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Setzt man statt (-1) die Zahl (p+1), welche nach obiger Gleichung mit }(4-1) gleichartig ist, und į(p-1)+ 3 (p-1) statt 1 (pp'-1), so erhält der Exponent den Werth į (p+1)(p-1) + 1 (p-1), welcher offenbar gerade ist. Es ist also (?)=1.

III. Setzt man im dritten Falle q=ppy, e=pp'g, so erhält man Ppg1=94, woraus (mm)=1, (-7)=(,0) )=1, und dann (9=(-1;łpp=1).}{+1) folgt. Da nun }(4+1) offenbar gerade ist, so kommt schliesslich („)=1.

Die Gleichungen (a) und (c) und die daraus abgeleiteten (a') und (c') sind somit allgemein bewiesen.

S. 7. Es ist nun noch übrig, den oben unerledigt gebliebenen Fall des Satzes (b) für die Primzahlen der Form 8u+1 nachzuholen. Man bezeichne mit q eine beliebige Primzahl dieser Form und nehme an, der Satz sei für alle Primzahlen derselben Form, welche <sind, oder, was nach dem in S. 2. schon Bewiesenen ganz dasselbe ist, für alle Primzahlen <9 gültig. Lässt sich aus dieser Voraussetzung die Gleichung C)=1 deduciren, so wird der Satz ohne Beschränkung gelten. Die Richtigkeit dieser letzteren soll nun dadurch gezeigt werden, dass aus der Annahme 6 )=-1 ein Widerspruch abgeleitet wird.

Wählt man eine Hülfsprimzahl p <q von solcher Beschaffenheit, dass © =-1 ist, so hat man nach der eben gemachten Annahme =1, und kann folglich setzen e’ — 2p=94, wo, e ungerade und <q vorausgesetzt, g ebenfalls ungerade und, abgesehen vom Zeichen, <q sein wird. Es ist jetzt zu unterscheiden, ob y durch p nicht theilbar oder theilbar ist.

I. Im ersten Falle ergiebt sich sogleich

aus

auss

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und dann

1 (n1). 1099–1). Top 99p Nun ist die Gleichung (6'), in welcher das Zeichen von P gleichgültig ist, und welche eine Folge von (6) ist, offenbar auf die Zahl o anwendbar, deren sämmtliche Primfactoren der Gleichung (6) genügen. Da hiernach )=(-14?–1), so kann man der letzten Gleichung die Form geben: .

-1 = (-1*[?(p-1)(991)+4?-1) Der eingeklammerte Ausdruck wird sich offenbar um ein Vielfaches von 16 ändern, wenn man darin für 991 und q andere Zahlen setzt, welche diesen mod. 8 congruent sind. Nun folgt aber aus obiger Gleichung, wegen é = 1, q=1 (mod. 8), sogleich 99-13-2p, q=1—2p (mod. 8), so dass also unser Ausdruck = - 4p(p-1)+(1-2p)? —1=0 (mod. 16), und folglich die zweite Seite unserer Gleichung im Widerspruch mit der ersten der positiven Einheit gleich ist.

II. Ist y durch p theilbar, so setze man y=py, e=pg, woraus pg-2 =9y. In Folge dieser letzteren Gleichung bat man

( )=-6)6)=1, 62,0)=))=1, und dann, wie oben

-1 = (-1)!?(p-1)(94+1)+p'+y?–21. Setzt man wieder statt der Zahlen qy+1 und y die diesen in Folge obiger Gleichung nach dem Modul 8 congruenten p-1 und p — 2, so sieht man, dass der eingeklammerte Ausdruck

: = 2(p-1)+p+(p— 2)? — 2 = 4(p-1)2 = 0 (mod. 16), woraus sich derselbe Widerspruch wie oben ergiebt.

Über ein die Division betreffendes Problem.

(Von Herrn Professor G. Lejeune Dirichlet zu Berlin.)
(Aus dem Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Jan. 1851.)

In einer früheren Abhandlung *) ist beiläufig bemerkt worden, dass bei der Division einer ganzen Zahl n durch alle nicht grössern der Fall häufiger vorkommt, dass der Rest unter dem halben Divisor liegt, als der entgegengesetzte, wo er denselben übertrifft oder ihm gleich ist, und es ist dort zugleich gezeigt worden, dass das Verhältniss der Anzahl der Divisoren, bei welchen der erste Fall eintritt, zu ihrer Gesammtanzahl n für ein wachsendes n sich der Grenze 2 – log 4= 0,61370.... nähert. Es scheint einiges Interesse darzubieten, die Untersuchung zu verallgemeinern und die Anzahl h derjenigen der Divisoren 1, 2, ... p, wo p <n, zu bestimmen, denen ein Rest entspricht, dessen Verhältniss zum Divisor unter einem gegebenen echten Bruche a liegt. Bedient man sich der eckigen Klammern zur Bezeichnung der grössten ganzen Zahl, welche der eingeklammerte Werth enthält, so dass also X - [x] immer Null oder ein positiver echter Bruch ist, so ist leicht zu sehen, dass der Divisor s die verlangte Eigenschaft haben oder nicht haben wird, je nachdem die Differenz

· positiven Einheit oder der Null gleich ist. Man hat also

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wo sich das Summenzeichen wie überall im Folgenden auf s bezieht. In dieser Form ist der Ausdruck für h weder zur numerischen Rechnung geeignet, noch lässt sich daraus erkennen, wie h für wachsende Werthe von n und p sich ändert. Eine diesem doppelten Zweck entsprechende Gestalt erhält derselbe durch folgende auch in vielen anderen Fällen anwendbare Umformung.

Es sei y=f(x) eine Funclion, welche, wenn die Veränderliche x von X=ubis x =P wächst, immerfort abnimmt. Die durch Umkehrung

*) Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. Abhandl. der Akademie zu Berlin. Jahrgang 1849.

daraus entstehende Function x= F(y) wird offenbar denselben Character haben und ebenfalls immer kleiner werden, während die Veränderliche y von y=f() bis y=f(u) zunimmt. Versteht man unter den Constanten u und p ganze Zahlen, setzt zur Abkürzung [f(u)]=v, [f (P)]=4, und bildet die Reihe

[f(u)], [f(u + 1)], .. [f(s)], .. [f(p)], in welcher jedes Glied dem folgenden gleich ist oder dasselbe übertrifft, so soll nun ausgemittelt werden, welche Glieder dieser Reihe einer beliebigen zwischen 9 und v liegenden ganzen Zahl t gleich sind. Hierzu suche man zunächst den völlig bestimmten Zeiger s desjenigen Gliedes, dessen Werth t, während das folgende <t ist. Man hat also [f(s)]21, [f(s +1)]<t, oder, was dasselbe ist, f(s) 2t, f($+1)<t, woraus nach der über die Function f(x) gemachten Voraussetzung, s <F(t), s+1>F(1), d. h. s=[F(1)] folgt. Wendet man dieses Resultat auf t und t+-1 an, so sieht man, dass der Werth t nur denjenigen Gliedern zukommt, deren Zeiger s die doppelte Bedingung

$>[F(t+1)] und s [F(0] erfüllen. Dieses Resultat erleidet wegen des gegebenen Anfangs und Endes der Reihe, für t=v die Modification, dass alsdann die erste Bedingung s zu wird, und für t=9 die, dass statt der zweiten s <p zu setzen ist. Mit Berücksichtigung dieses Resultates, ist es nun leicht die Summe

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in welcher y(s) eine ganz beliebige Function bedeutet, dadurch zu transformiren, dass man zuerst alle Glieder vereinigt, in denen [f(s)] einen und denselben Werth hat, und dann alle so erhaltenen Partialsummen addirt. Setzt man Eq(s) = ¥(s), so erhält man für die Partialsumme, worin [f(s)] den Werth 1 hat, wenn q<i<v ist,

1([F(0)] — ¥[F(t+1)]), und für t=v und t=q resp.

v(¥[F(v)] 4(u)) und 9((p) ¥[F(4+1)]), und dann

3 [()](8) =(p) vY(u)+Š ¥[F(8)]. Sondert man jetzt in jeder der heiden Summen, welche der oben für h gegebene Ausdruck enthält, die u ersten Glieder ab und wendet die eben

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gefundene Formel auf die übrigen Glieder an, so ergiebt sich

[]=[]+p9 – uv, wo [m]=v und []=4 ist, und

[-a] = [a]+pg' – uv', wo man [* -a)=v, [5 -a]=q' hat. Setzt man zur Abkürzung y -V'=d, q-4 = E, so dass und ε nur

er einen Telete summer als die vloem die Werthe 0 oder 1 haben können, bringt die letzte Summe in die Form

vir n ]

]=i[4.]+[972]-3[04]

9tilstad und substituirt, so kommt

1 = [:]-[; –a))+((:1-67a])

+(p-1,1,De-(4-(,4,DS. Die eben bewirkte Umformung, obgleich für alle Werthe von p gültig, ist nur in dem Falle vortheilhaft, wenn p grösser als yn ist, und wird in dieser Voraussetzung am vortheilhaftesten, wenn man, wie es im Folgenden geschehen soll, für die bisher beliebig gelassene Zahl u eine der ganzen Zahlen wählt, welche yn benachbart sind. Wie leicht zu übersehen, beträgt alsdann die Anzahl der zur genauen Bestimmung von h nöthigen Divisionen ungefähr 2yn-*, während der ursprüngliche Ausdruck p Divisionen erforderte.

Wir wollen nun in der Voraussetzung, dass p von einer höheren Ordnung als yn ist, d. h. dass mit n über jede Grenze hinaus wächst, den Grenzwerth des Verhältnisses der Anzahl der Divisoren, welchen die verlangte Eigenschaft zukommt, zu deren Gesammtzahl p zu bestimmen suchen. Bei dieser Untersuchung kann man in dem Ausdrucke für h alle Glieder, deren Ordnung niedriger als die von p ist, vernachlässigen; lässt man das erste weg, dessen Ordnung yn nicht überschreiten so wie das vierte, welches nur eine beschränkte Anzahl Einheiten enthalten kann, so kommt

h = ([:]-[1.])+(p-147.Dk, oder auch, wenn man die Klammern weglässt, was offenbar nur eine Änderung

nur eine

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