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nun die Lage von M nicht gegeben, aber dagegen noch ein 6ter Punct q, durch welchen C gehen soll, so findet folgender Satz stall:

Soll eine Curve dritten Grads, C'}, durch gegebene 6 Puncle 5p und g gehen, und einen Mittelpunct M haben, so ist der Ort des letzlern eine Curce 5ten Grads, =M5."

Von dieser Ortscurve M sind nachstehende 57 Puncte tbeils unmittelbar gegeben, theils leicht zu construiren, indem sie die Mittelpuncte specieller Curven C sind. Nämlich die Curve M5 geht:

1) Durch die gegebenen 6 Puncte selbst; denn jeden derselben kann man als M annehmen und verlangen, die Curve C soll durch die 5 übrigen geben (S. 2.).

2) Durch die Mitten u der 15 Geraden G, welche die gegebenen 6 Puncte paurweise verbinden; denn man kann die Mitte u einer solchen Geraden G als M annehmen und verlangen, die C soll durch den einen Endpunct von G und durch die 4 übrigen gegebenen Puncte gehen; so geht sie auch zugleich durch den andern Endpunct von G.

3) Durch die Mittelpuncte in der 6 Kegelschnitle C?, welche einzeln durch je 5 der gegebenen 6 Puncte gehen. Denn ein solcher C? und sein durch den 6ten Punct gehender Durchmesser sind zusammen eine specielle C'}, welche mit C den Mittelpunct gemein hat (S. 4.).

4) Durch die Mittelpuncle m, der 30 Keyelschnitte C, wocon jeder einzeln durch 4 der gegebenen 6 Puncte geht und seinen Mittelpunct in der die 2 übrigen verbindenden Geraden G hat. Denn ein solcher Cund die zugehörige G sind zusammen eine C', welche durch alle 6 Puncte geht und mit C denselben Mittelpunct hat. In jeder Geraden G liegen 2 Mittelpuncte mi.'

Dies sind zusammen 57 Puncte: 1) 5p+q; 2) 15u; 3) 6m; und 4) 30 m.

In jeder der 15 Geraden G kennt man demnach alle ihre 5 Schnitte mit der Curve M": nämlich ihre zwei Endpuncte (2p, oder p und 9), ihre Mitte ț und die in ihr liegenden 2m,.

Um die Bestimmung der 30 Mittelpuncte in, deutlicher zu machen, bezeichne man die 5p durch a, b, c, d, e. Je 4 der gegebenen 6 Puncte, etwa a, b, c und d, bestimmen 6G, deren Mitten, 6u, in einem Kegelschnitte M liegen, welcher der Ort der Mittelpuncte aller durch a, b, c und d gehenden Kegelschnitte (C3) ist (S. 6.), und welcher somit die durch e und q

gehende G in den genannten 2m, schneidet; ferner geht M? auch durch die Mittelpuncte, 2in, der beiden Kegelschpille C?, welche bezieblich durch die 5 Puncte abcde und abcdq bestimmt werden (3); folglich kennt man auch alle Schnitte des Kegelschnilts M mit der Curve M, nämlich die genannten 6u, 2mn, und 2in, zusammen = 10 Schnitte. Es giebt im Ganzen 15 solche Kegelschnilte M.

II. Durch das Vorstehende (I.) lässt sich nunmehr auch leicht entscheiden, wieviele Curven , welche Miltelpuncte haben, durch 7 gegebene Puncte 5p, q und r gehen. Denn soll die C nur durch die 6 Puncte 5p und r gehen, so ist gleicherweise, wie vorhin (I.), der Ort ihres Miltelpuncts. M eine neue Curve Mí; und soll also C durch alle 7 Puncte zumal gehen, so muss ihr Millelpunct in beiden Ortscurven M und Mí zugleich liegen, d. h. er muss einer ihrer gegenseitigen Schnitte sein. Nun ist die Zahl dieser Schnitte = 25; allein nach der obigen Auseinandersetzung befinden sich darunter 16 solche, welche der Forderung nicht genügen können, weil sie von den 5p allein abbängen, nämlich dieselben sind 1) die 5 p selbst, 2) 10u, d. h. die Mitten der durch die 5p bestimmten 10 Geraden G, und 3) ein m, der Mittelpunct des durch die 5p gehenden Kegelschnitts C?; denn durch diese 16 Puncte gehen beide Ortscurven; daher bleiben für die Lage des Millel

ols M der Curve ('3 nur 9 Schnittpuncte übrig. Dies begründet den folgenden Satz:

Durch 7 yeyebene Puncte in einer Ebene gehen, im Allgemeinen, nur 9 solche Curven drillen Grads, welche Mittelpuncte haben."

Daraus schliesst man: a) Dafs unter den unendlich vielen Curven dritlen Grads A', welche durch beliebig gegebene 8 Puncte gehen, und somit einen Curvenbüschel B (A) rnit 9 gemeinschaftlichen Puncien bilden, sich im Allgemeinen keine befindet, welche einen Mittelpunct hat. b) Hat aber insbesondere eine der Curven einen Mittelpunct, so braucht deshalb von den übrigen keine einen Mittelpunct zu haben. c) Befinden sich insbesondere zwei darunter, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, so kann von den übrigen keine einen Mittelpunct haben, d. h. durch die Schnittpuncte zweier Curven A’, welche Mittelpuncte haben, aber nicht concentrisch sind, kann keine dritte gehen, welche ebenfalls einen Mittelpunct hat.d) Weiss man von drei Curven A', dass sie 8 Puncte gernein haben und dass jede einen Mittelpunct hat: so folgt, dass sie concentrisch sein müssen, und dass alle zu ihrein Büschel ge

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hörigen Curven ebenfalls Mittelpuncte haben und mit ihnen concentrisch sind, und dass jene 8 (oder 9) Puncte die oben (S. 3.) beschriebene besondere Lage haben müssen. - Analoges findet bei den höheren Curven statt.

S. 8. In Betracht der Ortscurve M (S. 7. I.) sind durch besondere Wahl der gegebenen 6 Puncte, 5p und q, oder a, b, c, d, e und q, zahlreiche specielle Fälle möglich, von denen einige hier kurz angedeutet werden sollen.

I. Wenn die gegebenen 6 Puncte in einem Kegelschnitte Clieu dessen Mittelpunct M, heissen mag: so vereinigen sich die dort genannten 6 Kegelschnitte C"? (S. 7. I. 3.) alle in C? und ihre sechs Millelpuncle in in M,. Da Cmit jedem seiner Durchmesser C; zusammen eine C" vorstellt, welche durch die 6 Puncte geht und M, zum Mittelpunct bat: so folgt dafs M, ein vielfacher Punct der Curve M sein muss. – Oder, wenn der durch die 5 Puncte a, b, c, d, e gehende Kegelschnitt (2 den 6ten Punct y zum Mittelpunct hat, so folgt eben so, dass dann die Curre M den Punct q zuin Doppelpunct haben muss.

II. Liegen von den 6 Puncten drei, etwa d, e und 4, in einer Geraden B: so mufs M in diese Gerade und in eine. Curve M4 zerfallen, so dass M = B+ M*. Denn jeder beliebige Punct N in der Geraden B ist Mittelpunct eines Kegelschnitts N° der durch die 3 Puncte a, b, c geht, und der also mit B zusammen eine Curve Crepräsentirt, welche durch die 6 Puncte geht und ihren Mittelpunct M in N hat; so dass folglich B zum Ort der Mittelpuncle M gehört. - Die Curve M* geht durch folgende leicht angebbare 39 Puncte. 1) Durch a, b und c; 2) durch die Mitten ! sowohl der 3G, welche die Puncte a, b, c unter sich, als der 9G, welche a, b, c mil d, e, 4 verbinden, also durch 12u; 3) durch die Mittelpuncle in der 3C"}, welche beziehlich durch die dreimal 5 Puncte abcde, abcdq, abceq gehen; 4) durch 18 Puncte mi, in welchen die vorgenannlen 9G von den ibnen (wie oben S. 7. I.) entsprechenden Kegelschnitten Mgeschnitten werden; und ferner durch 3 Puncte mi, in welchen die vorgenannten 36, d. i. ab, ac, bc beziehlich von 3 Geraden C, B1, A, geschnitten werden, die so bestimint sind, dass z. B. C, durch die Milten u der 3 Geraden cd, ce und cq geht und die ab in in, trifft. Demnach kennt man die 4 Schnitte von jeder der 15 Geraden 3G, 9G, A, B, und C, mit der Curve M*; eben so die 8 Schnitte von jedem der 9 Kegelschnitte M? mit M*.

III. Liegen die 6 Puncle zu: 3 und 3 in zwei Geraden, elwa a, b, c in A, und d, e, y in B: so muss die Ortscurre M5 aus diesen Geraden und aus einer Curve My bestehen, so dass M = A+B+M. Die Curve M geht durch folgende, leicht construirbare, 27 Puncte. 1) Durch 94, die Mitten der 9G, welche die Puncte in A mit denen in B verbinden; 2) durch die 18 ini, in welchen die 9G von den zugehörigen 9 M’ geschnitten werden. Somit kennt man die 3 Schnitte jeder der 9G mit M. Jene 9u liegen auch zu 3 und 3 in 6 Geraden, 3A, und 3B,, wovon die 3A, mit A, und die 3B, mit B parallel sind.

IV. Gehen von den 15 G, welche die 6 Puncte paarweise verbinden, irgend 3 G, die zusammen alle 6 Puncte enthalten, etwa die 3 Geraden ab, od und eq, durch irgend einen Punct N, so vertreten sie eine C}, deren Mittelpunct M in V liegt (S. 4.). Sind insbesondere die 3 Geraden ab, cd, eg parallel und liegt cd in der Mitte zwischen den beiden andern: so zerfällt M in die Gerade cd und in eine Curve M", von der 46 Puncle leicht anzugeben sind, nämlich ausser a, b, e, y noch 10u, 6in und 26 mi. Sind zum zweiten Mal drei Gerade parallel und die mittlere gleichweit von den äussern entfernt, welche jedoch nur (wenn man sich bei jenen erstern ab, cd, eq die Endpuncte d, c, e nach links und b, d, y nach rechts denkt) entweder a) die Geraden ac, be, dy oder B) ae, cq, bd sein können: so müssen nothwendig zum drillen Mal 3 Gerade dieselbe Eigenschaft haben, und zwar beziehlich (a) bu, ay, ce oder (8) bc, be, ce. In beiden Fällen schneiden sich die 3 miltleren Geraden cd, be, ay oder cd, cy, be in einem und demselben Puncte N.; aber im Falle (a) sind sie die Hauptdiagonalen eines Sechsecks abdyecu, welches die 3 Paar äusseren Geraden zu Gegenseiten hat, wogegen im Falle (6) die 3 Geraden des dritten Systems, bc, be, ce in eine und dieselbe Gerade, bce, fallen und wobei N, in c liegt. Für beide Figuren besleht M aus den drei miltlern Geraden, cd, be, ay oder cd, cq, be, und aus einem Kegelschnitte M, welcher bei der ersten Figur die Seiten des genannten Sechsecks in ihren Milten berührt und N, zum Mittelpunct hat; etc. – Die 6 Puncte können endlich auch solche specielle Lage haben, dass von den 15G sich 10 mal 3G, die zusammen alle 6 Puncte enthallen, in eine Puncte N treffen, wobei dann M in 5 Gerade M' zerfällt. Die einfachsle Figur, diesen Fall darzustellen, ist die, wo elwa a, b, c, d, e die Ecken eines regelmässigen Fünfecks sind und q der Mittelpunct des demselben umschriebenen Kreises. Die 5 Geraden M' sind alsdann qa, qb, yc, qd und ge;

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die 10 Puncte N liegen paarweise in ihnen und sind, zu 5 und 5, die Ecken zweier neuen regelmässigen Fünfecke, welche gleichfalls q zum Centrum haben. In diesem Falle ist jedoch keine eigentliche Curve C mehr möglich, sondern jede besteht aus C+C", und zwar ist C" immer diejenige von den 5 Geraden M', in welcher der Mittelpunct M von C? liegt. Liegt M insbesondere in einem der 10 N, so besteht C aus 3 Geraden, = 3C.

S. 9. Die Curven, welche Mittelpuncte haben, besitzen, in Bezug auf dieselben, verschiedene wesentliche Eigenschaften, wovon einige hier näher angegeben werden sollen...

Zur Abkürzung soll dabei, so wie in der Folge

ein Doppelpunct durch dp oder P2,
eine Doppeltangente durch dt oder T2,
ein Wendepunct durch wp oder w,
eine Wendetangente durch wt oder W,
ein Rückkehrpunct durch rp oder r,
eine Rückkehrtangente durch rt oder R,
eine Asymptote durch A, und

die unendlich entfernte Gerade der Ebene durch G. bezeichnet werden.

I. Hat eine Curve Cm einen Mittelpunct M, so gehen ihre m Asymptoten As, im Allgemeinen, alle durch denselben. Jede andere durch den Mittelpunct gehende Tangente der Curve ist nothwendig eine Doppeltangente 22, und ihre zwei Berührungspuncte, etwa b und bi, sind Gegenpuncte. Die Zahl der durch M gehenden I, ist = n(m — 2), und ihre m(m - 2) Berührungspuncte, b und bi, liegen in einer neuen Curve Cm-, welche ebenfalls einen Mittelpunct, und zwar mit der gegebenen den nämlichen Punct M zum Mittelpunct hat. Von dieser neuen Curve gehen also eben so alle A, so wie eine ihrem Grad angemessene Zahl I, durch den Mittelpunct M, und die Berührungspuncte der T2 liegen in einer neuen Curve Cm-4, welche gleicherweise denselben Punct M zum Mittelpunct hat; u. s, w. Werden die zwei Zahlformen von m unterschieden, so entstehen auf diese Weise zwei Curvenreihen:

a) C24, C24, C24-4, ..., C4, C?;

B) (20-1, C2v-3, C2-, ..., C", C'. Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

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3.

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