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In besondern Fällen kann die Curve C” auch öfter durch ihren eigenen Mittelpunct M gehen, und zwar verhält es sich damit, wie folgt. Ist m = 2u, so können insbesondere gleichzeilig 2, oder 4, oder 6, etc. Zweige der Curve C?4 durch M gehen, d. h. sie kann ihren Mittelpunct M zugleich zum vielfachen Puncte haben, jedoch nur zum 2, 4, 6, ..., 2 (u — 1)fachen. Und ist in=2v --1, so muss nothwendig ein Zweig der Curve Cov-1 durch ihren Mittelpunct M gehen, aber es können insbesondere auch 3, 5, 7, ... Zweige durch denselben gehen, wo er dann ein ebenso vielfacher Punct von ihr ist. In beiden Fällen sind die Tangenten im Mittelpuncte M höherer Art, nämlich sie sind zugleich Wendetangenten der respectiven Zweige, und haben somit, wenn x Zweige durch M gehen, daselbst x + 2 Puncte mit der Curve gemein, was als eine (x + 2) punctige Berührung anzusehen ist.

S. 2. Zur Bestimmung solcher Curven Cm, welche Mittelpuncte haben, durch gegebene Puncte, kann entweder 1) der Mittelpunct M selbst gegeben werden und nebstdem noch eine genügende Anzahl andere Puncle », durch welche die Curve gehen soll; oder es können 2) blos solche beliebige Puncte p, durch welche die Curye gehen soll, gegeben und dazu verlangt werden, dass dieselbe - einen Mittelpunct M haben müsse, dessen Lage dann durch jene Puncte erst bedingt wird. Bei dieser Bestimmung, so wie schon vorhin (S. 1.) und auch in der Folge, macht sich der Umstand geltend, ob der Gradexponent in eine yerade oder eine ungerade Zahl, also ob a) m=2u, oder B) m=2v -- 1 ist; denn danach scheiden sich die Sätze folgendermassen:

Ist der Millelpunct M gegeben, so ist a) Die Curre C24 bestimmt durch (u + 1)? –1 = m(m + 4),

B) Die Curve C2v-1 bestimmt durch vív+1)= { [(on +-4)-1] beliebige andere gegebene Puncte p, durch welche sie gehen soll.*)

*) Zur Bestimmung der Curven, welche Mittelpuncte haben, bietet die Gleichung derselben ein anschauliches und bequemes Millel dar. Wenn nämlich die in beliebig schiefwinkligen Coordinaten, nach den Dimensionen der Veränderlichen (ix und y) geordnete Gleichung einer Curve (m, von der höchsten Dimension abwärts nur die abwechselnden Dimensionen enthält, alle übrigen gleich Null sind, wenn somit die Gleichung von der Form

Dm+Dm-2+Dm-4+...+Dm-2a+2+.... = 0 ist, so hat die Curve allemal den Anfangspunct zugleich zu ihrem Mittelpuncle M. Werden

rve

Da im 'Allgemeinen eine Curve un'en Grads durch

7) jm(n+3) Puncte p bestimmt wird, so sieht man, wieviele bestimmende Puncie p durch den gegebenen Mittelpunct vertreten werden, nämlich Der Mittelpunct M vertrill

a") bei C4: u(v+1) = {m(m+2),

3") bei C2v-1: v? = [in (in+2)+1] bestimmende Puncte p."

Aber der gegebene Miltelpunct bedingt noch mehr; denn mit ihm sind auch zugleich alle Gegenpuncte pi zu den gegebenen Puncten p bestimmt oder als gegeben anzusehen, durch welche die Curve pothwendig ebenfalls geht, so dass also zusammen bezieblich (a und B)

11(+2) und 1[m(m+2)+1] Puncte p und pi gegeben sind, somit mehr, als die Bestimmung der Curve im Allgemeinen erheischt oder zulässt ), und zwar sind

für C24:

= in, für C?v-1: 1-1 = m1) Puncte mehr gegeben, ohne dass dadurch die Curve überbestimmt wird. Den obigen Satz kann man danach auch so aussprechen:

Sind u (u+2)(={ (m+-4)), oder v(v+1)-1(=i[m(m+4)-1]) beliebige begrenzte Gerade oder Sehnen pp. gegeben, die alle durch den

die zwei Zahlformen von in unterschieden, so hat man folgende zwei Gleichungen: .

1. 024 +D242 + D24-++...+D? + Do = 0; für C24,

11. D2v-1 +12v-3 +D?u=5+ ... +D+D' = 0; für C2r-1.

Je nachdem also der Gradexponent gerad oder ungerad ist, enthält die Mittelpuncts - Gleichung der Curve (m auch nur die Glieder von gerader oder ungerader Dimension, indem alle übrigen = 0 sein müssen. In (I.) bezeichnet Do das constante Glied. Dass die Curve C2v-1 nothwendig durch ihren eigenen Mittelpunct geht, ist aus (II.) ersichtlich.

Da jede Dimension ein Glied mehr umfasst, als ihr Exponent anzeigt, z. B. da Da die ati Glieder

gra, pa-1 x, ya-24", .... pra-, ra, abgesehen von den Coëfficienten, umfasst, so ist die Zahl aller Glieder in den beiden Gleichungen

in (I.): = (u + 1) = {(m+2),

in (II.): = v(v+1) = }(m + 1)(m+3). Daraus ist zu entnehmen, durch 'wieviele gegebene Puncte p eine Curve (m bestimmt wird, wenn sie durch dieselben gehen und einen andern gegebenen Punct M zum Miltelpunct haben soll.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

selben Punct M yehälftet werden, so liegen ihre 2u(u +2) oder 2v(v+1)-2 Endpuncte p und u allemal in einer durch sie bestimmten Curre C24 oder C2v-, welche den Punct Mzum Mittelpunct hat.

S. 3. Lässt man von den genannten Sehnen pp, eine weg, so ist die Curve durch die Endpuncte der übrigen nicht mehr bestimmt, aber durch jeden Punct p", den man frei annimmt und durch den sie gehen soll, wird sie bestimmt (weil dann nebst M wieder eben so viele p gegeben sind, wie vorhin), so dass also unendlich viele Curven Cm durch diese übrigen Endpuncte möglich sind, die Mzum Mittelpunct haben. Aber alle diese Curven schneiden einander, ausser den Endpuncten der Sehnen, noch in anderen bestimmten Puncten q und 41, deren Zahl beziehlich 2 (u — 1)? und 2 (v –1)(v — 2)+1 ist, so dass sie ein Curvenbüschel B (Cn) mit m? Grundpuncten bilden (s. den obigen Monatsbericht). Die neuen Puncte sind eben so paarweise die Endpuncte von Sehnen 991, welche ihre Millen in M haben; und im zweiten Falle, wo in = 2y—1, liegt der ungerade oder einzelne Punct, etwa qo, in M selbst. Also:

Sind u (u +2)-1 oder v(v +.1) -- 2 beliebiye Sehnen pp, yegeben, die alle durch denselben Punct M gehälftet werden, so gehen durch ihre Endpuncte ein Currenbüschel B (C?") oder B(Cov-), welche alle den Punct M zum Mittelpunct haben, und deren übrige 2(u — 1)? oder 2 (v — 1)(v -- 2) +-1 gemeinschaftliche Schnittpuncle (9 und qu ebenfalls paarweise die Endpuncte solcher Sehnen 99. sind, die ihre Mitten in M haben. Im zweiten Falle liegt der einzelne Punct yo. im Mittelpuncle M selbst, so dass alle Curren des Büschels B (C"?v=-) durch ihren gemeinsamen Mittelpunct gehen, der zugleich ein Wendepunct ron jeder ist.

So gehen also z. B. durch die vier Endpuncte zweier Sehnen pp, ein Kegelschnitt-Büschel BC?), welche alle M zum Mittelpunct, die beiden Sehnen zu Durchmessern, aber weiter keinen Punct gemein haben, weil 2 (u 1) =0, wenn u=1 ist. Durch die 8 Endpuncte von 4 Sehnen pp, gehen ein B(C), die noch einen glen Punct qu gemein haben müssen, welcher der Mittelpunct M selbst und zugleich Wendepunct von jeder ist. Durch die 14 Endpuncte von 7 Sebnen ppi gehen ein B (C*), welche, M zum Mittelpunct haben und sich noch in den Endpuncten einer neuen Sehne 99, schneiden, die gleichfalls ihre Mitte in M hat; u. s. w.

Einige andere Eigenschaften der obigen Curvenbüschel treten weiter unten gelegentlich hervor.

ein

aus ve

. S. 4. Zum Behuf späterer Betrachtungen mag bier bemerkt werden, dass eine Curve C", welche einen Mittelpunct hat, auch in solcher specieller Form erscheinen kann, wo sie aus verschiedenen Theilen besteht. So kann z Kegelschnitt C?

1) Durch zwei sich schneidende Gerade A und B vertreten werden, deren Schnittpunct als Mittelpunct M anzusehen ist; oder

2) Durch zwei parallele Gerade, A#B, wo dann der Millelpunct unbestimmt bleibt, nämlich jeder Punct sein kann, welcher von A und B gleichweit absteht, also eine dritte Gerade C zum Ort hat, die init A und B parallel und in der Mitte zwischen ihnen liegl.

Gleicherweise kann eine Curve C"}, welche einen Mittelpunct haben soll, insbesondere durch folgende Elemente vertreten werden.

1) Durch einen Kegelschnitt C? und irgend eine durch seinen Mitlelpunct gehende Gerade C", wobei der Mittelpunct M von C? auch zugleich als Miltelpunct von C(=C2-+ C') anzusehen ist. (Gilt also auch, wenn C eine Parabel und C irgend ein Durchmesser derselben ist.)

2) Durch drei Gerade und zwar a) durch drei sich in einem Punct schneidende Gerade, wo dann dieser Punct selbst der Mittelpunct ist. (hierin sind auch die zwei besondern Zustände inbegriffen, wo die drei Geraden parallel, oder zwei parallel und die dritte im Unendlichen); oder b) durch zwei parallele und eine sie schneidende Gerade, wobei die Mitte des von jenen beiden auf der letztern begrenzten Stücks der Mittelpunct ist; oder endlich c) durch drei parallele Gerade, wenn die eine gleich weit von den beiden andern absteht, wobei dann jeder Punct in der mittlern Geraden als Mittelpunct anzusehen ist.

Analogerweise kann die Curve C+ in Theile zerfallen; u, s. w.

S. 5. Die obige zweite Frage (S. 2.) verlangt zu wissen: „Wieviele beliebige Puncte p dürfen höchstens gegeben werden, wenn durch dieselben eine Curve Cm gehen soll, welche einen Mitlelpunct hat, der aber nicht gegeben ist.

Man überzeugt sich leicht, dass unter dieser Bedingung nur zwei Puncte p mehr gegeben werden dürfen, als im obigen Falle (S. 2.), wo der Mittelpunct M selbst mit gegeben war. Denn sobald nur ein Punct, etwa 9, mehr gegeben, so kann M schon nicht mehr beliebig liegen, sondern muss sich auf einen Ort beschränken, der irgend eine Curve Msein wird; und wenn man statt q einen andern beliebigen Punct r als gegeben annimmt, so wird der Miltelpunct M der Curve Cm einen andern Ort, etwa Mi, haben; und soll nun eine Curve CM durch beide Puncte q und r gehen, so kann ihr Mittelpunct M nur in einem den Ortscurven M* und Mir gemeinsamen Puncte liegen. Da diese Ortscurven sich aber in mehreren Puncten schneiden, so wird die Curve Cm nicht absolut bestimmt sein, sondern die gestellten Bedingungen werden mehrere Lösungen gestalten. Also:

Soll eine Curve Cm einen Mittelpunct haben, so ist sie

a) als C24 durch u (u +2)+2 = } [in (in +4)+8],

B) als C2v-1 durch vív+1)+1=d[m(m +4)+7] beliebig gegebene Puncle p bestimint, jedoch nicht absolut bestimmt, sondern es finden im Allgemeinen mehrere Lösungen stati.

Wie es sich damit näher verhält, ist aus den nachfolgenden zwei einfachsten Beispielen zu ersehen.

S. 6. • Erstes Beispiel. Soll ein Kegelschnitt C durch 4 gegebene Puncte 3p und q gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts M ein bestimmter anderer Kegelschnitt M?; und soll C? durch die 3p und einen anderen gegebenen Punct r gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts ein neuer Kegelschnitt Mi. Nun schneiden sich die beiden Örter M2 und M? zwar in 4 Puncten: aber von diesen 4 Puncten besitzt nur einer die Eigenschaft, dass er der Mittelpunct M eines Kegelschnitts C? ist, welcher durch die 5 Puncte 3p, q und r geht; die drei übrigen haben diese Eigenschaft nicht, denn sie sind die Mitten der Seiten desjenigen Dreiecks, dessen Ecken die 3p sind, und hängen somit von diesen 3p allein ab. Nämlich bezeichnet man die 3p durch u, b, c, so geht bekanntlich der genannte Kegelschnitt M? durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks abcq; und eben so geht Mi durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks abcr: somit gehen beide durch die Mitten der 3 Seiten des Dreiecks abc, aber jede dieser 3 Mitten ist Mittelpunct zweier verschiedener Kegelschnitte C?, wovon der eine dem Viereck abcg, der andere dem Viereck ubcr umschrieben ist.

S. 7. Zweites Beispiel. I. Die Curve C ist durch den gegebenen Mittelpunct M und durch 5 Puncte p, durch welche sie gehen soll, bestimmt; ist

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