énoncé ci-dessus, savoir que tout covariant est composé de termes de la pesanteur zéro. Il suit de là, en considérant un covariant qu'un coefficient quelconque A; aura la pesanteur is, ou bien que les pesanteurs forment une progression arithmétique aux différences 1, et dont les termes extrèmes sonts, + įs. Substituons maintenant cette valeur de dans les équations (4). La première équation donne d'abord: (a) QA1 =0, QA,= A1, QA2=241, 0 SA-1 ... De même, la seconde équation donne (B) 4.=0, 4=A, DA_=24_,...D4=84: système qui équivaut aux deux équations (B') ¡3+1 A=0, ¶ = x2 ex.. On voit que A, satisfait aux deux équations ... A. et en supposant que cette quantité soit connue, on trouve les autres coefficients A1, A2, A par la seule différentiation, au moyen des équations (B). Or cela étant, je dis que les équations (a) seront satisfaites d'elles mêmes. En effet: des équations A=0, A, 84, on tire A=0, QÒA,=sQA1, et delà ́(ÒQ — Q0) A, = = A1. Or nous avons déjà vu que ÒQ-Q=20, et l'équation (B) donne 0. A+ 8. A 0: donc l'équation (Q), ——sQA, se réduit à QA,: équation du système (α). De la même manière on obtient les autres équations de ce système. On peut dire que l'on aurait pû déterminer également le coefficient 4, au moyen des équations Ao S (d') iA=0, 2.4=0, et delà les coefficients. A-19. ... A par les équations (α). Prenons par exemple un covariant (A。, A1, A1⁄2) (x, y) de la fonction ax3+3bx2y + 3cxy2+dy3. A doit satisfaire aux deux équations 2A=(3b0+2co + doc) Au, A2 = (360, +2cdь + də.) A1 a pour déterminer A1, A2; ce qui donne 24, að — bc, A2 = bỏ - c2, et on est conduit ainsi au covariant mentionné ci-dessus, savoir à (ac—b2) x2+(að — bc) xy + (bə — c2)y2. où dans (4), (4) les quantités a, a, ... sont censées non affectées par les symboles da,, da, etc., de la différentiation. Cela donne Appliquons ces deux équations symboliques à un covariant 4. Les termes à droite s'évanouissent à cause des équations (A), et l'on obtient les deux équations (O̟ —ydx) Aq= 0, (± −xə ̧)1⁄4q= 0, c'est à dire: Aq sera aussi un covariant de la fonction donnée. Par exemple de l'invariant savoir: résultat déjà connu. (— a2d+3abc 263)x3 -(-að2+3aco — 2c3)y3 ; Essayons maintenant à intégrer les équations (A); savoir: (2−y)=0, (n-rô,)=0. Pour intégrer la première, je reviens à une notation dont je me suis déjà servi dans ce mémoire et j'écris En faisant λ fera à l'équation, ce qui donne a=0, on voit sans peine que l'on satis" ao en mettant pour une fonction quelconque des quantités x+λy, +y, y; le nombre de ces quantités étant n+2. Et cela est la solution générale de l'équation. αύ, αύ, a', ... Ce résultat doit être substituée dans la seconde équation, savoir dans (□ – = 0. Pour cela, imaginons que les quantités a, a,... An x, y soient exprimées en fonction de ab, a2, a', x, y et a1, puisque q est fonction des seules quantités a, a, an, x, y. L'équation résultante doit être satisfaite, quelle que soit la valeur de a1. Or on trouve que cette équation résultante a la forme L+ Ma,=0: donc il faut qu'on aie à la fois les deux équations L= 0, M=0. (Je renvois à une note les détails de la réduction.) En dernière analyse, et en remettant dans les équations L=0, M=0 les quantités a, a, ... a, au lieu de a, a, aŋ, 2, les résultats suivants très simples, savoir, en écrivant .... ... a', je trouve +(n−n)a, dan: a = et il y a à remarquer qu'on obtient l'équation (C) en éliminant entre les équations (A) le terme d,, ; et puis, en mettant a1 = 0, on tire l'équation (D) de l'équation (B), en mettant de même a 0. Il y a à remarquer aussi que la fonction qui satisfait aux équations (C, D), est ce que devient un covariant quelconque, en y mettant a = 0. On obtient d'abord la valeur générale en changeant a, ɑ2,... a, en a, a, ... a, et en mettant après pour ces quantités leurs valeurs en termes de a, a, az, ... an. La solution du problème des covariants serait donc effectuée si l'on pourrait intégrer les équations (C, D). Or la quantité a, entre dans l'équation (C) comme constante, et l'on voit sans peine que cette équation pourra être intégrée en mettant a1 = 1; puis, en écrivant dans le résultat au lieu de a2, A3, ... ... በ, et Le résultat ainsi obtenu, en multipliant par une puissance quelconque de a. serait composé de termes de la même pesanteur; et en choisissant convenablement la puissance de a, on pourrait faire en sorte que ces termes fûssent de la pesanteur zéro. Or l'équation (D) ne fait qu'exprimer que la fonction est composée de termes de la pesanteur zéro; le résultat obtenu de la manière dont il s'agit, satisferait donc par lui même à l'équation (D), et il est permis de ne faire attention qu'à l'équation (C). Dans la pratique on intégrera cette équation en ayant soin de faire en sorte que les solutions soient de la pesanteur zéro, ce qui peut être effectué en multipliant par une puissance convenablement choisie de a Et puisqu'en fesant abstraction de cette quantité, l'équation (C) contient n+1 quantités variables, savoir A2, A3, ... An, x, y, la fonction sera une fonction arbitraire de n quantités; et en supposant que cette fonction ne contienne pas les variables x, y (cas auquel serait ce que deviendrait un invariant quelconque en y mettant = 0), sera une fonction arbitraire de n-2 quantités. La même chose sera évidemment vrai, si l'on retablit la valeur générale de a donc tout invariant sera une fonction d'un nombre n-2 d'invariants, que l'on pourra prendre pour primitifs; et tout covariant sera une fonction de ces invariants primitifs de la fonction donnée (laquelle est évidemment un de ses propres covariants), et d'un autre covariant que l'on peut prendre 16. Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2. pour primitif. Cela ne prouve nullement (ce qui est néanmoins vrai pour les invariants, à ce que je crois) que tout invariant est une fonction rationnelle et intégrale de n-2 invariants convenablement choisis, et que tout covariant est une fonction rationnelle et intégrale (ce qui en effet n'est pas vrai) de ces invariants, de la fonction donnée et d'un covariant convenablement choisi. Le cas n2 fait dans cette théorie une exception. On sait qu'il existe dans ce cas un invariant, savoir ac-b2 qui, selon la théorie générale, ne doit pas exister, et il n'existe pas de covariant, hormis la fonction donnée elle même. Or cette particularité, peut être aisement expliquée. Le cas n=3 rentre, comme cela doit être, dans la théorie générale. En effet, il existe dans ce cas un invariant, savoir la fonction ad2+6 abcô 4 ac3 - 4 b3 d+3b2c2 ci-dessus trouvée, et tout covariant de la fonction peut être exprimé par cet invariant de la fonction donnée elle même, et par le covariant (ac — b2) x2 + (að — bc) xy + (bd — c2)y2 ci-dessus trouvé. Il en est ainsi par exemple par rapport au covariant de troisième ordre, par rapport aux variables et aux coefficients; car en représentant par le covariant dont il s'agit, par W le covariant du second ordre, par u la fonction donnée ax3+3bx3y+3cxy+dy3 et par ▼ l'invariant, on obtient l'équation identique Þ2 -- □u2 =-4W3. Je fais mention de cette équation, parceque je crois qu'elle n'est pas généralement connue. Je vais donner maintenant quelques exemples des équations (C et D). Soit d'abord n=3, et supposons que ne contienne pas les variables x, y: sera une fonction de a, c, d, et les équations reviendront à (6c2ða aðð)=0, (-3ud+coc +зdda): d 202 0. Les quantités ac3, a'd', dont chacune est de la pesanteur zéro, satisfont par là à la seconde équation, et en mettant Aa'd' + Cac3, on obtient 44—C=0, en vertu de la première équation, ou en faisant A=-1. Cela donne C=-4; delà on tire —— a2ð2 — 4uc3, et la solution générale est q—F(—a2ð2—4ac3), Fétant une fonction quelconque. La formule plus générale — F(a,—a2ð2—4ac3) satisferait sans doute à la première équation, mais pour que cette valeur satisfasse à la seconde équation, il faut que la quantité (a), en tant qu'elle n'est pas contenue dans — a2ð2 — 4ac3, disparaisse. Ainsi la valeur donnée ci-dessus, savoir Φ = F(— a2ð2 — 4ac3), est la solution la plus générale des deux équations. |