7.

Über den ersten der von Gaufs gegebenen Beweise des Reciprocitätsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste.

(Von Herrn Professor G. Lejeune Dirichlet zu Berlin.)

Unter

nter den zahlreichen Beweisen des Fundamentaltheorems der Lehre von den quadratischen Congruenzen hat mir der früheste, von Gaufs schon im Jahre 1796 gefundene und in den Disq. arithm. sec. IV bekannt gemachte immer besonders merkwürdig geschienen, sowohl wegen des so einfachen Gedankens, welcher demselben zu Grunde liegt, als auch deshalb, weil dieser Beweis, so viel ich weifs, der einzige ist, in welchem die Betrachtung das Gebiet der Congruenzen zweiten Grades, welchem der Satz wesentlich angehört, nirgend verläfst, wogegen die übrigen Begründungsarten auf Principien beruhen, die diesem Gebiete mehr oder weniger fremd zu sein scheinen *). Wenn aber dieser schöne Beweis die Kürze vermissen läfst, welche einige der späteren in so hohem Grade auszeichnet, so liegt dieser Mangel nicht im Wesen der Methode und hat vielmehr seinen Grund in dem zufälligen Umstande, dafs zur Darstellung gewisser Beziehungen, welche bei dieser Behandlungsweise häufig wiederkehren, kein zur Rechnung geeignetes Zeichen benutzt ist, wodurch es nöthig geworden ist, acht verschiedene Fälle zu unterscheiden, von denen jeder wieder in mehrere Unterabtheilungen zerfällt. Durch Einführung des zuerst von Legendre gebrauchten Zeichens in der allgemeinern Bedeutung, welche Jacobi demselben später gegeben hat, und durch einige andere Vereinfachungen, welche jedoch das Wesen des Beweises eben so wenig ändern, zieht sich dieser in solchem Grade zusammen, dafs er kaum noch hinter einem der übrigen hinsichtlich der Kürze zurückzustehen scheint, in so fern man nämlich nicht unberücksichtigt läfst, dafs ein Theil der in demselben vorkommenden

*) Gaufs selbst beurtheilt seinen ersten Beweis in einer spätern Abhandlung (Comment. soc. Gott. vol. XVI pag. 70) wie folgt: Sed omnes hae demonstrationes, etiamsi respectu rigoris nihil desiderandum relinquere videantur, e principiis nimis heterogeneis derivatae sunt, prima forsan excepta quae tamen per ratiocinia magis laboriosa procedit, operationibusque prolixioribus premitur.

Entwicklungen für die Theorie der quadratischen Reste auch dann unentbehrlich bleibt, wenn man für das Reciprocitätsgesetz eine andere Beweismethode wählt. Ich habe einer auf die angegebene Weise vereinfachten neuen Darstellung dieses Gegenstandes um so mehr einige Seiten widmen zu dürfen geglaubt, als mir die Erfahrung wiederholt gezeigt hat, wie sehr angehenden Mathematikern das Verständnifs der früheren durch die grofse Anzahl der darin unterschiedenen Fälle erschwert wird.

S. 1.

In diesem ersten Paragraphen sollen einige für das Folgende unentbehrliche Elementarsätze und Definitionen angeführt werden.

Je nachdem die Congruenz

ak (mod. m),

in welcher keine positive oder negative ganze Zahl bedeutet, möglich oder nicht möglich ist, heifst k quadratischer Rest oder Nichtrest des Moduls m, dessen Zeichen natürlich gleichgültig ist. Es ist zu unserem Zwecke gestattet, k und m immer ohne gemeinschaftlichen Theiler vorauszusetzen. Für den besonders wichtigen Fall, wo m eine ungerade Primzahl p ist, soll das Zeichen

(die positive oder negative Einheit bedeuten, je nachdem & quadratischer

Rest oder Nichtrest von p ist.

Der bekannte Satz, dafs das Product k'k'... quadratischer Rest oder Nichtrest von p ist, je nachdem diejenigen der Factoren k', k", die quadratische Nichtreste von p sind, in gerader oder ungerader Anzahl vorhanden sind, wird mit Hülfe unseres Zeichens durch die Gleichung

Für die Möglichkeit der Congruenz x2= k (mod. p"), worin @>1, ist offenbar die Bedingung (#)=1 erforderlich und man beweist auch leicht, dafs, sobald diese Bedingung erfüllt ist, die Congruenz für jeden Werth von @ lösbar ist. Anders verhält es sich mit der Congruenz x2=k (mod. 2). Für @ 1 hat die ungerade Zahl k keine Bedingung zu erfüllen; für ☎=2 und

3 dagegen besteht die zur Lösbarkeit der Congruenz nöthige und auch ausreichende Bewegung resp. darin, dafs k die Form 4u +1 oder 8u+1 habe. Ist der Modul in unserer Congruenz das Product von Potenzen ver

schiedener Primzahlen, so ist es für die Möglichkeit derselben nöthig und ausreichend, dafs sie nach den verschiedenen Primzahlpotenzen lösbar sei. wo p

Wir wollen jetzt dem oben für den Fall definirten Zeichen (#),

eine ungerade Primzahl bezeichnet, die in der positiven oder negativen Zahl k nicht aufgeht, eine allgemeinere Bedeutung geben, und in der Voraussetzung, dafs die ungerade Zahl m, deren Zeichen gleichgültig ist, mit k keinen gemeinschaftlichen Theiler habe und in ihre gleichen oder ungleichen Primfactoren p', p", p"", ... zerlegt sei, so dafs also m=p'p"p""...., unter dem Zeichen (4) das Product

m

k

...

verstehen. Wie leicht zu sehen,

kann in einem solchen Symbol statt keine nach dem mod. m mit k congruente Zahl gesetzt werden und gelten für solche Symbole die beiden Gleichungen

jetzt nicht mehr dieselbe Beziehung hat wie früher, wo m eine Primzahl Ist die Congruenz lösbar, so folgt zwar noch, dafs (4)—1, da als

war.

dann nach Obigem alle Factoren, als deren Product wir

m

m

definirt haben, der positiven Einheit gleich sind, aber man kann offenbar nicht umgekehrt von der Bedingung (—)=

m

=

1, auf die Möglichkeit der Congruenz schliefsen.

Schliesslich soll noch bemerkt werden, dafs, m immer ungerade vorausgesetzt, die Möglichkeit der Congruenz læ2 = k (mod. m), wenn darin k und 7 relative Primzahlen zu m sind, die Gleichung (H)=1 zur Folge hat, wie sogleich erhellet, wenn man die Congruenz in die Form (lx)2 = kl bringt.

S. 2.

Wir kommen nun zu dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhandlung, zu den Kriterien, durch welche für eine gegebene positive oder negative Zahl k die einfachen ungeraden Moduln p, deren quadratischer Rest k ist, von denjenigen unterschieden werden, zu denen k das entgegengesetzte Verhalten hat. Da nach dem oben angeführten Satze die verlangte Unterscheidung auf die ähnliche hinsichtlich der Primfactoren von k zurückkommt, so haben wir nur die drei Fälle zu untersuchen, wo k einer der Zahlen -1, 2 oder

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2.

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einer positiven ungeraden Primzahl q gleich ist. Für diese drei Fälle sind die gewünschten Kriterien in den folgenden Gleichungen enthalten, in denen die ungerade Primzahl p wie q positiv und von q verschieden ist.

p in der Form 4u +1 oder 4u3 enthalten ist, nach der zweiten hat man

=1 für p8u+1,7, dagegen

༡

nach der dritten ist immer (2)=(4), ausgenommen wenn beide Primzahlen P, q die Form 4u+3 haben, in welchem Falle (2)=-(3/

(デー

ist.

Die Gleichungen (a) und (b) sind für gewisse besondere Fälle leicht zu beweisen. Für die erstere ist dies der Fall, wo p die Form 4u+3 hat, und also -1 sein mufs. Fände diese Eigenschaft nicht für alle Primzahlen 4μ+3 Statt, so sei p die kleinste, für welche (1)=1. Dann kann man setzen e2+1=ph, und wenn man, wie es immer geschehen kann, e<p und zugleich gerade wählt, wird auch h<p und in der Form 4u+3 enthalten sein. Die Zahl hat also einen Primfactor r<p von derselben

Form 4μ+3, für welchen aus der Gleichung (1)= −1 folgt, was unserer Voraussetzung widerspricht.

Um zweitens zu beweisen, dafs immer (2)= −1,

wenn p in einer der Formen 8u3, 5 enthalten ist, nehme man an, es gebe Primzahlen von einer dieser Formen, für welche der Satz nicht Statt findet, und bezeichne mit p die kleinste derselben. Man kann dann wieder setzen e2-2=ph, und, wenn man e ungerade und zugleich <p wählt, wird wegen e2-2-8μ +7, h der Form 8u+3, 5 von p entsprechend die Form 8u+5, 3 haben und überdies <p sein. Da nun aus Primfactoren, die sämmtlich in einer der Formen 8u1, 7 enthalten sind, keine Zahl 8u +3, 5 entstehen kann, so giebt es also einen Primfactor r von h, welcher die Form 8u+3, 5 hat, und für den nach obiger Gleichung unserer Voraussetzung zuwider, =1 wäre.

Den in ganz ähnlicher Weise zu führenden Beweis, dafs (デー

wenn peine der Formen 8u+5,7 hat, werden wir der Kürze wegen übergehen. Bringt man dieses letztere Resultat für den Fall, wo p8u7, in die Form 1, und bemerkt, dafs nach Obigem, da die Form

7 ein besonderer Fall der Form 4u+3 ist, (1)= -1, so erhält

8u7

man für die Primzahlen p= 8μ+7, (2)

=

1, so dafs also jetzt der Satz (b) für alle Primzahlen bewiesen ist, die nicht in der Form 8u+1 enthalten sind.

S. 3.

Ehe wir die in dem vorigen Paragraphen aufgestellten Gleichungen allgemein zu beweisen unternehmen können, sind aus diesen als richtig vorausgesetzten Gleichungen einige Folgerungen zu ziehen, denen wir folgende Bemerkung vorausschicken.

Will man für ein Product RПIr ungerader Factoren r den Rest nach dem Divisor 4 bestimmen und bringt jeden Factor r in die Form (r−1)+1, so kann man bei der Multiplication alle Glieder weglassen, in denen erste Theile dieser Binomien in einander multiplicirt vorkommen. Es ist also

R=1+(r-1) (mod. 4)

oder (R-1) und (r-1) sind gleichartig, d. h. entweder beide gerade oder beide ungerade.

Auf dieselbe Weise folgt aus R2=IIr2, da jedes ungerade Quadrat 2 die Form 8u+1 hat,

R2 = 1 + Σ(r2-1) (mod. 64)

́und daraus wieder die Gleichartigkeit der Zahlen (R2 −1) und Σ}(r2 −1). Mit Hülfe dieser Bemerkung ist es nun leicht, aus den obigen Gleichungen die folgenden allgemeinern von gleicher Form abzuleiten, in welchen P und Qirgend zwei positive ungerade Zahlen bezeichnen, die keinen gemeinschaftlichen Theiler haben:

Setzt man P=IIp, wo p jeden der gleichen oder ungleichen in Penthaltenen Primfactoren bezeichnet, wendet auf jedes p den Satz (a) an und