صور الصفحة
PDF
النشر الإلكتروني

welche die Ordnung √n nicht übersteigt, zur Folge hat,

[ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

Verwandelt man die obere Grenze v in oc, so erhält die Summe den

[merged small][merged small][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors]

n

[ocr errors]

Man mufs jetzt den Fall, wo der Quotient welcher der Voraussetzung nach 1 ist, über jede Grenze hinaus wächst, und denjenigen, wo dieser Quotient endlich bleibt, von einander unterscheiden. Im ersten Falle nähert sich das zweite Glied der Null, während das Verhältnifs der im ersten enthaltenen Summe zu die Einheit zur Grenze hat, so dafs also die Grenze

[blocks in formation]
[ocr errors]

pq

[ocr errors]

a, d. h. mit a zusammenfällt.

n

Im zweiten Falle, wo und also auch 4=[] endlich bleibt, ist es zweck

p

mäfsig, den unmittelbar durch die letzte Gleichung gegebenen Grenzwerth von p in eine andere Form zu bringen, indem man statt der Summe die Differenz von zwei anderen einführt, welche von s1 bis resp. s∞ und s=q genommen sind, und dann die erste durch ein Integral ausdrückt. Unsere Gleichung wird so

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

wo das Integral, welches für jeden rationalen Werth von a durch Logarithmen und Kreisfunctionen darstellbar ist, eine bekannte vielfach untersuchte Transcendente ist. Setzt man speciell pn, so wird q=1, q' =0, 0, &= Grenzausdruck geht über in

ε = 1, und der

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors]

Mit Hülfe der in der Abbandlung von Gaufs, welche den Titel führt, Disq. gen. circa seriem etc., gegebenen Tafel dieser Transcendente kann man leicht den Werth von a bestimmen, dem ein gegebener Werth des Integrals entspricht und man findet z. B. dafs, wenn für die halbe Anzahl der Divisoren 1, 2, .. n das Verhältnifs des Restes zum Divisor unter a liegen soll, α= 0,384686... sein mufs.

9.

De formarum binariarum secundi gradus compositione. (Auct. G. Lejeune Dirichlet.)

(Commentatio mense Majo an. MDCCCLI ad actum quendam academicum in univ. litt. reg. Berol. celebrandum typis expressa et distributa.)

Plures abhinc iam annos quum esset propositum quaestionem de numero classium formarum secundi gradus, quae determinanti dato respondent, ad theoriam numerorum complexorum transferre, elementa doctrinae de formis ab integro mihi fuerunt exponenda quippe quae nonnisi in casu ubi de integris realibus agitur, ante erunt evoluta. Quam elementorum expositionem paucis pagellis absolvere mihi successit quibusdam adiuto considerationibus in hac doctrina nondum adhibitis, quae integris tam realibus quam complexis aeque sunt accommodatae *). Disquisitionem illo loco ad proprietates restrinxi quae ad formarum aequivalentiam et transmutationem numerorumque per formas repraesentionem spectant et quae solae ad quaestionem cui illa commentatio erat dicata, requirebantur. De formarum compositione tunc non egi, quod argumentum ab illustrissimo Gaufs in Disquisitionum arithmeticarum" sectione quinta maxima quidem generalitate sed per calculos tam prolixos tractatum esse constat, ut perpauci compositionis naturam percipere valuerint eo magis quod summus geometra, ut ipse monuit, brevitati consulens theorematum difficiliorum demonstrationes synthetice adornavit, suppressa analysi per quam erant eruta. Quare confidere posse mihi videor, huius argumenti expositionem novam et plane elementarem artis analyticae cultoribus non fore ingratam.

1o.

Antequam formarum compositionem aggrediamur, pauca quae vel nota sunt vel ex notis facile deducuntur, sunt praemittenda.

Valores datos, S', S", ... qui congruentiae

u2 = D

secundum modulos m, m', m", ... resp. satisfaciunt, inter se concordantes

* Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et indéterminées complexes, in Diarii Crelliani tomo XXIV.

vocabimus, si radix Z eiusdem congruentiae ad mod. mm'm" ... relatae inveniri poterit ita comparata ut habeatur

[merged small][ocr errors][merged small]

Sufficiet considerare casum ubi moduli m, m', m", sunt impares

et ad ipsum D primi.

...

m',

...

Facile perspicitur, congruentiis propositis satisfieri non posse, nisi respectu singulorum numerorum primorum duos pluresve ipsorum m, metientium valores respondentes 5, 5', ... inter se sint congrui. Quae conditio si locum habet, ex valoribus datis, S', 'S", cognoscentur residua π, π', . ipsius Z respectu singulorum numerorum primorum inaequalium P, p', productum mm'm"... metientium. Quum vero residua î, î', ... sint manifesto radices congruentiae nostrae sec. mod. p, p',

[ocr errors]
[ocr errors]

...

...

resp., ex notis de congruentiis doctrinae elementis colligitur, exstare radicem et quidem unicam Z congruentiae sec. mod. mm'm"... satisfacientem ipsisque л, î', sec. mod. p, p',... congruam, simulque nullo negotio perspicitur fore Z= (mod m), Z=' (mod m') etc.

‚ ...

Quum terminus constans D in congruentia nostra contentus in sequentibus semper eundem valorem servare debeat, brevitatis gratia radicem datam modulo m respondentem per notationem (m, ) designabimus. Qua notatione introducta, radicem Z ex datis, ', ... inter se concordantibus modo indicato deducendam, quam ex his compositam dicemus, commode hoc modo

(in, 'S) (m', 5') (m', '5") . . .

=

{mm'm" . . . .

Z)

designare possumus. Caeterum observamus, radices S, S',

...

semper inter

se concordare, si m, m', ... inter se sint primi, et hoc etiam valere in casu, quem exclusimus et ubi m, m', ad 2D non sunt primi. Patet enim, tum Z per congruentias Z= (mod m), Z=' (modm'), ... respectu mod. mm'...... iam plene definiri, simulque fore Z2=D (mod mm' ...).

2o.

In formis secundi gradus hic considerandis

ax2+2bxy+cy2,

quarum determinans D= b2- ac, coefficientes a, b, c a divisore communi liberos supponemus, quippe ad quem casum reliqui facile reducuntur. Constat formas conditioni enunciatae satisfacientes duos constituere ordines, prout coefficientium ext. a, c alteruter saltem est impar aut uterque par. Casum

posteriorem brevitatis causa hic excludemus quum ratiocinia ad priorem applicanda mutatis mutandis in altero quoque valeant.

Si in forma data indeterminatis x, y valores determinati inter se primi (id quod semper erit subintelligendum) tribuuntur, ita ut habeatur

ax2+2bxy+cy2 =m,

numerum m (qui semper ad 2D primus erit supponendus) per formam repraesentari dicemus. Acceptis integris έ, ʼn talibus ut sit aŋ—ys — 1, notum est facileque demonstratur, expressionem

(ax+by)+(bx + cy) n

fore radicem congruentiae u2 = D (mod m), semperque hoc modo eandem radicem esse prodituram quomodocunque ipsi, varientur. Radix (m, ), ad quam repraesentationem datam pertinere dicemus, alio modo definiri potest, ad propositum nostrum accommodatiore. Si in aequat. per quam exhibuimus, per y multiplicata, n-1 loco producti ys ponis, perspicitur esse

(1) ax+by -y (mod m)

qua congruentia plene definitur dummodo y ad mod. m sit primus. Sin autem ipsi y cum modulo est divisor communis max. d unitate maior, quem etiam ipsum a metiri patet, congruentia nostra nihil aliud docet quam haec

[merged small][ocr errors][ocr errors][merged small]

m

б

Cui incommodo

ita ut respectu divisorum primorum ipsius d', si qui sunt, ipsum non metientium, residua ipsius hoc modo cognosci non possint. facile medeberis, si attenderis, ex aequat. supra datis sequi (mod d) ideoque

(2) S = b (mod d)

ban, xn: 1.

qua formula cum superiore iuncta, residua ipsius resp. singulorum divisorum ipsius m iam plene erunt nota.

x et m, simili modo haberi

Observamus si sit div. com. ipsorum

(3) S S = - b (mod ε).

His addimus sequentia quae quamquam abunde sunt nota, hic in conspectum produxisse e re erit.

1o. Si duae formae sunt aequivalentes (proprie, id quod semper subintelligemus) et prior in posteriorem transit ope substitutionis = ax' + By', y=yx'+dy', ubi að — ßy = 1, patet numerum m per alteram repraesen

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 2.

21

tabilem etiam per alteram repraesentari posse facileque demonstratur, binas eiusdem numeri repraesentationes ope aequat. praec. inter se connexas ad eandem radicem (m, ) pertinere. Quare repraesentationes ad exp. datam (m, pertinentes ad classem integram erunt referendae quae erit unica.

2o. Vice versa enim demonstrari potest, ex duabus eiusdem numeri m per duas formas eiusdem determinantis repraesentationibus quae ad eandem radicem (m,) pertineant sequi formarum aequivalentiam.

3o. Denique patet, data radice qualibet (m, ), exstare classem per cuius formas m ita repraesentari possit, ut radix his repraesentationibus respondens sit (m, 5). Manifesto enim m per formam (m,,D) cuius coeff. a divisore com. sunt liberi et in qua m est impar, repraesentatur ponendo x=1, y=0, quam repraesentationem ad (m, ) pertinere elucet.

[ocr errors][merged small]

m

[blocks in formation]

' eiusdem determinantis D, sint m et m' bini quilibet integri impares et ad D primi tali modo per et ' resp. repraesentabiles, ut radices (m, 5), (m', '), ad quas hae repraesentationes pertineant, inter sese sint concordantes. Quibus suppositis, totius rei cardo in eo vertitur ut demonstretur, repraesentationes ipsius mm' ad expressionem (m, 5) (m', ') pertinentes, semper per eandem formam effectum iri sive potius ad eandem classem esse referendas, quocunque modo ipsi m, m' varientur. Quod est theorema in hac doctrina fundamentale.

Supponamus formas datas (a, b, c), (a', b', c') `ita praeparatas esse ut expressiones (a, b), (a', b') inter se concordent, id quod ex. gr. efficitur, formarum alterutram transmutando in aequivalentem cuius coefficiens primus cum alterius coefficiente primo divisorem communem non habeat. At probe notandum est, analysin in sequentibus evolvendam nihil requirere nisi ut (a, b) et (a', b') inter sese sint concordantes, sed neque opus esse, ut a et a' inter se, neque magis ut ad 2D sint primi. Designando per (aa', B) expressionem ex compositione ipsarum (a, b) et (a', b') oriundam ita ut habeatur B=b (mod a), B = b' (mod a'), D= B2- aa'C, ubi C est integer, patet formas B2 cum his ipsis aequivalentibus

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

commutari posse, quibus primo per a et a' resp., dein inter sese multiplicatis,

« السابقةمتابعة »