ce qui est l'expression la plus générale des invariants de la fonction ax3+3bx2y+3cry2+y, et l'on voit que tous ces invariants sont fonctions d'une seule quantité que nous avons prise ci-dessus pour l'invariant de la fonction de troisième ordre dont il s'agit. sera une fonction de a, c, d, e qui satisfait aux Soit encore n= = 4, = = 0, dont la solution générale est F(ae + 3c2, ace — ad2 — c3), F étant une fonction quelconque. On voit par là qu'il n'existe que les invariants indépendants ae- ·4bd3c2, ace + 2bcd — ad2 — b2e-c3. Ce résultat est connu depuis longtemps. Soit enfin n = 5, sera une fonction de a, c, d, e, f qui satisfait aux équations {3ad8+(2ae-12 c2)+(af — 16 cd) 0.- 20 ced,} {— §að — ¿cô. + įdða + že ô,+ § ƒ of } a с On sait qu'il y en a une solution de quatrième ordre par rapport aux quantités a, c, d, e, f; et en prenant la fonction la plus générale dont les termes ont la pesanteur zéro, on aura: Ф = Aa2f2 + Bacdf+Cace2+ Dade + Ec3e + Fc2d2: fonction qui satisfait d'elle même à la seconde équation. En substituant cette valeur dans la première équation, on trouvera que les coefficients A, B etc. doivent satisfaire à ces sept équations: 2B+2C-40A=0, 3B+D=0, 3C+ 4D=0, −12B | E — =0, 9E-24D4F-32C-20B=0, 6F-16D=0, -24F—16E=0, qui se réduisent cependant (ce que l'on n'aurait pas facilement deviné par la forme des équations) à cinq équations indépendantes. En faisant donc A=1, on trouve aisément les autres coefficients B, C etc. et on obtient ainsi: 9 = a2f2+-4acdf+16 ace2 - 12 ad2e+-48 c'e-32 c'd2: valeur qui peut être tirée d'une formule presentée dans mon mémoire sur les hyper déterminants, en y fesant b=0. . J'ai donné cet exemple pour faire voir qu'il serait impossible de déduire du nombre supposé connu des coefficients indéterminés qui correspondent à un ordre donné, le nombre des invariants de ce même ordre. Il est donc inutile de pousser plus loin cette discussion. Note 1 sur l'intégration des équations (4). En écrivant comme ci-dessus : il s'agit de trouver une quantité, fonction de a, a,... a, x et y qui satisfasse à la fois aux équations Pour intégrer ces équations, j'écris, comme plus haut: quelconque de a, a,... En considérant λ comme fonction an, et en supposant que soit une fonction de a, a1,... a, x', y', on parvient assez facilement à l'équation identique α, (1 + Qλ) (Q' — y'ox), où ' est ce que devient, en y a au lieu de a0, a1, (Q—ydx)4 = écrivant a, a1 ... ... a Nous pouvons donc satisfaire à la première équation, en déterminant ▲ au moyen de 10: équation qui serait satisfaite en écrivant — — ▲ ou, si l'on veut, en déterminant λ par a = =0. Donc, en supposant toujours que ait cette valeur, p sera une fonction quelconque de a, a,... a'n, x', y', λ c'est à dire d'un nombre n+2 de quantités. Ce sera donc là (comme l'on aurait pù facilement la prévoir), la solution générale de la première équation. Or en considérant comme fonction de a, a, a'; x', y', ou, si l'on veut, a'n; x', y' (où a = a1+2α=0), et en substituant cette de a, a1, a2, ... ... valeur dans l'équation (□ — æð,) = 0, on voit d'adord que la variation de fournit au résultat le terme la quantité Le terme x',. se réduit à — (x' +λy') (—λ0x+,), savoir à (— x' Oy, + X2 y' dx + h x' d x — hy' Oy) 4, Or en supposant que 'est ce que devient en y écrivant a, a, ... a au lieu de a, a,... a,, et en posant on obtient, après avoir fait une réduction un peut penible: (En effet les coefficients de 0, da etc. aux deux côtés de cette équation, deviennent les mêmes après des reductions convenables.) Donc enfin on a ou bien, puisque cette équation doit être satisfaite indépendamment de la quan tité à (qui seul contient a), elle est décomposée dans les deux équations {a' ( ̄`' — x'd,,) — (n — 1 ) a' ([' — y' ôx.)} & ... = 0. ... qui, en y mettant d'abord a=0, puis en rémettant a, 2, an, x, y au lieu de a, a2, an, x', y', et en écrivant,, Q, ·Ò au lieu de ,,,, donnent en effet les équations (C, D) dont je me suis servi dans le texte. Note 2. Je vais résumer dans cette note quelques formules qui feront voir la liaison qui existe entre les invariants d'une fonction de nième ordre et de la fonction de (n−1)ième ordre que l'on obtient en réduisant à zéro le coefficient de y", et en supprimant le facteur x. Il convient pour cela de considérer une fonction telle que (a0, a19 an) (X, Y)n = а1x" + a1x"―1y... + any", ... dans laquelle n'entrent plus les coefficients numériques du binome (1+x)”. Écrivons (αv, α1, . . . an) (X, Y)n = a1 (x — α12y) (x — α2y) ... (x — α„y). Je tâche d'abord à représenter les invariants au moyen des racines a1, a2,... αn, et j'etends pour le moment le terme invariant à toute fonction symétrique, ou non, des racines qui ait la propriété caractéristique des invariants: fonctions qui jusqu'ici ont été considérées tacitement comme rationnelles par rapport aux coefficients. et dans laquelle la somme des Cette quantité ▼ qui, égalée à zéro, exprime l'égalité de deux racines, et que je vais desormais nommer le,,Discriminant” de la fonction, sera une fonction rationnelle des coefficients, et d'un invariant proprement dit. Mais de plus, toute fonction telle que (a,a)” (α, —— α3)", indices des facteurs qui contiennent a1, celle des indices des facteurs qui contiennent a2 etc. sont égales, sera un invariant; et en réunissant ces fonctions, pour trouver une somme en fonction symétrique des racines, on obtiendra des invariants proprement dits. Cela soit dit en passant. Pour le moment il suffit de prendre les invariants les plus simples, savoir ceux de la forme 19 29 ... ... -1 ... n 0 qui en effet sont des rapports enharmoniques de quatre racines, prises à volonté. Soient Q1, Q2, Q-3 la fonction qui vient d'être écrite et les fonctions que l'on en tire en mettant α, α, a, au lieu de a4. Les fonctions ▼, Q1, Q2, Q-3 seront des invariants independants, et le nombre de ces invariants est n-2. Donc, tout autre invariant sera une fonction des quantités, Q1, Q2, Q-3. Soit maintenant a,= 0, et a, la racine qui devient égale à zéro. Les quantités Q1, Q2, Q-4 seront toujours des rapports enharmoniques de quatre racines de l'équation du (n-1)ième ordre. Il n'y aura que la seule quantité Q-3 qui change de forme, et elle ne sera pas un invariant de la fonction du (n-1)ième ordre. On voit aussi d'abord que le discriminant ▼ se réduit à a-V。, en exprimant par 1 le discrimi– nant de la fonction du (n-1)ième ordre. (C'est je crois M. Joachimsthal qui a le premier remarqué cette circonstance.) Donc, en supposant a1 = 0, l'invariant de la fonction du nième ordre deviendra une fonction de a Q1, Q2, Q-4 et d'une quantité X qui n'est pas un invariant de la fonction de (n-1)ième ordre, mais qui sera toujours la même quel que soit l'invariant dont il s'agit. En considérant les invariants proprement dits de la fonction. de (n-1)ième ordre, on peut former avec ces invariants des quotients 1, 12, In- du degré zéro par rapport aux coefficients. Nous pouvons remplacer par ces quotients les quantités Q1, Q2, ... Q-4, et dire que l'invariant de la fonction de nième ordre, en mettant a, 0, deviendra une fonction des quantités a–10, 11, 12, In- et X. ... ... ... = Ces théorèmes auront, je crois, quelque utilité pour les recherches ultérieures. Je les laisse à côté maintenant, et veux présenter une méthode assez simple pour calculer les discriminants. Pour cela je remarque que les équations (4) en changeant, comme nous venons de le faire, les valeurs des coefficients, donnent pour les invariants: . Or = a-Vo, pour a1 = 0, la fonction devient a- Vo, ou, si l'on veut, -a; donc an |