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oder, wenn man die Gleichung (c') auf die beiden Combinationen pp', ; -p anwendet,

p',

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Setzt man statt (y-1) die Zahl (p+1), welche nach obiger Gleichung mit (1) gleichartig ist, und (p − 1) + (p'—1) statt (pp'-1), so erhält der Exponent den Werth (p+ 1 ) (p' − 1) + 4 (p2-1), welcher offenbar gerade ist. Es ist also

= 1.

=

III. Setzt man im dritten Falle pp'y, e=pp'g, so erhält man pp'g2-1=qy, woraus

=

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1, (−77")=("})(—) = 1, und dann


pp' pp'

}) - · 1)}(pp(−1) · 4(+1) folgt. Da nun (-1) offenbar gerade ist, so kommt

pp'

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Die Gleichungen (a) und (c) und die daraus abgeleiteten (a') und (c') sind somit allgemein bewiesen.

S. 7.

Es ist nun noch übrig, den oben unerledigt gebliebenen Fall des Satzes (b) für die Primzahlen der Form 8u1 nachzuholen. Man bezeichne mit q eine beliebige Primzahl dieser Form und nehme an, der Satz sei für alle Primzahlen derselben Form, welche < sind, oder, was nach dem in §. 2. schon Bewiesenen ganz dasselbe ist, für alle Primzahlen <q gültig. Läfst sich aus dieser Voraussetzung die Gleichung

1 deduciren, so wird der Satz ohne Beschränkung gelten. Die Richtigkeit dieser letzteren soll nun dadurch gezeigt werden, dafs aus der Annahme =-1 ein Widerspruch abgeleitet wird.

()

2

2p

Wählt man eine Hülfsprimzahl p<q von solcher Beschaffenheit, dass =-1 1 ist, so hat man nach der eben gemachten Annahme (27) = 1, und kann folglich setzen e2-2p=q¶, wo, e ungerade und <q vorausgesetzt, ebenfalls ungerade und, abgesehen vom Zeichen, <q sein wird. Es ist jetzt zu unterscheiden, ob durch p nicht theilbar oder theilbar ist. I. Im ersten Falle ergiebt sich sogleich

(2)=
= () () ()=1,

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2.

= 1,

20

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Nun ist die Gleichung (b'), in welcher das Zeichen von P gleichgültig ist, und welche eine Folge von (b) ist, offenbar auf die Zahl anwendbar, deren sämmt

liche Primfactoren der Gleichung (1) genügen. Da hiernach (2)=(−1)*(«2—1), so kann man der letzten Gleichung die Form geben:

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Der eingeklammerte Ausdruck wird sich offenbar um ein Vielfaches von 16 ändern, wenn man darin für q4-1 und andere Zahlen setzt, welche diesen mod. 8 congruent sind. Nun folgt aber aus obiger Gleichung, wegen e2 = 1, q= 1 (mod. 8), sogleich q-1=-2p, q=1-2p (mod. 8), so dafs also unser Ausdruck = −4p(p-1)+(1—2p)2 −1 = 0 (mod. 16), und folglich die zweite Seite unserer Gleichung im Widerspruch mit der ersten der positiven Einheit gleich ist.

Ф

II. Ist durch p theilbar, so setze man q=py, e=pg, woraus =qy. In Folge dieser letzteren Gleichung hat man

2=

pg2 - 2 =

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-1 = (−1)}[2 (p−1)(q¥+1)+p2+w3—2] ̧

Setzt man wieder statt der Zahlen qy+1 und

die diesen in Folge obiger

Gleichung nach dem Modul 8 congruenten p-1 und p-2, so sieht man, dafs

der eingeklammerte Ausdruck

= 2 (p −1)2+p2 + (p − 2)2 — 2 — 4(p-1)2 = 0 (mod. 16),

woraus sich derselbe Widerspruch wie oben ergiebt.

8.

Über ein die Division betreffendes Problem.

(Von Herrn Professor G. Lejeune Dirichlet zu Berlin.)

(Aus dem Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Jan. 1851.)

In einer früheren Abhandlung *) ist beiläufig bemerkt worden, dafs bei der Division einer ganzen Zahl n durch alle nicht gröfsern der Fall häufiger vorkommt, dafs der Rest unter dem halben Divisor liegt, als der entgegengesetzte, wo er denselben übertrifft oder ihm gleich ist, und es ist dort zugleich gezeigt worden, dafs das Verhältnifs der Anzahl der Divisoren, bei welchen der erste Fall eintritt, zu ihrer Gesammtanzahl n für ein wachsendes n sich der Grenze 2-log 40,61370.... nähert. Es scheint einiges Interesse darzubieten, die Untersuchung zu verallgemeinern und die Anzahl derjenigen der Divisoren 1, 2, ... p, wo p≤n, zu bestimmen, denen ein Rest entspricht, dessen Verhältnifs zum Divisor unter einem gegebenen echten Bruche a liegt. Bedient man sich der eckigen Klammern zur Bezeichnung der gröfsten ganzen Zahl, welche der eingeklammerte Werth enthält, so dafs also x-[x] immer Null oder ein positiver echter Bruch ist, so ist leicht zu sehen, dafs der Divisor s die verlangte Eigenschaft haben oder nicht haben wird, je nach

dem die Differenz []-[2-a] der positiven Einheit oder der Null gleich

ist. Man hat also

h ==

=

--

wo sich das Summenzeichen wie überall im Folgenden auf s bezieht. In dieser Form ist der Ausdruck für h weder zur numerischen Rechnung geeignet, noch läfst sich daraus erkennen, wie h für wachsende Werthe von n und P sich ändert. Eine diesem doppelten Zweck entsprechende Gestalt erhält derselbe durch folgende auch in vielen anderen Fällen anwendbare Umformung.

Es sei y = f(x) eine Function, welche, wenn die Veränderliche x von μ bis rp wächst, immerfort abnimmt. Die durch Umkehrung

*) Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. Abhandl. der Akademie zu Berlin. Jahrgang 1849.

daraus entstehende Function = F(y) wird offenbar denselben Character haben und ebenfalls immer kleiner werden, während die Veränderliche y von y = f(p) bis y = f(u) zunimmt. Versteht man unter den Constanten μ und P ganze Zahlen, setzt zur Abkürzung [f(u)]=v, [f(p)]=4, und bildet die Reihe [f(u)], [f(u+1)], [f(s)], . . [f(p)],

in welcher jedes Glied dem folgenden gleich ist oder dasselbe übertrifft, so soll nun ausgemittelt werden, welche Glieder dieser Reihe einer beliebigen zwischen und liegenden ganzen Zahl gleich sind. Hierzu suche man q zunächst den völlig bestimmten Zeiger s desjenigen Gliedes, dessen Werth t, こち während das folgende <t ist. Man hat also [f(s)]≥t, [f(s+1)]<t, oder, was dasselbe ist, f(s)≥t, f(s+1)<t, woraus nach der über die Function f(x) gemachten Voraussetzung, s≤F(t), s+1>F(t), d. h. s=[F(t)] folgt. Wendet man dieses Resultat auf t und t+1 an, so sieht man, dass der Werth t nur denjenigen Gliedern zukommt, deren Zeiger s die doppelte Bedingung s>[F(t+1)] und s≤[F(t)]

erfüllen. Dieses Resultat erleidet wegen des gegebenen Anfangs und Endes der Reihe, für t=v die Modification, dafs alsdann die erste Bedingung s μ wird, und für t=q die, dafs statt der zweiten s≤p zu setzen ist. Mit Berücksichtigung dieses Resultates, ist es nun leicht die Summe

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in welcher (s) eine ganz beliebige Function bedeutet, dadurch zu transformiren, dafs man zuerst alle Glieder vereinigt, in denen [f(s)] einen und denselben Werth hat, und dann alle so erhaltenen Partialsummen addirt. Setzt

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man ≥4(s) = F(s), so erhält man für die Partialsumme, worin [f(s)] den

1

Werth hat, wenn q<t<v ist,

t(F[F(t)] — Y[F(t+1)]),

und für t=v und t=q resp.

und dann

v (Y[F(v)] — Y(u)) und q(F(p)—¥[F(q+1)]),

{[f(s)]4(s) = q¥(p) — v ¥(u)+Σ T[F(s)].

从+1

9+1

Sondert man jetzt in jeder der beiden Summen, welche der oben für h gegebene Ausdruck enthält, die u ersten Glieder ab und wendet die eben

gefundene Formel auf die übrigen Glieder an, so ergiebt sich

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Setzt man zur Abkürzung v—v':
v — v' = 8, q-q', so dafs & und nur

die Werthe 0 oder 1 haben können, bringt die letzte Summe in die Form

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Die eben bewirkte Umformung, obgleich für alle Werthe von p gültig, ist nur in dem Falle vortheilhaft, wenn p gröfser als √n ist, und wird in dieser Voraussetzung am vortheilhaftesten, wenn man, wie es im Folgenden geschehen soll, für die bisher beliebig gelassene Zahl u eine der ganzen Zahlen wählt, welche √n benachbart sind. Wie leicht zu übersehen, beträgt alsdann die Anzahl der zur genauen Bestimmung von h nöthigen Divisionen ungefähr 2√n- während der ursprüngliche Ausdruck p Divisionen erforderte.

n

p

Wir wollen nun in der Voraussetzung, dafs p von einer höheren Ordnung als √n ist, d. h. dass —mit n über jede Grenze hinaus wächst, den Grenz

Vn
h

p

werth des Verhältnisses der Anzahl der Divisoren, welchen die verlangte Eigenschaft zukommt, zu deren Gesammtzahl p zu bestimmen suchen. Bei dieser Untersuchung kann man in dem Ausdrucke für h alle Glieder, deren Ordnung niedriger als die von p ist, vernachlässigen; läfst man das erste weg, dessen Ordnung yn nicht überschreiten so wie das vierte, welches nur eine beschränkte Anzahl Einheiten enthalten kann, so kommt

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oder auch, wenn man die Klammern wegläfst, was offenbar nur eine Änderung

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