Wenn man den letzten Ausdruck in die Differentialgleichung substituirt, so sieht man, dafs für den besondern Fall wo

der Exponent n aus ihr gänzlich herausgeht, und dafs umgekehrt, wenn es geben soll, in welcher U von n unabhängig ist, die

eine Lösung X,

U

22U Gleichung aww"

-n

haben mufs, wo U' Function blofs von w', U" Function blofs von w" ist. Für diesen Fall verwandelt sich durch die Substitution

in welcher U' Function blofs von w', U" Function blofs von w" ist, die partielle Differentialgleichung in die folgende:

aus welcher n ganz herausgegangen ist.

Es ist jetzt der wichtige Umstand zu bemerken, dafs sich der Ausdruck

auf eine einfache und rationale Art durch die elliptischen Functionen darstellen läfst, deren Argumente w' v,+ iv, und w'v1iv2 sind. In der That hat man zufolge der in den „Fundamentis” gegebenen Additionsformeln (11, 32 u. 33), N(1+4 am w' 4 am w') = 42 am v1+42 am (iv2)

Da U' Function von w' und U" Function von w" ist, so kann man

auch U' als Function von eam und U" als Function von elamu betrachten.

Setzt man

w

und wenn man hintereinander nach t' und t" differentiirt,

so erhält man, wenn man die Quadratwurzel auszieht und mit

multiplicirt:

(t'+t") (t' — a) (t" +α)

ß'ß" (t' + t") = — ß"ß" (t'— a) — ß'ß' (t'' + a)+(y' + z′′) (t' — a) (t" + a). Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn

und dies ist die allgemeinste Lösung der vorgelegten partiellen Differentialgleichung, in welcher X, der nten Potenz einer von n selbst unabhängigen Function gleich wird.

n

Wenn a' und a" die Amplituden zweier Argumente sind und o' die Amplitude ihrer Summe bedeutet, so hat man, wenn

und daher, wie ich in der oben genannten Abhandlung bemerkt habe,

Nennt man o" die Amplitude der Differenz der beiden Argumente, so erhält man aus dieser Formel durch Änderung von a" in -ɑ":

Nimmt man v1 und iv, für die beiden Argumente, so wird

=

tg a' a".

so verwandelt sich diese Formel in die folgende,

(t' — a) (t" +α) -(a sinni cos nei(-4)+icos ne-i(-))

Es wird daher, abgesehen von einem constanten Factor, der allgemeinste Aus-` druck von X, welcher eine nte Potenz einer von n unabhängigen Function ist, (sinn+cos n cos(9 — y))",

w. z. b. w.

5.

Über die Zusammensetzung der Zahlen aus ganzen positiven Cuben; nebst einer Tabelle für die kleinste Cubenanzahl, aus welcher jede Zahl bis 12000 zusammengesetzt werden kann.

(Von Herrn C. G. J. Jacobi, † weiland Professor zu Berlin.)

In den „Meditationes Algebraicae von Eduard Waring (S. 349 der 3ten Ausgabe. Cambridge 1782.)" wird der Satz ausgesprochen, dafs zur Zusammensetzung der Zahlen aus (ganzen positiven) Cuben deren nie mehr als 9, zur Zusammensetzung der Zahlen aus (ganzen) Biquadraten deren nie mehr als 19 erfordert werden.

Der Satz, dafs jede ganze Zahl die Summe von 9 oder weniger ganzen positiven Cuben ist, wird durch eine im 14ten Bande dieses Journals mitgetheilte Tabelle bestätigt, welche für jede Zahl bis 3000 die kleinste Anzahl von ganzen positiven Cuben angiebt, aus welchen sie durch Addition zusammengesetzt werden kann. Diese Tabelle ergab zugleich den merkwürdigen Umstand, dafs die Zahlen, zu deren Zusammensetzung 9 oder 8 Cuben erfordert werden, sehr bald aufhören, und dafs die Zahlen, zu deren Zusammensetzung 7 Cuben gebraucht werden, gegen das Ende der Tabelle so spärlich vorkommen, dafs es wahrscheinlich wurde, auch sie würden über eine gewisse Gränze nicht hinausreichen, oder dafs alle Zahlen, welche diese Grenze übersteigen, aus 6 oder weniger ganzen positiven Cuben zusammengesetzt werden können. Ja selbst diejenigen Zahlen, zu deren Zusammensetzung man 6 Cuben braucht, kommen bereits gegen das Ende dieser Tabelle weniger häufig vor. Sollten auch diese Zahlen einmal gänzlich aufhören, so würde der Satz gelten, dafs alle Zahlen, welche eine gewisse Gränze übersteigen, die Summen von 5 oder weniger ganzen positiven Cuben sind.

Die Anwesenheit des durch seine bewundernswürdige Fertigkeit und Sicherheit berühmten Rechners Dase veranlafste mich vor einigen Jahren, denselben aufzufordern, eine ähnliche Tabelle, wie die erwähnte, in gröfserem Umfange, für alle Zahlen bis 12000, zu berechnen; wobei sich denn mehrere Fehler der früheren Tabelle ergaben. So wurde gefunden, dafs nicht blofs die eine 6

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLII. Heft 1.