en supposant que les coefficients a, a, etc. soient donnés par l'équation Soit (au, a,... a,; x, y) une fonction des coefficients et des variables, telle que ¶ (α, a¦,... a; x, y) φαύ, αι, Cette fonction sera généralement un,,Covariant," et dans le cas particulier, où est fonction des seuls coefficients, un,,Invariant" de la fonction donnée. Je suppose d'abord que les nouveaux coefficients soient donnes par l'équation (αv, α1,... α) (x + ¡y, y)" (a, a,... a') (x, y)". Il faut donc que le covariant & satisfasse à l'équation et récipoquement, toute fonction homogène par rapport aux coefficients et aussi par rapport aux variables, qui satisfait à ces équations (X, Y), sera un covariant de la fonction donnée. Éxaminons d'abord l'équation (X) que je représente par ': φ. Soit pour le moment, a-a,λα1, a1⁄2 — a2 = λα, etc. Alors on aura, comme à l'ordinaire, l'équation symbolique = où les quantités a1, a2 etc., en tant qu'elles entrent dans α, α2 etc., ne doivent pas être affectées par les symboles da,, da, etc. de la différentiation. En substituant les valeurs de a, a, ... et en ordonnant selon les puissances de λ, cette équation donne བ་ et les quantités a1, a2 etc., en tant qu'elles entrent dans les symboles, Д, etc., ne doivent pas être affectées par les symboles da,, Ja, etc. de la différentiation. Il est assez remarquable que l'équation symbolique peut aussi être écrite sous la forme plus simple où les quantités a1, 2, ..., en tant qu'elles entrent dans le symbole, sont censées affectées des symboles da, da, etc. de la différentiation; de manière que dans le développement, 2. par exemple, signifie Q.Q, et ainsi de suite. Je ne m'arrête pas sur ce point, parceque pour ce que je vais démontrer de plus important, il suffit de faire attention à la première puissance de 2. D'ailleurs l'intelligibilité des équations dont il s'agit, sera facilitée en faisant les développements et en comparant les puissances correspondantes de λ. Cela donne par exemple: où les symboles 2, 3 etc. à gauche de ces équations dénotent la double, triple etc. répétition de l'opération Q, tandis qu'à côté droit des équations, les quantités a1, a2,... etc., en tant qu'elles entrent dans les symboles Q, Q, etc. sont censées non pas être affectées des symboles da,, a, etc. de la différentiation. Dans la suite, si le contraire n'est pas dit, je me servirai des expressions Q, etc. pour dénoter les répétitions de l'opération, et de même pour les combinaisons de deux ou de plusieurs symboles. Cela étant, l'équation 'e = (ローン) 22 1.2 9=4 donne {1+λ(―ydx)+ (Q — yox)2 + · · · } P, où (-yox)2. (je le repète) équivaut à (Q-yo). (Д — yox); et ainsi de suite. Il faut d'abord que le coefficient de s'évanouisse, ce qui donne (Q―ydx) 4 = 0; et cette condition étant satisfaite, les coefficients des puissances supérieures s'évanouissent d'elles mêmes; c'est à dire, l'équation (X) sera satisfaite en supposant que satisfait à l'équation aux différences partielles (Q-yox)4= = = 0. on fera un raisonnement analogue par rapport à l'équation (Y); et il sera ainsi demontré que doit satisfaire aussi à l'équation à différences partielles (□ — xô ̧)4=0; donc enfin, on a le suivant Et réciproquement toute fonction, homogène par rapport aux coefficients et par rapport aux variables, qui satisfait à ces équations, est un covariant de la fonction donnée. Par exemple, l'invariant = ac-b2 de la fonction ax2+2bxy+cy2 satisfait aux équations (að ̧+2bdc) q=0, (2bda+côb)4=0, – et le covariant · (ac — b2) x2 + (að — be) xy + (bộ -c) y de la fonction ax3+3bx2y3cxy+dy3 satisfait aux équations Il est clair qu'en ne considérant que les fonctions qui restent les mêmes en prenant dans un ordre inverse les coefficients a, a, ... an et les variables x, y, respectivement, les covariants seront définis par l'une ou l'autre des équations (A), et qu'il n'est plus nécessaire de considérer les deux équations. Cela posé, on trouve assez facilement les covariants par la méthode des coefficients indéterminés. Mais il y a à remarquer une circonstance de la plus grande importance dans cette théorie, savoir, que l'on obtient de cette manière un nombre d'équations plus grand qu'il n'en faut pour déterminer les coefficients dont il s'agit. Ces équations cependant, étant liées entre elles, se réduisent au nombre nécessaire d'équations indépendentes. Cherchons par exemple pour la fonction ax3+3bxy+3cxy2+dy3 un invariant de la forme Ф Aa'd2+ Babcd + Cac3 + Cb3d + Db3c3, = contenant les quatre coefficients indéterminés A, B, C, D. En substituant dans l'équation (a+2bd ̧ +3côa) y = 0, on obtient e (3C+2B) ab3d+(3B+6C+2D) abc2 + (6A+B) ac'd + (3C+4D) b3c = 0. Or les quatre équations données par cette condition, se réduisent à trois équations indépendantes, de sorte qu'en faisant par exemple A=−1, les autres coefficients seront déterminés, et l'on obtient le résultat connu : 4a2d2+6abcd-4ac3-4b3d3b2c2. La circonstance mentionnée ci-dessus s'oppose à resoudre de la manière dont il s'agit, le problème de trouver le nombre des invariants d'un ordre donné: problème qui a toujours bravé mes efforts. Avant d'entamer la solution des équations (A), je vais démontrer quelques propriétés générales des covariants, et des invariants. Pour abréger, je me servirai du mot,,pesanteur", en disant que les coefficients a, a, etc. ont respectivement les pesanteurs 0— i̟n, 1—n, etc. que les variables x, y ont respectivement les pesanteurs,, et que la pesanteur d'un produit est égale à la somme des pesanteurs des facteurs. Cela posé, je dis que tout covariant est composé de termes dont chacun à la pesanteur zéro. Pour démontrer cela, j'écris: où, en formant les produits (Q), (Q), les quantités a, a,,... a, sont censées non affectées par les symboles O., Oa,,... da, de la différentiation, on en tire an Or en supposant les deux parties de cette équation symbolique appliquées au covariant 1, la partie gauche de l'équation s'évanouit en vertu des équations, (4) et l'équation se réduit à Фля ce qui est une nouvelle équation à différences partielles, à laquelle satisfait le covariant q. Or il est aisé de voir que cette équation exprime le théorème |