صور الصفحة
PDF
النشر الإلكتروني

.,

In besondern Fällen kann die Curve C auch öfter durch ihren eigenen Mittelpunct M gehen, und zwar verhält es sich damit, wie folgt. Ist m = 2u, so können insbesondere gleichzeitig 2, oder 4, oder 6, etc. Zweige der Curve C2 durch M gehen, d. h. sie kann ihren Mittelpunct M zugleich zum vielfachen Puncte haben, jedoch nur zum 2, 4, 6, 2(μ-1)fachen. Und ist m=2v-1, so mufs nothwendig ein Zweig der Curve C2 durch ihren Mittelpunct M gehen, aber es können insbesondere auch 3, 5, 7 Zweige durch denselben gehen, wo er dann ein ebenso vielfacher Punct von ihr ist. In beiden Fällen sind die Tangenten im Mittelpuncte M höherer Art, nämlich sie sind zugleich Wendetangenten der respectiven Zweige, und haben somit, wenn Zweige durch M gehen, daselbst + 2 Puncte mit der Curve gemein, was als eine (+2) punctige Berührung anzusehen ist.

[ocr errors]

S. 2.

[ocr errors]

Zur Bestimmung solcher Curven C", welche Mittelpuncte haben, durch gegebene Puncte, kann entweder 1) der Mittelpunct M selbst gegeben werden und nebstdem noch eine genügende Anzahl andere Puncte p, durch welche die Curve gehen soll; oder es können 2) blos solche beliebige Puncte p, durch welche die Curve gehen soll, gegeben und dazu verlangt werden, dafs dieselbe einen Mittelpunct M haben müsse, dessen Lage dann durch jene Puncte erst bedingt wird. Bei dieser Bestimmung, so wie schon vorhin (§. 1.) und auch in der Folge, macht sich der Umstand geltend, ob der Gradexponent in eine gerade oder eine ungerade Zahl, also ob a) m = 2μ, oder B) m= 2v-1 ist; denn danach scheiden sich die Sätze folgendermassen: ,,Ist der Mittelpunct M gegeben, so ist

[ocr errors]

a) Die Curve C2 bestimmt durch (u+1)2 − 1 = m(m+4), B) Die Curve C2-1 bestimmt durch v(v+1) [m (m +4)-1] beliebige andere gegebene Puncte p, durch welche sie gehen soll." *)

*) Zur Bestimmung der Curven, welche Mittelpuncte haben, bietet die Gleichung derselben ein anschauliches und bequemes Mittel dar. Wenn nämlich die in beliebig schiefwinkligen Coordinaten, nach den Dimensionen der Veränderlichen ( und y) geordnete Gleichung einer Curve Cm, von der höchsten Dimension abwärts nur die abwechselnden Dimensionen enthält, alle übrigen gleich Null sind, wenn somit die Gleichung von der Form

DmDm-2+Dm¬++ · +Dm-2α+2.
2+..

[ocr errors]

....

= 0

ist, so hat die Curve allemal den Anfangspunct zugleich zu ihrem Mittelpuncte M. Werden

Puncte

Da im Allgemeinen eine Curve men Grads durch

7) m(m+3)

bestimmt wird, so sieht man, wieviele bestimmende Puncte p durch

den gegebenen Mittelpunct vertreten werden, nämlich

„Der Mittelpunct M vertritt

a") bei C2":

μ(v+1) {m (m+2),

[ocr errors]

B) bei C2-1: 22

=

[m (m +2)+1]

bestimmende Puncte p."

Aber der gegebene Mittelpunct bedingt noch mehr; denn mit ihm sind auch zugleich alle Gegenpuncte p, zu den gegebenen Puncten p bestimmt oder als gegeben anzusehen, durch welche die Curve nothwendig ebenfalls geht, so dafs also zusammen beziehlich (a und ẞ)

m(m2) und [m(m+2)+1]

Puncte p und P1 gegeben sind, somit mehr, als die Bestimmung der Curve im Allgemeinen erheischt oder zuläfst (7), und zwar sind

[blocks in formation]

Puncte mehr gegeben, ohne dafs dadurch die Curve überbestimmt wird. Den obigen Satz kann man danach auch so aussprechen:

,,Sind u(u+2)(={m(m+4)), oder v(v+1)−1 (=}[m(m+4)−1]) beliebige begrenzte Gerade oder Sehnen pp, gegeben, die alle durch den

die zwei Zahlformen von m unterschieden, so hat man folgende zwei Gleichungen:
D2μ +D2μ−2 + D2μ-++ +D2+D° = 0; für C2μ,
D2v−1 +D2v−3 +D2μ—5 + · · · · + D3 + D1 0; für C2-1.

I.

II.

....

....

=

Je nachdem also der Gradexponent gerad oder ungerad ist, enthält die Mittelpuncts - Gleichung der Curve Cm auch nur die Glieder von gerader oder ungerader In (I.) bezeichnet D° das constante Dimension, indem alle übrigen = 0 sein müssen. Glied. Dafs die Curve C2-1 nothwendig durch ihren eigenen Mittelpunct geht, ist aus (II.) ersichtlich.

Da jede Dimension ein Glied mehr umfafst, als ihr Exponent anzeigt, z. B. da Da die a+1 Glieder

-2 ya, ya-1x, ya—2x2

in (I.): =

[ocr errors][ocr errors]

abgesehen von den Coëfficienten, umfafst, so ist die Zahl aller Glieder in den beiden Gleichungen

· (μ + 1)2 = ↓ (m +2)2,

in (II.): = v(+1) = ↓ (m + 1) (m+3).

}

Daraus ist zu entnehmen, durch wieviele gegebene Puncte p eine Curve Cm bestimmt wird, wenn sie durch dieselben gehen und einen andern gegebenen Punct M zum Mittelpunct haben soll.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

2

selben Punct M gehälftet werden, so liegen ihre 2u (u+2) oder 2v (v + 1) −2 Endpuncte p und Pi allemal in einer durch sie bestimmten Curve C2μ oder C-1, welche den Punct M zum Mittelpunct hat."

S. 3.

Läfst man von den genannten Sehnen pp, eine weg, so ist die Curve durch die Endpuncte der übrigen nicht mehr bestimmt, aber durch jeden Punct p", den man frei annimmt und durch den sie gehen soll, wird sie bestimmt (weil dann nebst M wieder eben soviele gegeben sind, wie vorhin), so dafs also unendlich viele Curven Cm durch diese übrigen Endpuncte möglich sind, die M zum Mittelpunct haben. Aber alle diese Curven schneiden einander, aufser den Endpuncten der Sehnen, noch in anderen bestimmten Puncten ༡ und 419 deren Zahl beziehlich 2 (-1) und 2 (v −1) (v — 2) + 1 ist, so dafs sie ein Curvenbüschel B (C") mit m2 Grundpuncten bilden (s. den obigen Monatsbericht). Die neuen Puncte sind eben so paarweise die Endpuncte von Sehnen 491, welche ihre Mitten in M haben; und im zweiten Falle, wo m=2v-1, liegt der ungerade oder einzelne Punct, etwa q, in M selbst. Also:

,,Sind u(u+2)-1 oder v(v +1)-2 beliebige Sehnen pp, gegeben, die alle durch denselben Punct M gehälftet werden, so gehen durch ihre Endpuncte ein Curvenbüschel B(C") oder B(C), welche alle den Punct M zum Mittelpunct haben, und deren übrige 2(u-1)2 oder 2 (v −1) (v — 2) +1 gemeinschaftliche Schnittpuncle (q und q) ebenfalls paarweise die Endpuncte solcher Sehnen qq, sind, die ihre Mitten in M haben. Im zweiten Falle liegt der einzelne Punct 4 im Mittelpuncte M selbst, so dafs alle Curven des Büschels B(C2-1) durch ihren gemeinsamen Mittelpunct gehen, der zugleich ein Wendepunct von jeder ist.”

=

So gehen also z. B. durch die vier Endpuncte zweier Sehnen pp, ein Kegelschnitt-Büschel B(C2), welche alle M zum Mittelpunct, die beiden Sehnen zu Durchmessern, aber weiter keinen Punct gemein haben, weil 2 (u -1)2 wenn u=1 ist. Durch die 8 Endpuncte von 4 Sehnen pp, gehen ein B(C3), die noch einen 9ten Punct 4 gemein haben müssen, welcher der Mittelpunct M selbst und zugleich Wendepunct von jeder ist. Durch die 14 Endpuncte von 7 Sehnen pp gehen ein B (C), welche M zum Mittelpunct haben und sich noch in den Endpuncten einer neuen Sehne qq, schneiden, die gleichfalls ihre Mitte in M hat; u. s. w.

Einige andere Eigenschaften der obigen Curvenbüschel treten weiter unten gelegentlich hervor.

S. 4.

Zum Behuf späterer Betrachtungen mag hier bemerkt werden, dafs eine Curve C, welche einen Mittelpunct hat, auch in solcher specieller Form erscheinen kann, wo sie aus verschiedenen Theilen besteht. So kann z. B. der Kegelschnitt C2

1) Durch zwei sich schneidende Gerade A und B vertreten werden, deren Schnittpunct als Mittelpunct M anzusehen ist; oder

2) Durch zwei parallele Gerade, A# B, wo dann der Mittelpunct unbestimmt bleibt, nämlich jeder Punct sein kann, welcher von A und B gleichweit absteht, also eine dritte Gerade C zum Ort hat, die mit A und B parallel und in der Mitte zwischen ihnen liegt.

Gleicherweise kann eine Curve C3, welche einen Mittelpunct haben

soll, insbesondere durch folgende Elemente vertreten werden.

1) Durch einen Kegelschnitt C und irgend eine durch seinen Mittelpunct gehende Gerade C', wobei der Mittelpunct M von C2 auch (Gilt also zugleich als Mittelpunct von C3 (= C2 -- C1) anzusehen ist. auch, wenn C2 eine Parabel und C irgend ein Durchmesser derselben ist.) 2) Durch drei Gerade und zwar a) durch drei sich in einem Punct schneidende Gerade, wo dann dieser Punct selbst der Mittelpunct ist. (hierin sind auch die zwei besondern Zustände inbegriffen, wo die drei Geraden parallel, oder zwei parallel und die dritte im Unendlichen); oder b) durch zwei parallele und eine sie schneidende Gerade, wobei die Mitte des von jenen beiden auf der letztern begrenzten Stücks der Mittelpunct ist; oder endlich c) durch drei parallele Gerade, wenn die eine gleich weit von den beiden andern absteht, wobei dann jeder Punct in der mittlern Geraden als Mittelpunct anzusehen ist.

Analogerweise kann die Curve C in Theile zerfallen; u. s. w.

S. 5.

Die obige zweite Frage (§. 2.) verlangt zu wissen:,,Wieviele beliebige Puncte p dürfen höchstens gegeben werden, wenn durch dieselben eine Curve Cm gehen soll, welche einen Mittelpunct hat, der aber nicht gegeben ist."

Man überzeugt sich leicht, dafs unter dieser Bedingung nur zwei Puncte p mehr gegeben werden dürfen, als im obigen Falle (§. 2.), wo der Mittelpunct M selbst mit gegeben war. Denn sobald nur ein Punct, etwa 4, mehr

gegeben, so kann M schon nicht mehr beliebig liegen, sondern mufs sich auf einen Ort beschränken, der irgend eine Curve M sein wird; und wenn man statt einen andern beliebigen Punct r als gegeben annimmt, so wird der Mittelpunct M der Curve Cm einen andern Ort, etwa M, haben; und soll nun eine Curve Cm durch beide Puncte q und r gehen, so kann ihr Mittelpunct M nur in einem den Ortscurven M und Mr gemeinsamen Puncte liegen. Da diese Ortscurven sich aber in mehreren Puncten schneiden, so wird die Curve Cm nicht absolut bestimmt sein, sondern die gestellten Bedingungen werden mehrere Lösungen gestatten. Also:

„Soll eine Curve CTM einen Mittelpunct haben, so ist sie
a) als C2 durch u(u+2)+2
B) als C durch v(v+1)+1 =

=

[m (m+4)+8],
[m(m+4)+7]

beliebig gegebene Puncle p bestimmt, jedoch nicht absolut bestimmt, sondern es finden im Allgemeinen mehrere Lösungen statt.”

Wie es sich damit näher verhält, ist aus den nachfolgenden zwei einfachsten Beispielen zu ersehen.

S. 6.

Erstes Beispiel. Soll ein Kegelschnitt C durch 4 gegebene Puncte 3p und gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts M ein bestimmter anderer Kegelschnitt M2; und soll C2 durch die 3p und einen anderen gegebenen Punct r gehen, so ist der Ort seines Mittelpuncts ein neuer Kegelschnitt M. Nun schneiden sich die beiden Örter M2 und M zwar in 4 Puncten: aber von diesen 4 Puncten besitzt nur einer die Eigenschaft, dafs er der Mittelpunct M eines Kegelschnitts C2 ist, welcher durch die 5 Puncte 3p, q und r geht; die drei übrigen haben diese Eigenschaft nicht, denn sie sind die Mitten der Seiten desjenigen Dreiecks, dessen Ecken die 3p sind, und hängen somit von diesen 3p allein ab. Nämlich bezeichnet man die 3p durch a, b, c, so geht bekanntlich der genannte Kegelschnitt M2 durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks abcq; und eben so geht M durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks abcr: somit gehen beide durch die Mitten der 3 Seiten des Dreiecks abc, aber jede dieser 3 Mitten ist Mittelpunct zweier verschiedener Kegelschnitte C2, wovon der eine dem Viereck abcq, der andere dem Viereck abcr umschrieben ist.

S. 7.

Zweites Beispiel. I. Die Curve C3 ist durch den gegebenen Mittelpunct M und durch 5 Puncte p, durch welche sie gehen soll, bestimmt; ist

« السابقةمتابعة »