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Bei (a) hat die vorletzte Curve, C, noch 42 mit 8 Berührungspuncten, durch welche die letzte, C2, geht; und diese C2 hat nur noch 24,, aber keine mehr. Da für C- die Zahl der durch ihren Mittelpunct gehenden T2 = 2v (v-2)+3 ist, so hat das vorletzte Glied bei (B), C3, nur T2, was offenbar ihre Wendetangente im Mittelpuncte M bedeutet, und das letzte Glied C ist diese wt selbst. Übrigens haben alle Curven der Reihe (B) diese nämliche C' zur gemeinschaftlichen wt, so dafs dieselben in ihrem gemeinsamen Mittel- und Wendepunct M sich insgesammt dreipunctig berühren. Auch für die Curve C2-1 bedeutet der Bruch, 3, die Wendetangente im Punct M selbst, und die Zahl der eigentlichen Doppeltangenten ist=2v (v—2). II. Die Tangenten in je zwei Gegenpuncten p und p1 der Curve Çm sind parallel. Alle ausgezeichneten Elemente der Curve, als da sind dp, wp, rp, dt, wt und rt, wofern sie nicht im Mittelpunct M oder im Unendlichen, in G liegen, müssen paarweise vorhanden und zwar Gegenelemente sein. D. h. die 3m (m-2)w der Curve müssen paarweise Gegenpuncte, und die jedem Paar zugehörigen W müssen parallel sein; die m(m2) (m2 - 10) T2, die nicht durch den Mittelpunct M gehen, müssen paarweise parallel sein und gleich weit von M abstehen, auch sind die Berührungspuncte jedes Paars beziehlich Gegenpuncte; hat die Curve Doppelpuncte, P2, (die weder in M noch in G liegen), so müssen dieselben paarweise vorhanden und Gegenpuncte sein, auch müssen die zwei Tangenten in dem einen P2, denen in seinem Gegenpuncte beziehlich parallel sein; eben so können auch die Rückkehrpuncte v nur paarweise und zwar als Gegenpuncte auftreten, und die zugehörigen Rükkehrtangenten müssen parallel sein. Hat dagegen die Curve einen Doppelpunct, der insbesondere im Unendlichen, in G, (oder in M) liegt, so bedingt derselbe nicht gleicherweise einen zweiten, vielmehr bewirkt er umgekehrt sogar noch eine scheinbare Abweichung von dem obigen Satze (I.). Nämlich, liegt ein Doppelpunct in G, so erscheinen die beiden Tangenten in demselben als zwei parallele Asymptoten, die, jenem Satze entgegen, nicht durch den Mittelpunct M gehen, wohl aber gleichweit von M abstehen; daher kann G selbst nie Tangente der Curve in einem Doppelpuncte sein. Und liegt ferner ein Rükkehrpunct in G., so muss die Rückkehrtangente entweder auf G. fallen oder durch M gehen, wo sie dann im letztern Falle als zweifache (oder im weitern Sinne als fünffache) Asymptote anzusehen ist.

III. Zieht man durch den Mittelpunct M der Curve Cm irgend eine unbegrenzte Gerade, einen Durchmesser S, so liegen in ihm m Paare Gegenpuncte q und 41, oder im Sehnen q41, und die Tangenten in jedem dieser Punctenpare sind parallel, und zwar hat jedes Tangentenpaar, im Allgemeinen, eine besondere Richtung, so dafs, wenn man diese Richtungen der Tangenten, wie beim Kegelschnitt, dem Durchmesser S (oder den respectiven Sehnen qq.) „conjugirt” nennen wollte, alsdann zu demselben Durchmesser m verschiedene conjugirte Richtungen gehörten. Eben so würden umgekehrt zu jeder bestimmten Richtung der Tangenten auch mehrere conjugirte Durchmesser gehören; denn nach jeder gegebenen Richtung R, d. h. mit irgend einer gegebenen Geraden R parallel, sind im Allgemeinen m (m—1) Tangenten möglich, deren Berührungspuncte nothwendig paarweise Gegenpuncte oder Endpuncte von Sehnen qq, sein müssen, so dafs also einer und derselben Richtung R, in dieser Hinsicht, m (m-1) verschiedene Durchmesser S (oder Sehnen 991) conjugirt sind. In diesem Sinne kann man also sagen:,,Zu jedem Durchmesser S gehören m conjugirte Richtungen R, und zu jeder Richtung R gehören mm-1) conjugirte Durchmesser S oder Sehnen qq1." *)

Nun liegen ferner die m(m-1) Berührungspuncte jedes Systems paralleler Tangenten bekanntlich in einer neuen Curve Cm-1, welche die erste Polare des nach der Richtung der Tangenten im Unendlichen, in G, gedachten Pols P heifst; und da die Berührungspuncte paarweise Gegenpuncte, oder die Endpuncte von m(m-1) Sehnen qq, sind, so mufs diese Curve ebenfalls den Punct M zum Mittelpunct haben. Gleicherweise müssen die 2t", 3te (m-1)ste Polare desselben Pols P. in Bezug auf die gegebene Curve C", welche nach der Reihe Cm-2, Cm-3, C2, C1 sind, den nämlichen Punct M zum Mittelpunct haben, wobei die letzte, C', eine durch M gehende Gerade, ein Durchmesser von jeder der übrigen Polaren, so wie von C'm ist. Also:

...

...

„Hat eine Curve Cm einen Mittelpunct M, so haben auch alle successiven Polaren Cm-1, Cm-2, Cm-3, C2, C1 jedes unendlich entfernten Pols P Mittelpuncte, und zwar sind sie alle mit der Basis Cm concentrisch."

* Hierbei entsteht die doppelte Frage:

Welche Relation findet einerseits zwischen den 4m conjugirten Richtungen R zu jedem Durchmesser S; und andererseits zwischen den m (m-1) conjugirten Durchmessern S zu jeder Richtung R statt?"

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,,Wird die Richtung R der Tangenten auf alle mögliche Weise geändert, oder läfst man den Pol P. die Gerade G. durchlaufen, so haben die zugehörigen ersten Polaren den Mittelpunct M gemein und bilden zudem einen Curvenbüschel B(Cm-1) mit (m-1)2 Grundpuncten und P1, *) welche paarweise Gegenpuncte oder Endpuncte von (m—1)2 Sehnen PP1 sind (vergl. §. 3.). Die Curren dieses Büschels haben im Ganzen 3(m-22 Doppelpuncte P2, welche paarweise einzelnen Curven Cm-1 angehören und Gegenpuncte sind; nur wenn ein p2 in M oder in G liegt, kann er vereinzelt dastehen. In G, liegen 2(m-2) Doppelpuncte p2, daher ist die Zahl jener Puare (oder die Zahl der Curven Cm-1, welche 2p2 haben) Į (m − 2) (3m —-8)." Werden hierbei die zwei Zahlformen von m berücksichtigt, m=2u und m=2v-1, so hat man statt des B(Cm-1) folgende zwei:

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=

α) B(C12μ-1) und B) B(C2v-2).

Bei (a) gehört der Mittelpunct M mit zu den (m—1)2 Grundpunclen (weil jede C2μ-1 durch ihren eigenen Mittelpunct geht); bei (B) dagegen gehört M zu den 3 (m-2)2=3(2v-3)2 Doppelpuncten p2, weil nothwendig eine der Curven, etwa C2-2, durch M gehen und ihn daher zum P2 haben muss (§. 1.). Diese besondere Curve C-2 entspricht derjenigen Richtung R, welche durch die Wendetangente der Basis CC2-1 im Puncte M gegeben ist. In diesem Falle ist die Anzahl der Paare Doppelpuncte = 2(v − 2) (3 v −4)††, wo der Bruch, 4, den in M liegenden P2 anzeigt.

Zu den zuletzt angegebenen Eigenschaften gesellen sich in besondern Fällen noch andere Umstände, wie an folgenden einfachsten Beispielen zu sehen ist.

1. Ist die gegebene Curve Cm nur eine C3, so gehen nach jeder Richtung R je 6 Tangenten, deren 6 Berührungspuncte in einem mit C3 concentrischen Kegelschnitt C2 liegen und zugleich die Endpuncte dreier Durchmesser des letztern sind. Für alle Richtungen R entsteht ein B(C2), die

*) Diese (m—1)2 Puncte sind als die erste Polarenveloppe der Geraden G. in Bezug auf die gegebene Curve Cm anzusehen (s. obigen Monatsbericht). Die übrigen Polarenveloppen, die 2te, 3te, ..., (m-1)ste haben alle den Punct M zum Mittelpunct, und erscheinen überhaupt in specieller Form; so z. B. reducirt sich die letzte, oder (m-1)ste Polarenveloppe, die im allgemeinen Falle eine Curve von der (m-1)sten Classe und vom 2 (m-2)ten Grade ist, hierbei auf den blofsen Mittelpunct M, indem nach obiger Angabe, die letzte Polare, C', stets durch M geht.

alle mit C3 concentrisch sind, und deren 4 Grundpuncte aus zwei Paar Gegenpuncten, etwa p und p1, r und r1, bestehen und somit die Ecken eines Parallelogramms sind. Die Curven B(C2) haben im Ganzen nur 3 Doppelpuncte P2, aber keine von ihnen kann hier 2 p2 haben, sondern die 32 gehören drei verschiedenen speciellen C2 an, wovon die eine, C, aus den Diagonalen, pp1 und rr1, und jede der zwei andern, C und C, aus einem Paar Gegenseiten des Parallelogramms besteht, so dafs jene ihren p2 in M und jede von diesen ihren p2 in G. zu liegen hat. Die C entspricht der Richtung der Wendetangente der Curve C3 im Puncte M; und von C2 und Cz entspricht jede der Richtung der zwei Gegenseiten, aus welchen die andere besteht, so dafs zwischen ihnen Reciprocität statt findet.

2. Ist die gegebene Curve eine C, so gehen nach jeder Richtung R je 12 Tangenten, deren 12 Berührungspuncte in einer mit C concentrischen Curve C3 liegen. Die allen Richtungen R entsprechenden C3 bilden ein B(C3) mit 9 Grundpuncten, wovon einer M selbst ist, die 8 übrigen dagegen 4 Paar Gegenpuncte p und P1, oder die Endpuncte von 4 Sehnen pp, sind. Die Curven B(C3) haben im Ganzen 12 Doppelpuncte P2; nämlich es giebt unter ihnen 4 solche, C3, wovon jede zwei p2, und 4 solche, C, wovon jede nur ein p2 hat. Jede der 4 C3 zerfällt in C+C', nämlich C1 ist je eine der 4 Sehnen pp, und C2 geht durch die Endpuncte der je 3 übrigen Sehnen. Die einzelnen Doppelpuncte der 4C liegen im Unendlichen, in G..

S. 10.

Aus dem Bisherigen ist zu sehen, dafs eine höhere Curve Cm, welche einen Mittelpunct M hat, offenbar in ihrem ganzen Wesen der Art beschränkt wird, dafs sie durch keine projectivische Umwandlung aus einer allgemeinen Curve gleichen Grades, etwa C, entstanden sein, noch in eine solche übergehen kann. Denn wird Cm von irgend einem Puncte P des Raumes aus, auf eine beliebige Ebene projicirt, so behält die neue Curve Cm immerhin die folgende, sie modificirende besondere Eigenschaft, nämlich (§. 9.):

,,Dafs es in ihrer Ebene einen solchen Punct M1 giebt, durch welchen m(m-2) ihrer Doppeltangenten 2 gehen, deren m(m—1) Berührungspuncte, b und b, von jeder T2, in einer neuen Curve Cm-2 liegen; und dafs die Berührungspuncte der noch übrigen, aus M, an Cr gehenden, m einfachen Tangenten in einer Geraden G liegen, welche jede T2 in demjenigen Puncte g schneidet, der mit M, zu ihren beiden

Berührungspuncten b und b, harmonisch ist, also g, b, M,, b, vier harmonische Puncte sind; dafs ferner jede durch M1 gezogene Tansversale S, die Curve C in m solchen Punctenpaaren q und q, schneidet, wovon jedes Paar zu M ̧ und dem Puncte g1, in welchem S1 jene Gerade G schneidet, harmonisch sind, also je 4 Puncte q, M1, 91, 91 harmonisch sind, und dafs die beiden Tangenten in jedem Punctenpaar q und 91 sich auf G schneiden; und dafs weiter, wenn man umgekehrt aus irgend einem Puncte P in der Geraden G die m(m—1) Tangenten an die Curve CTM legt, dann deren Berührungspuncte paarweise, q und 91, mit M, in Geraden S, liegen, wovon jede von G im 4ten harmonischen Punct g1 geschnitten wird, also q, M1, q1 und g, harmonisch sind, und dafs endlich die durch alle m(m—1) Berührungspuncte gehende Curve C-1, d. i. die erste Polare des Pols P in Bezug auf die Basis Cm, den Punct M, und die Gerade G gleicherweise zum harmonischen Pol und zur harmonischen Geraden hat, wie die Basis selbst, und dafs es sich mit der 2ten, ten Polaren auch eben so verhält."

" ...

Auch in Rücksicht der übrigen obigen Sätze geht das eigentlich Wesentliche der Mittelpuncts-Eigenschaften, bei gleicher perspectivischer Umwandlung nicht verloren, sondern es stellt sich nur in der neuen Figur in scheinbar allgemeinerer Form dar. So z. B. geht der Satz in (§. 3.) verbunden mit (§. 9.), durch solche Umwandlung, in folgenden über:

,,Zieht man durch einen Punct M,

a) uu+2)-1, oder B) v(v+1)-2

unbegrenzte Gerade S, nach beliebigen Richtungen, schneidet dieselben durch eine andere willkürliche Gerade G in Puncten g und bestimmt sodann in jeder Geraden S, irgend ein Paar solche Puncte p und p1, die zu g und M, zugeordnete harmonische Puncte sind, so gehen durch alle Puncte p und p. ein Curvenbüschel B(C2") oder B(C2-1), welche nebst dem noch

α) 2 (u-1)2, oder B) 2(v-1)(v-2)+1 andere Puncte q und q, gemein haben, die gleichfalls paarweise in neuen durch M, gehenden Geraden S, liegen, welche von derselben Geraden G im 4ten harmonischen Punct g, geschnitten werden, so dafs q, M1, 41, J1 harmonisch sind. Dabei hat jede Curve des Büschels den Punct M, und die Gerade G, in gleichem Sinne wie vorhin, zum harmonischen Pol und zur harmonischen Geraden. Im Falle (B) gehen alle Curven C-1 durch

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