nun die Lage von M nicht gegeben, aber dagegen noch ein 6ter Punct 4, durch welchen C3 gehen soll, so findet folgender Satz stall:

,,Soll eine Curve dritten Grads, C3, durch gegebene 6 Puncte 5p und q gehen, und einen Mittelpunct M haben, so ist der Ort des letztern eine Curve 5 Grads, = 95.”

Von dieser Ortscurve M sind nachstehende 57 Puncte theils unmittelbar gegeben, theils leicht zu construiren, indem sie die Mittelpuncte specieller Curven C3 sind. Nämlich die Curve M5 geht:

1) Durch die gegebenen 6 Puncte selbst; denn jeden derselben kann man als M annehmen und verlangen, die Curve C3 soll durch die 5 übrigen gehen (§. 2.).

2) Durch die Mitten u der 15 Geraden G, welche die gegebenen 6 Puncte paarweise verbinden; denn man kann die Mitte u einer solchen Geraden G als M annehmen und verlangen, die C3 soll durch den einen Endpunct von G und durch die 4 übrigen gegebenen Puncte gehen; so geht sie auch zugleich durch den andern Endpunct von G.

3) Durch die Mittelpuncte m der 6 Kegelschnitte C2, welche einzeln durch je 5 der gegebenen 6 Puncte gehen. Denn ein solcher C2 und sein durch den 6ten Punct gehender Durchmesser sind zusammen eine specielle C3, welche mit C2 den Mittelpunct gemein hat (S. 4.).

4) Durch die Mittelpuncte m, der 30 Kegelschnitte C, wovon jeder einzeln durch 4 der gegebenen 6 Puncte geht und seinen Mittelpunct in der die 2 übrigen verbindenden Geraden G hat. Denn ein solcher C und die zugehörige G sind zusammen eine C3, welche durch alle 6 Puncte geht und mit C denselben Mittelpunct hat. In jeder Geraden G liegen 2 Mittelpuncte m1.

Dies sind zusammen 57 Puncte: 1) 5p+q; 2) 15μ; 3) 6m; und 4) 30m1.

In jeder der 15 Geraden G kennt man demnach alle ihre 5 Schnitte mit der Curve M5: nämlich ihre zwei Endpuncte (2p, oder p und q), ihre Mitte und die in ihr liegenden 2m,.

Um die Bestimmung der 30 Mittelpuncte m, deutlicher zu machen, bezeichne man die 5p durch a, b, c, d, e. Je 4 der gegebenen 6 Puncte, etwa a, b, c und d, bestimmen 6G, deren Mitten, 6u, in einem Kegelschnitte M2 liegen, welcher der Ort der Mittelpuncte aller durch a, b, c und d gehenden Kegelschnitte (C) ist (§. 6.), und welcher somit die durch e und q

gehende G in den genannten 2m, schneidet; ferner geht M2 auch durch die Mittelpuncte, 2m, der beiden Kegelschnitte C2, welche beziehlich durch die 5 Puncte abcde und abcdq bestimmt werden (3); folglich kennt man auch alle Schnitte des Kegelschnitts M2 mit der Curve M5, nämlich die genannten 6u, 2m, und 2m, zusammen = 10 Schnitte. Es giebt im Ganzen 15 solche Kegelschnitte M2.

II. Durch das Vorstehende (I.) läfst sich nunmehr auch leicht entscheiden, wieviele Curven C3, welche Mittelpuncte haben, durch 7 gegebene Puncte 5p, q und r gehen. Denn soll die C3 nur durch die 6 Puncte 5p und gehen, so ist gleicherweise, wie vorhin (I.), der Ort ihres Mittelpuncts Meine neue Curve Mi; und soll also C3 durch alle 7 Puncte zumal gehen, so mufs ihr Mittelpunct in beiden Ortscurven M5 und Mi zugleich liegen, d. h. er mufs einer ihrer gegenseitigen Schnitte sein. Nun ist die Zahl dieser Schnitte = 25; allein nach der obigen Auseinandersetzung befinden sich darunter 16 solche, welche der Forderung nicht genügen können, weil sie von den 5p allein abhängen, nämlich dieselben sind 1) die 5p selbst, 2) 10μ, d. h. die Mitten der durch die 5p bestimmten 10 Geraden G, und 3) ein m, der Mittelpunct des durch die 5p gehenden Kegelschnitts C2; denn durch diese 16 Puncte gehen beide Ortscurven; daher bleiben für die Lage des Mittelpuncts M der Curve C3 nur 9 Schnittpuncte übrig. Dies begründet den folgenden Satz:

,,Durch gegebene Puncte in einer Ebene gehen, im Allgemeinen, nur 9 solche Curven dritten Grads, welche Mittelpuncte haben."

Daraus schliefst man: a) Dafs unter den unendlich vielen Curven dritten Grads A3, welche durch beliebig gegebene 8 Puncte gehen, und somit einen Curvenbüschel B(A3) mit 9 gemeinschaftlichen Puncten bilden, sich im Allgemeinen keine befindet, welche einen Mittelpunct hat. b) Hat aber insbesondere eine der Curven einen Mittelpunct, so braucht deshalb von den übrigen keine einen Mittelpunct zu haben. c) Befinden sich insbesondere zwei darunter, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, so kann von den übrigen keine einen Mittelpunct haben, d. h.,,durch die Schnittpuncte zweier Curven A3, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, kann keine dritte gehen, welche ebenfalls einen Mittelpunct hat." d) Weifs man von drei Curven A3, dafs sie 8 Puncte gemein haben und dafs jede einen Mittelpunct hat: so folgt, dafs sie concentrisch sein müssen, und dafs alle zu ihrem Büschel ge

hörigen Curven ebenfalls Mittelpuncte haben und mit ihnen concentrisch sind, und dafs jene 8 (oder 9) Puncte die oben (§. 3.) beschriebene besondere Lage haben müssen. Analoges findet bei den höheren Curven statt.

S. 8.

In Betracht der Ortscurve M3 (§. 7. I.) sind durch besondere Wahl der gegebenen 6 Puncte, 5p und q, oder a, b, c, d, e und 4, zahlreiche specielle Fälle möglich, von denen einige hier kurz angedeutet werden sollen. I. Wenn die gegebenen 6 Puncte in einem Kegelschnitte C liegen, dessen Mittelpunct M, heifsen mag: so vereinigen sich die dort genannten 6 Kegelschnitte C2 (§. 7. I. 3.) alle in C und ihre sechs Mittelpuncte m in M. Da C3 mit jedem seiner Durchmesser C zusammen eine C3 vorstellt, welche durch die 6 Puncte geht und M, zum Mittelpunct hat: so folgt dafs M ein vielfacher Punct der Curve M3 sein muss. Oder, wenn der durch die 5 Puncte a, b, c, d, e gehende Kegelschnitt C den 6ten Punct g zum Mittelpunct hat, so folgt eben so, dafs dann die Curve M3 den Punct q zum Doppelpunct haben muss.

II. Liegen von den 6 Puncten drei, etwa d, e und q, in einer Geraden B: so muss M5 in diese Gerade und in eine Curve M1 zerfallen, so dafs M3 = B+M*. Denn jeder beliebige Punct N in der Geraden B ist Mittelpunct eines Kegelschnitts N der durch die 3 Puncte a, b, c geht, und der also mit B zusammen eine Curve C3 repräsentirt, welche durch die 6 Puncte geht und ihren Mittelpunct M in N hat; so dafs folglich B zum Ort der Mittelpuncte M gehört. Die Curve M geht durch folgende leicht angebbare 39 Puncte. 1) Durch a, b und c; 2) durch die Mitten u sowohl der 36, welche die Puncte a, b, c unter sich, als der 96, welche a, b, c mit d, e, q verbinden, also durch 12u; 3) durch die Mittelpuncte m der 3C2, welche beziehlich durch die dreimal 5 Puncte abcde, abcdq, abceq gehen; 4) durch 18 Puncte m1, in welchen die vorgenannten 9G von den ihnen (wie oben §. 7. I.) entsprechenden Kegelschnitten M2 geschnitten werden; und ferner durch 3 Puncte m,, in welchen die vorgenannten 3G, d. i. ab, ac, bc beziehlich von 3 Geraden C1, B1, A, geschnitten werden, die so bestimmt sind, dafs z. B. C, durch die Mitten u der 3 Geraden cd, ce und cq geht und die ab in m, trifft. Demnach kennt man die 4 Schnitte von jeder der 15 Geraden 3G, 9G, A, B, und C, mit der Curve M; eben so die 8 Schnitte von jedem der 9 Kegelschnitte M2 mit M*.

III. Liegen die 6 Puncte zu 3 und 3 in zwei Geraden, etwa a, b, c in A, und d, e, q in B: so mufs die Ortscurre M3 aus diesen Geraden und aus einer Curve M3 bestehen, so dafs M3 =A+B+M3. Die Curve M3 geht durch folgende, leicht construirbare, 27 Puncte. 1) Durch 9u, die Mitten der 9G, welche die Puncte in A mit denen in B verbinden; 2) durch die 18 m,, in welchen die 9G von den zugehörigen 9 M2 geschnitten werden. Somit kennt man die 3 Schnitte jeder der 9G mit M3. Jene 9u liegen auch zu 3 und 3 in 6 Geraden, 34, und 3B,, wovon die 34, mit A, und die 3B, mit B parallel sind.

IV. Gehen von den 15 G, welche die 6 Puncte paarweise verbinden, irgend 3 G, die zusammen alle 6 Puncte enthalten, etwa die 3 Geraden ab, cd und eq, durch irgend einen Punct N, so vertreten sie eine C3, deren Mittelpunct M in N liegt (§. 4.). Sind insbesondere die 3 Geraden ab, cd, eq parallel und liegt cd in der Mitte zwischen den beiden andern: so zerfällt M3 in die Gerade cd und in eine Curve M1, von der 46 Puncte leicht anzugeben sind, nämlich aufser a, b, e, q noch 10μ, 6m und 26m. Sind zum zweiten Mal drei Gerade parallel und die mittlere gleichweit von den äussern entfernt, welche jedoch nur (wenn man sich bei jenen erstern ab, cd, eq die Endpuncte a, c, e nach links und b, d, q nach rechts denkt) entweder a) die Geraden ac, be, dq oder B) ae, cq, bd sein können: so müssen nothwendig zum dritten Mal 3 Gerade dieselbe Eigenschaft haben, und zwar beziehlich (a) bd, aq, ce oder (B) bc, be, ce. In beiden Fällen schneiden sich die 3 mittleren Geraden cd, be, aq oder cd, cy, be in einem und demselben Puncte N; aber im Falle (a) sind sie die Hauptdiagonalen eines Sechsecks abdyeca, welches die 3 Paar äufseren Geraden zu Gegenseiten hat, wogegen im Falle () die 3 Geraden des dritten Systems, bc, be, ce in eine und dieselbe Gerade, bce, fallen und wobei N, in c liegt. Für beide Figuren besteht M aus den drei mittlern Geraden, cd, be, aq oder cd, cq, be, und aus einem Kegelschnitte M2, welcher bei der ersten Figur die Seiten des genannten Sechsecks in ihren Mitten berührt und N, zum Mittelpunct hat; etc. Die 6 Puncte können endlich auch solche specielle Lage haben, dafs von den 15 G sich 10 mal 3G, die zusammen alle 6 Puncte enthalten, in einem Puncte N treffen, wobei dann M5 in 5 Gerade M1 zerfällt. Die einfachste Figur, diesen Fall darzustellen, ist die, wo etwa a, b, c, d, e die Ecken eines regelmässigen Fünfecks sind und der Mittelpunct des demselben umschriebenen Kreises. Die 5 Geraden M1 sind alsdann qa, qb, qc, qd und ge;

die 10 Puncte N liegen paarweise in ihnen und sind, zu 5 und 5, die Ecken zweier neuen regelmässigen Fünfecke, welche gleichfalls q zum Centrum haben. In diesem Falle ist jedoch keine eigentliche Curve C3 mehr möglich, sondern jede besteht aus C+C', und zwar ist C' immer diejenige von den 5 Geraden M', in welcher der Mittelpunct M von C2 liegt. Liegt M insbesondere in einem der 10 N, so besteht C3 aus 3 Geraden, 3C1.

S. 9.

Die Curven, welche Mittelpuncte haben, besitzen, in Bezug auf dieselben, verschiedene wesentliche Eigenschaften, wovon einige hier näher angegeben werden sollen.

Zur Abkürzung soll dabei, so wie in der Folge

ein Doppelpunct durch dp oder P2,

eine Doppeltangente durch dt oder T2,

ein Wendepunct durch up oder w,
eine Wendetangente durch wt oder W,
ein Rückkehrpunct durch rp oder r,

eine Rückkehrtangente durch rt oder R,
eine Asymptote durch A, und

die unendlich entfernte Gerade der Ebene durch G bezeichnet werden.

I. Hat eine Curve Cm einen Mittelpunct M, so gehen ihre m Asymploten A,, im Allgemeinen, alle durch denselben. Jede andere durch den Mittelpunct gehende Tangente der Curve ist nothwendig eine Doppeltangente T2, und ihre zwei Berührungspuncte, etwa b und b1, sind Gegenpuncte. Die Zahl der durch M gehenden T2 ist m (m − 2), und ihre m(m-2) Berührungspuncte, b und b1, liegen in einer neuen Curve Cm-2, welche ebenfalls einen Mittelpunct, und zwar mit der gegebenen den nämlichen Punct M zum Mittelpunct hat. Von dieser neuen Curve gehen also eben so alle A, so wie eine ihrem Grad angemessene Zahl Z, durch den Mittelpunct M, und die Berührungspuncte der T2 liegen in einer neuen Curve Cm-4, welche gleicherweise denselben Punct M zum Mittelpunct hat; u. s. w. Werden die zwei Zahlformen von m unterschieden, so entstehen auf diese Weise zwei Curvenreihen: