L eine Function blofs von idealen Coordinaten ist, ohne deren Differentiale oder die veränderlichen willkürlichen Constanten sonst zu ent„halten, und die Function bedeutet (etc. wie oben), dann ist (etc. wie oben)

Es mufs nun auseinandergesetzt werden, welche Coordinaten ideale sind. Zuvörderst sind die auf feste rechtwinkliche Achsen bezogenen Coordinaten x, y, z solche, denn für sie bestehen die folgenden Gleichungen:

wo a, b, etc. die durch die Integration der Gleichungen der ungestörten Bewegung eingeführten willkürlichen Constanten bedeuten. Sei nun X, Y, Z irgend ein andres System von rechtwinklichen Coordinaten, und a, ß, etc. die Cosinusse der Winkel, die die Achsen dieser Coordinaten mit denen jener machen, dann ist bekanntlich

Wären nun a, B, etc. constante Gröfsen, so wäre ohne Weiteres X, Y, ein System idealer Coordinaten. Nehmen wir aber a, B, etc. als veränderliche Gröfsen, und zwar als Functionen der eben genannten willkürlichen Constanten an, dann werden X, Y, Z nur dann ideale Coordinaten, wenn wir die folgenden Bedingungsgleichungen aufstellen:

Denn vermöge der Gleichungen (1.) und (4.) ist es klar, dafs nun erst die ersten Differentiale von (3.) in Bezug auf die Zeit dieselbe Form haben, man mag die in x, y, z, a, ß, etc. enthaltenen willkürlichen Constanten veränderlich setzen oder nicht.

Untersuchen wir die Gleichungen (4.) näher. Substituiren wir in (4.)

die Gleichungen (3.), und setzen zur Abkürzung,

dann gehen, in Folge der bekannten, zwischen a, ß, etc. Statt findenden Bedingungsgleichungen, die Gleichungen (4.) in folgende über:

(6.) 0 = CY-BZ, 0=CX-AZ, 0=BX-AY,

die aber ersichtlich nur zwei wesentlich von einander verschiedene Gleichungen bilden. Es ist also jede der Gleichungen (4.) nothwendige Folge der

beiden andern.

Da nun jedes bestimmte Coordinatensystem von drei von einander unabhängigen Gröfsen oder Bedingungen abhängt, so folgt, dafs durch die Gleichungen (3.) und (4.) eine (streng unendlich) grofse Anzahl von idealen Coordinatensystemen gegeben ist. Da ferner die Veränderlichkeit von a, ß, etc. die Veränderlichkeit der Achsen dieser Coordinatensysteme mit sich bringt, so beziehen sich alle durch (3.) und (4.) gegebenen idealen Coordinatensysteme auf bewegliche Achsen. Ich führe hiebei noch folgenden Satz an:

„In allen auf bewegliche Achsen bezogenen Systemen idealer Coordi„naten eines Planeten oder Satelliten fällt die instantane Drehungs-Achse stets „mit dem Radius-Vector des Planeten oder Satelliten zusammen."

Die Cosinusse der Winkel zwischen der instantanen Drehungs-Achse und den Achsen der x, y, z sind bekanntlich, resp.

und die Cosinusse der Winkel zwischen dem Radius-Vector und diesen Achsen,

durch deren Substitution in die vorstehenden Ausdrücke der Satz erwiesen ist.

Um irgend ein auf bewegliche Achsen bezogenes ideales Coordinatensystem zu erhalten, dürfen wir dem Vorhergehenden zufolge den Gleichungen (4.) irgend eine willkürliche Bedingung hinzufügen, die nur dadurch beschränkt ist, dafs sie den Gleichungen (4.) oder (6.) nicht widersprechen darf. Ich werde daher im Folgenden annehmen, dafs für den Ort des Planeten oder Satelliten stets Z=0 sei. Hiemit ergeben sich statt (2.) und (3.) die folgenden Gleichungen:

Ꮓ

Ich werde nun beweisen, dafs v, in der That eine blofse Function der idealen Coordinaten X, Y ist. Ich bezeichne, wie Sie wissen, mit Ov, den Winkel zwischen den, den Zeiten t und tôt entsprechenden Radii - Vectores r und r+or eines Planeten oder Satelliten. Wir haben demzufolge die Gleichung, dx2 + dy2+dz2,

r2 dv} + dr2

=

Die Differentiale von (7.) und (8.) sind in der gestörten wie ungestörten Bewegung,

Combinirt man diese Gleichungen mit den Gleichungen (7.) und (8.), so bekommt man aus den einen,

*) Lagrange hat diese Gleichungen nicht bemerkt, denn obgleich er das Coordinatensystem (7.) anwendet, setzt er doch (Méc. anal. Tome II. p. 96)

(aß'-a'ẞ)(xoy-yðx)+(α'ß" — a"ß') (y dz — z dy)

2

Erwägen, wir noch, dafs X2+Y2 = x2 + y2+s2 ist, so geht die obige Gleichung für Ov, in folgende über,

wovon, wenn wir die willkürliche Constante =0 machen, das Integral

ist. Also v ist Function blofs der idealen Coordinaten X und Y, und der obige zweite Satz findet auf v1 Anwendung.

Ich erlaube mir die weiteren Folgerungen, die ich auf analytischem Wege aus den obigen Formeln gezogen habe, hier anzuführen, da mir nicht bekannt ist, dafs sie von irgend einem Andern gegeben worden wären. Lagrange hat schon die Gleichungen (7.) angewandt, aber die Folgerungen, die ich hier daraus ziehen werde, finden sich nicht bei ihm. Wegen der Bedingungsgleichung

=

0,

Diesen kann man zufolge der Gleichungen a da + a'da' + a" da" Bdẞ+B'dẞ' +ẞ" dẞ"= 0, und der zwischen a, B, etc. bestehenden Bedingungsgleichungen,

Um den Buchstaben p und q dieselbe Bedeutung zu geben, die ich denselben

in meinen Abhandlungen beigelegt habe, setze ich μ =

wodurch sich ergiebt:

1

Die zweite Gleichung (9.) kann auch so geschrieben werden,

0

=

(yda+y'da' +-r"da")X+(y©ß+r'âß'+y"ǝß") Y.

Substituiren wir die Gleichungen (14.) hierin, so erhalten wir,

(15.) 0 = Хдр — Үдд.

Betrachten wir nun die zweiten Differentiale der Gleichungen (8.),

d. i. die ersten der Gleichungen (11.). Diese sind,

0

= αð2x + α2ð2y + a"d2z+dαdx + da'dy + dα"dz

=

=

ẞð2x+ß'a2y +ß"d2z + əßəx+əß'ay+aß"dz = yð2x+y'd2y+y"Ə2≈ + dydx + dy'dy + dy'əz.

Wegen der Gleichungen (14.) und der letzten Gleichung (11.) gehen die beiden ersten vorstehenden sofort in folgende über,

Die dritte der vorstehenden Gleichungen geht durch die Gleichung (10.) zuerst in folgende über,

0=yd2x+y'd2y+r"d2z+(a©y+a'dy'+a"əz")dX+(ßdy+ß'dy'+ß"öz")d Y,

(17.) ə Xəp — ə Yəq = −y" {yd2x+y'd3y+y′′O2z}.

Nennen wir nun die Störungsfunction 2, und setzen die Summe der Massen der Sonne und des Planeten = 1, dann können wir die Gleichungen