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Nouvelles recherches sur les Covariants.

(Par Mr. A. Cayley à Londres.)

Je me sers de la notation

(av), Ang... An)(x, y)" pour représenter la fonction

a, 2" + * 28-4y +.. tany", en supposant que les coefficients aó, aí etc. soient donnés par l'équation

(a , ,..... 4)(4x+u, 4' 14') = (a, a, ... a) (,9)", supposée identique par rapport à x, y.

Soit g (au, A1,... An; x, y) une fonction des coefficients et des variables, telle que

y (a', ai,...ah; x, y) = (au' a'u). 4 (Qo, Ang ... Uni axe + uy, a'r tu'y). Cette fonction y sera généralement un Covariant," et dans le cas particulier, où o est fonction des seuls coefficients, un Invariantde la fonction donnée.

Je suppose d'abord que les nouveaux coefficients soient donnes par l'équation

(av, Ung ... an)(x+2y, y)" = (a', ai, ... ah) (x, y)". Cela donne les relations

a' = ang

a + a )
a = 0, +212, + ? av,

etc.
Il faut donc que le covariant y satisfasse à l'équation

(a , a,... ; 2, 3) = $(au , 4 ,..; + 2, 9), qui peut aussi être écrite comme suit:

(X) pai, ai, ... ', ; x ay, y) = 4(ao, Ang...An; x,y). De même, en fesant (av, Ang...an)(x, ux +y)" = (

an)(a, y)", Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2.

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ce qui donne

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an-ı = An-1 tuane
an_2= An-2+2uan-1 tan,

etc.
le covariant y doit satisfaire aussi à l'équation

(Y) (a) , a,... a); 1, July) = 4(a, a,... a, 1, 2); et récipoquement, toute fonction, o homogène par rapport aux coefficients et aussi par rapport aux variables, qui satisfait à ces équations (X, Y), sera un covariant de la fonction donnée.

Examinons d'abord l'équation (X) que je représente par d'=4. Soit pour le moment, ai - =201, as 4, =la, etc. Alors on aura, comme à l'ordinaire, l'équation symbolique

= (c,da, tada .+,0an –yêx) c. où les quantités an, az etc., en tant qu'elles entrent dans di, &, etc., ne doivent pas être affectées par les symboles 02,, , etc. de la différentiation. En substituant les valeurs de d,, 02, ... et en ordonnant selon les puissances de à, cette équation donne

P = 40+229, ... +1"70-2–2.y@rco où les symboles q, q, etc. sont données par

Q = a,da, + 22,0a, ... tnan-Oana
Q. = ayða, + 3a,da, ... +1.1.2an_2@an ,
..............

On-1= a, Oana et les quantités Qi, a, etc., en tant qu'elles entrent dans les symboles 0, 0, etc., ne doivent pas être affectées par les symboles ða, , Da, etc. de la différentiation. Il est assez remarquable que l'équation symbolique peut aussi être écrite sous la forme plus simple

P = -y@x?, où les quantités 21, 22, ..., en tant qu'elles entrent dans le symbole Q, sont censées affectées des symboles 09,, da, etc. de la différentiation; de manière que dans le développement, Q?.4 par exemple, signifie q.Og, et ainsi de suite. Je ne m'arrête pas sur ce point, parceque pour ce que je vais démontrer

de plus important, il suffit de faire attention à la première puissance de a. D'ailleurs l'intelligibilité des équations dont il s'agit, sera facilitée en faisant les développements et en comparant les puissances correspondantes de a. Cela donne par exemple:

Q = Q? +291, Q = q*+390,7602, etc. où les symboles Q2, Q etc. à gauche de ces équations dénotent la double, triple etc. répétition de l'opération , tandis qu'à côté droit des équations, les quantités (1, A2, ... etc., en lant qu'elles entrent dans les symboles 0, 0, etc. sont censées non pas être affectées des symboles Oa,, On, etc. de la différentiation. Dans la suite, si le contraire n'est pas dit, je me servirai des expressions Q’, Q etc. pour dénoter les répétitions de l'opération, et de même pour les combinaisons de deux ou de plusieurs symboles. Cela étant, l'équation g'=(9–90x) y=q donne

q= {1+2(&- yox)+13(Q-yox) + ...}, où (Q-yox)?. 4 (je le repete) équivaut à (Q-yox).(9-yəx)4; et ainsi de suite. Il faut d'abord que le coefficient de à s'évanouisse, ce qui donne (Q-y@x) o=0; et cette condition étant satisfaite, les coefficients des puissances supérieures s'évanouissent d'elles mêmes; c'est à dire, l'équation (X) sera satisfaite en supposant que y satisfait à l'équation aux différences partielles ( - y0x)9=0. En posant

= 0,00m-1 + 20n100m-2. tna @an,
i = a,banet 30.n-1 Odm-3 -- +14.2"azda, ,
................

,-= ano ang on fera un raisonnement analogue par rapport à l’équation (Y); et il sera ainsi demontré que o doit satisfaire aussi à l'équation à différences partielles (1 - x0,)y=0; donc enfin, on a le suivant Théorème. Tout covariant y de la fonction

(avg019... An)(x, y), satisfait aux deux équations à différences partielles

. (A.) ( -y0x/9=0, (0 - xy)p=0,

ой

© = a,0a, + 21,0a, ... + nan-Oane

O = nazoan + (n −1)azda, ... ta,odno Et réciproquement toute fonction, homogène par rapport aux coefficients et par rapport aux variables, qui satisfait à ces équations, est un covariant de la fonction donnée.

Par exemple, l'invariant q=ac b? de la fonction ax? +2bxy + cy? satisfait aux équations

(ao,+ 200. p=0, (260.+c04) =0, et le covariant p=(ac b) x2 + (bc) xy +(68 C)yde la fonction ax3 + 3bxy+- 3cxy? + dys satisfait aux équations (a+2b0.13c04-20)+=0, (340.12c01b0. - , p=0.

Il est clair qu'en ne considérant que les fonctions qui restent les mêmes en prenant dans un ordre inverse les coefficients Qu, 01, ... Qn et les variables x, y, respectivement, les covariants seront définis par l'une ou l'autre des équations (A), et qu'il n'est plus nécessaire de considérer les deux équations. Cela posé, on trouve assez facilement les covariants par la méthode des coefficients indéterminés. Mais il y a à remarquer une circonstance de la plus grande importance dans cette théorie, savoir, que l'on obtient de cette manière un nombre d'équations plus grand qu'il n'en faut pour déterminer les coefficients dont il s'agit. Ces équations cependant, étant liées entre elles, se réduisent au nombre nécessaire d’équations indépendentes.

Cherchons par exemple pour la fonction ax +36x2y + 3cxy+ dys un invariant o de la forme

y= Aud? + Babcd + Cac' +C6d+. Db'c', contenant les quatre coefficients indéterminés A, B, C, D. En substituant dans l'équation (aộ6+260c + 3coa)g=0, on obtient

(3C+2B) abd+(3B +6C+2D) abc? +(6A+B)acd+(3C+4D)bc=0. Or les quatre équations données par cette condition, se réduisent à trois équations indépendantes, de sorte qu'en faisant par exemple A= -1, les autres coefficients seront déterminés, et l'on obtient le résultat connu:

Q = ad? + 6abcd 4ac 463d736c?.

aux

S

La circonstance mentionnée ci-dessus s'oppose à resoudre de la manière dont il s'agit, le problème de trouver le nombre des invariants d'un ordre donné: problème qui a toujours bravé mes efforts.

Avant d'entamer la solution des équations (A), je vais démontrer quelques propriétés générales des covariants, et des invariants. Pour abréger, je me servirai du mot „pesanteur", en disant que les coefficients ans a, etc. ont respectivement les pesanteurs 0) – in, 1-in, etc. que les variables x, y ont respectivement les pesanteurs ·, - *, et que la pesanteur d'un produit est égale à la somme des pesanteurs des facteurs. Cela posé, je dis que tout covariant est composé de lermes dont chacun à la pesanteur zéro. Pour démontrer cela, j'écris:

(9-yox) (0 – x©y) = Qo-yox 0 - xÒ, ©+ry0x0, työy,

(0 – xoy)(Q yox) = DQ-yox 1 - x0, + xy0x0,+xôr. Cela donne

(Q-yox) (0 - 0) – (0 – 30,)(Q-yox) = Q0-00+yo, x Or, en fesant attention aux valeurs de Q, O, savoir Qo = (90)+na,da, +2(n-1)a 0a, .-- +1.1. An-Oames

Q = (09) +. n.1.00a, ... +2(n-1) an-Oan-, +1.na,dan, où, en formant les produits(20), (), les quantités ay, 11,... An sont censées non affectées par les symboles Oai , 09, 9 ... 0n, de la différentiation, on en tire Qo-0Q=n.a,da, + (n − 2)@0a, ... – na,Oan

=-2.{(0-1n) 4,02+(1-na,a, ... tin-in)a,da,}=-20, en représentant par © l'expression symbolique entre les crochels. Delà enfin on obtient:

(g-,), (0-0) = -2(+; 0,-46,). Or en supposant les deux parties de cette équation symbolique appliquées au covariant fi, la partie gauche de l'équation s'évanouit en vertu des équations, (A) et l'équation se réduit à

(B) (0+1 xôx 4y0,4=0; ce qui est une nouvelle équation à différences partielles, à laquelle satisfait le covariant y. Or il est aisé de voir que cette équation exprime le théorème

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