où a1 est la puissance la plus élevée de a,. Donc, en supposant que V soit connu, et en mettant la première des équations écrites ci-dessus sous la forme (F-10a„) ▼=0, où F=na ̧ða,+(n−1) a1 da, F: a ̧ +2αn-20an-1" on obtiendra par la seule différentiation les coefficients B, C etc. En effet, cette équation donne an = F(a), 2a,-iC — — F(B), 3a,-1 et ainsi de suite. = ... Soit par exemple n-3, et considérons la fonction de troisième ordre ax3 + ẞx2y+7xy2+ Sy3. Le discriminant de ax2+ẞxy+ry2 sera 4ay — B2. Nous avons donc c'est à dire B 18aßy-4ß3, C=27a2, et de là: = -27 a22+18aßyS — 4ay3 — 4ß38+ B2 y2: valeur qui correspond en effet à la forme ordinaire 2 a22+6abcd-4ac3 — 4b3d+3b2c2, en changeant d'une manière convenable les coefficients. Londres, Stone Buildings, 23 Févr. 1852. 5. Das elliptische Potential. (Von Herrn Dr. M. G. von Paucker, b. Secr. der kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, corr. Mitgliede der Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg.) (Diese, der Kaiserlichen Universität zu Dorpat bei der Jubelfeier ihres funfzigjährigen Wirkens am 1224 December 1852 mit dem Glückwunsch der kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst überreichte Schrift ist nicht in den Buchhandel gekommen, sondern sind nur wenige Exemplare davon abgezogen und diese sämmtlich von dem Herrn Verfasser verschenkt worden Sie erscheint, mit dessen Erlaubnifs, hier.) Die Mécanique céleste hat ein sinnreiches Verfahren gezeigt, Kräfte, die im umgekehrten Verhältnifs des Quadrats der Entfernung wirken, aus einem durch Integration bestimmten Anziehungspotential mittels Differentiirung zu finden, (Siehe Livre II. 11 und Livre III. 4.) Sowohl Laplace selbst, als spätere Mathematiker, haben das Anziehungspotential vielfältig untersucht. Auf diese Theorie hier näher einzugehen wird nicht beabsichtigt. Es sollen nur einige eigenthümliche Umbildungen mitgetheilt werden: einzelne Werkstücke eines Systems auf einem vielleicht neuen Felde. Nur die hauptsächlichsten Beziehungen sind ausgehoben. Das Bedürfnifs der Kürze machte es rathsam, Alles zu unterdrücken, was einer weitern Ausführung angehört, und was der Leser selbst einschalten mag. Der Ausdruck, den das Anziehungspotential vor der Integration hat, heifst das geometrische Potential. Dieses ist entweder ein lineäres, welches dem Dreieck, oder ein elliptisches, welches dem Kegelschnitt entspricht. Derjenige Theil des Potentials, welcher sich blofs auf den Winkel bezieht, heifst das Indicial. Dieses ist also ebenfalls, entweder lineär, oder elliptisch. Ein im September d. J. der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg vorgelegter Aufsatz zeigt die Entwickelung des lineären Potentials nach Indicialen. Diese Reihe ist ausreichend, um die Anziehung des Erdsphäroïds zu bestimmen. Hier wird zunächst diese erste Entwickelung kurz berührt werden. Daran wird eine zweite Entwickelung geknüpft werden, welche nach Potenzen Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2. 17 der Seite fortschreitet. Man steigt so von dem einfachen Indicial zu dem allgemeinen lineären Indicial hinauf. Die Bestimmung der Axen eines Kegelschnitts führt auf das elliptische Potential und Indicial. Einige Eigenschaften desselben werden angezeigt werden. Als Anwendung wird die Aufgabe gestellt werden, die Anziehung eines gleichmässig dichten Ellipsoïds auf einen äussern Ort, aus der OberflächenAnziehung herzuleiten. Man sieht hier, wie die Sätze von Maclaurin, Laplace und Ivory auf einem beträchtlichen Umwege zu demselben einfachen Ausdruck führen, welcher in dem obengedachten Aufsatz durch ein anderes, nicht nur kürzeres, sondern auch allgemeineres Verfahren ermittelt worden ist. = In einem Dreieck sei die feste Seite 1, die bewegliche und veränderliche Seiter, der Winkel zwischen den Seiten = y, cosy = c, ist. Die Einrichtung läfst sich immer so treffen, dafs r ein echter Bruch Man hat alsdann : Die Entwickelung des lineären Potentials P nach Indicialen ist P = eˆ = k‚— w ̧k1î1+w2k2î2...... ... Die Gröfsen k enthalten blofs die Seite r, und heifsen daher Potentialseiten. P1rx+p2px +2 Py gx + y + Py+2 px+y+2 ... ... (2x + y −n) (n + 1 − y)py + (y + 2) (y+2x+3) Py+2 = : 0. Für n=1 oder für positive n ist kein geschlossener Ausdruck, dessen Glieder - Anzahl (n+3) ist. = Für n-3 oder n grösser als 3 ist keine unendliche Reihe, welche durch Multiplication mit einer Potenz von r' zu einem geschlossenen Ausdruck wird. A Es ist de Diese Gleichung stimmt mit der obigen für P, wenn m―n=4 ist. Es sei also so ergiebt sich für die Potentialseite ein geschlossener Ausdruck für m= oder > 3. Entwickelung des lineären Potentials P nach der Dreiecksseite r. d. h. das lineäre Indicial verwandelt sich für n=-1 in das einfache Indicial, und für n-3 in das einfache Subindicial. Der obengedachte Aufsatz giebt die Coefficienten von und e für alle x, Cx bis x = 13. x Für ein positives n ist für alle Glieder, deren Zeiger x gleich oder gröfser als n+1 sind, das lineare Indicial C durch c'+1 theilbar. Der Quotient D ist ebenfalls ein lineäres Indicial, und zwar dasjenige, welches dem negativen Exponenten (n+2) entspricht. Mit gehöriger Berücksichtigung der Vorzeichen ist: c2 + c2, 10 Z. B. D = 3 143 Von einer Ellipse seien M die Mitte, O ein Ort des Umfanges, MO=r der Halbmesser, F und F, die beiden Brennpuncte, MF MF1=f die Brennweite, FO= und F,O=g, die beiden Leitstrahlen, der Winkel FMO, cos y c, sin yc'. 1 Die Normallinie der Ellipse hälftet den Winkel FOF, und trifft die grofse Axe in D. Um D sei ein Kreis beschrieben, welcher den Halbmesser MO berührt. Aus M und O seien an diesen Kreis Berührende gezogen, welche in G zusammentreffen. Der Kreis D ist also dem Dreieck MOG eingeschrieben. Ein dem Dreieck FOF, umschriebener Kreis geht durch G. Die |