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énoncé ci-dessus, savoir que tout covariant est composé de termes de la pesanteur zéro. Il suit de là, en considérant un covariant

Q = (A), A1,... A)(x, y)" qu’un coefficient quelconque A; aura la pesanteur 1-js, ou bien que les pesanteurs forment une progression arithmétique aux différences 1, et dont les termes extremes sont - 15, tis.

Substituons maintenant cette valeur de 4 dans les équations (A). La première équation donne d'abord :

(a) QA,=0, QA = A,, QA,=2A,, ... QA, = $A:-1: Cela est un système qui équivaut aux deux équations

(d') .A,=0, p=y.e". A. De même, la seconde équation donne

(B) LA,=0, JA,-1=A, JA,-2=24,-1, ....JA,=8A1: système qui équivaut aux deux équations

(B) js+1A,=0, y=re. A. On voit que A, satisfait aux deux équations

(~) A=0, js+1 A,=0, et en supposant que cette quantité soit connue, on trouve les autres coefficients A1, A2, ... As par la seule différentiation, au moyen des équations (B). Or cela étant, je dis que les équations (a) seront satisfaites d'elles mêmes. En effet: des équations A,=0, 9A,=sA, on tire MQA,=0, QCA,=$QA, et delà' (09-) A,-QA.

Or nous avons déjà vu que 09-90=20, et l'équation (B) donne 0. A, +48.A,=0: donc l'équation (oQ-00)A, = -8QA, se réduit à

A,= QA: équation du système (a). De la même manière on obtient les * autres équations de ce système. On peut dire que l'on aurait pû déterminer également le coefficient A, au moyen des équations

(8) A,=0, 0%. A,=0, et delà les coefficients. A,-19 ... A, par les équations (C).

Prenons par exemple un covariant (A0, A1, A2)(x,y)? de la fonction ar' + 36x2y + 3cxy' + dyA, doit satisfaire aux deux équations

(aðo+268c +3cô d) A, =0, (3682 +2côo t. dd) A,=0. Ces équations sont en effet satisfaites en mettant A,= ac 6?. On a donc les équations

2A=(3b0a+2c +do. A , A=(360.+2cos + đỏ.) 4 pour déterminer A1, A2; ce qui donne 2A,=bc, A, = bổ - , et on est conduit ainsi au covariant mentionné ci-dessus, savoir à

(ac 62)x? +(bc) xy +(68 c?)y?. Soit maintenant

x" Oon — *"-"y danny · Fy".0a, = 1, on aura

QA=(Q.4), 1Q=(19)- y où dans (0.1), (19) les quantités do, ang ... sont censées non affectées par les symboles da, , on, etc., de la différentiation. Cela donne

01-10 = you Or 0,1-10. = 4, donc:

(Q-yox). 1 = 119-yox), et de même:

(j– ,04 = 4(0–20,) Appliquons ces deux équations symboliques à un covariant 4. Les termes à droite s'évanouissent à cause des équations (A), et l'on obtient les deux équations

(Q-yőx) Ap=0, (0 - xoy) Ap=0, c'est à dire: 19 sera aussi un covariant de la fonction donnée. Par exemple de l'invariant

y = – a’d? + 6abcd 4ac46d+36'c', on tire le covariant

L (co da-cy 0.+ay 0-0.);

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a = a +iang
a' = az + 21a, ta av,
................

a = ant. niani ... tady. En faisant 1=- ce qui donne a'=0, on voit sans peine que l'on satisfera à l'équation, en mettant pour y une fonction quelconque des quantités ai, ai, ... an, x +ày, y; le nombre de ces quantités étant n+2. Et cela est la solution générale de l'équation.

Ce résultat doit être substituée dans la seconde équation, savoir dans (0 - ,q=0. Pour cela, imaginons que les quantités q,, ang ... Ons r, y soient expriméesv en fonction de , , ... ane t', y et an, puisque 4 est fonction des seules quantités a', a', ... an, x', y. L'équation resultante doit être satisfaite, quelle que soit la valeur de a,. Or on trouve que cette équation résultante a la forme L + Ma, = 0: donc il faut qu'on aie à la fois les deux équations L=0, M=0. (Je renvois à une note les détails de la réduction.) En dernière analyse, et en remettant dans les équations L=0, M=0 les quantités ,, , ... Q, au lieu de aí, , ... an, je trouve les résultats suivants très simples, savoir, en écrivant © = (0–4n),dan +:(2 – {nazoa +(3 – įn)azda, --.- +(n – įn)a, o an

Q = 3a, ôn: + 4az da, ... + nan-ı@am,
•j= (n 2 azon, + (n 3) aOn, .. ta, anak

em

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do

Les équations dont il s'agit sont
(C) {(x – 1)a (0-0)4 (j– ro, }$ = 0,

(D) (@+ 1x0x - iyo,)0 = 0, et il y a à remarquer qu’on obtient l'équation (C) en éliminant entre les équations (A) le terme aq,9; et puis, en mettant a=0, on tire l'équation (D) de l’équation (B), en mettant de même 0,= 0. Il y a à remarquer aussi que la sonction y qui satisfait aux équations (C, D), est ce que devient un covariant quelconque , en y mellant a, = 0. On obtient d'abord la valeur générale en changeant av, (2, ... On en av, as,...an, et en mettant après pour ces quantités leurs valeurs en termes de Qo, di, 42, ... An. La solution du problème des covariants serait donc effectuée si l'on pourrait intégrer les équations (C, D).

Or la quantité a, entre dans l'équation (C) comme constante, et l'on voit sans peine que cette équation pourra être intégrée en mettant Q=1; puis, en écrivant dans le résultat .. An au lieu de az, az, ... An, et en multipliant par une puissance quelconque de øv. Le résultat ainsi obtenu, serait composé de termes de la même pesanteur; et en choisissant convenablement la puissance de do, on pourrait faire en sorte que ces termes fûssent de la pesanteur zéro. Or l'équation (D) ne fait qu'exprimer que la fonction @ est composée de termes de la pesanteur zéro; le résultat obtenu de la manière dont il s'agit, satisferait donc par lui même à l'équation (D), et il est permis de ne faire attention qu'à l'équation (C). Dans la pratique on intégrera cette équation en ayant soin de faire en sorte que les solutions soient de la pesanteur zéro, ce qui peut être effectué en multipliant par une puissance convenablement choisie de llo. Et puisqu'en fesant abstraction de cette quantité de l'équation (C) contient n+1 quantités variables, savoir az, az, ... an, x, y, la fonction y sera une fonction arbitraire de n quantités; et en supposant que cette fonction ne contienne pas les variables x, y (cas auquel y serait ce que deviendrait un inrariant quelconque en y mettant 0,=0), sera une fonction arbitraire de n - 2 quantités.

La même chose sera évidemment vrai, si l'on retablit la valeur générale de 0,: donc tout invariant sera une fonction d'un nombre n-2 d'invariants, que l'on pourra prendre pour primitifs; et tout covariant sera une fonction de ces invariants primitifs de la fonction donnée (laquelle est évidemment un de ses propres covariants), et d'un autre covariant que l'on peut prendre Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVU. Heft 2.

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pour primitif. Cela ne prouve nullement (ce qui est néanmoins vrai pour les invariants, à ce que je crois) que tout invariant est une fonction rationnelle et intégrale de n-2 invariants convenablement choisis, et que tout covariant est une fonction rationnelle et intégrale (ce qui en effet n'est pas vrai) de ces invariants, de la fonction donnée et d'un covariant convenablement cl

. Le cas n=2 fait dans cette théorie une exception. On sait qu'il existe dans ce cas un invariant, savoir ac 62 qui, selon la théorie générale, ne doit pas exister, et il n'existe pas de covariant, hormis la fonction donnée elle même. Or cette particularité, peut être aisement expliquée.

Le cas n=3 rentre, comme cela doit être, dans la théorie générale. En effet, il existe dans ce cas un invariant, savoir la fonction ud? + 6 abcô 4 ac 46 d+ 36?c? ci-dessus trouvée, et tout covariant de la fonction peut

être exprimé par cet invariant de la fonction donnée elle même, et par le · covariant (ac 62) x2 +(bc) xy +(68 c)y ci-dessus trouvé. Il en est ainsi par exemple par rapport au covariant de troisième ordre, par rapport aux variables et aux coefficients; car en représentant par þ le covariant dont il s'agit, par W le covariant du second ordre, par u la fonction donnée and +3bxy + 3cxy+ oyi et par l'invariant, on obtient l'équation identique Þ?+- du = - 4W. Je fais mention de cette équation, parceque je crois qu'elle n'est pas généralement connue.

Je vais donner maintenant quelques exemples des équations (C et D). Soit d'abord 11=3, et supposons que ě ne contienne pas les variables x, y: 5 sera une fonction de a, c, d, et les équations reviendront à

(6c 0 400.2%=0, (-340.+ c0.13d0) =0. Les quantités aco, a'd', dont chacune est de la pesanteur zéro, satisfont par là à la seconde équation, et en mettant = Aud? + Cac?, on oblient 4 A-C=0, en vertu de la première équation, ou en faisant A= -1. Cela donne C= -4; delà on tire (=-uo?4uc', et la solution générale est ý=F(-aö-4aco), F étant une fonction quelconque. La formule plus générale g=F(a,-a224ac) satisferait sans doute à la première équation, mais pour que cette valeur satisfasse à la seconde équation, il faut que la quantité (a), en tant qu'elle n'est pas contenue dans – a?a? - 4ac", disparaisse. Ainsi la valeur donnée ci-dessus, savoir o= F(-«?? Auc), est la solution la plus générale des deux équations.

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