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We hence see that when the nature of the substance of which the wires are formed remains unchanged, the quantity is constant, and therefore ß varies in the inverse ratio of a. This agrees with what M. Biot has found by experiment in the chapter before cited, as will be evident by recollecting that B= -logu'.

From an experiment made with extreme care by Coulomb, on a magnetized wire whose radius was inch, M. Biot has found the value of u' to be „517948 (Traité de Phy. Tome 3, p. 78). Hence we have in this case

= logu' = 90548235,

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which, according to a remark just made, ought to serve for all steel wires. Substituting this value in the equation (a) of the present article, we obtain

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With this value of g we may calculate the forces with which different lengths of a steel wire whose radius is 1 inch, tend to turn towards the meridian, in order to compare the results with the table of Coulomb's observations, given by M. Biot (Traité de Phy. Tome 3, p. 84). Now we have before proved that this force for any wire may be represented by

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eßi te-) where, for abridgment, we have supposed

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the French inch being the unit of space, and as in the present case a= 1 there results B=,657882. It only remains therefore to determine K from one observation, the first for example, from which we obtain K=58°,5 very nearly; the forces being measured by their equivalent torsions. With this value of K we have calculated the last column of the following table:

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The three last observations have been purposely omitted, because the approximate equation (a) does not hold good for very short wires.

The very small difference existing between the observed and calculated results will appear the more remarkable, if we reflect that the value of B was determined from an experiment of quite a different kind to any of the present series, and that only one of these has been employed for the determination of the constant quantity K, which depends on f, the measure of the coërcive force.

The table page 87 of the volume just cited, contains another set of observed torsions, for different lengths of a much finer wire whose radius a=tV : hence we find the corresponding value of B=3,13880, and the first observation in the table gives K=°,6448. With these values the last column of the following table has been calculated as before:

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Here also the differences between the observed and calculated values are extremely small, and as the wire is a very fine one, our formula is applicable to much shorter pieces than in the former case. In general, when the length of the wire exceeds 10 or 15 times its diameter, we may employ it without hesitation.

The end.

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Über eine Sammlung von bestimmten Integralen.

(Von Herrn Bierens de Haan, Oberlehrer der Math. am Gymnasio zu Deventer,

math. mag. phil. nat. Doctor.)

Dass dem Mathematiker verschiedene Tafeln nöthig sind, bedarf wohl nicht des Beweises. Er bedarf Tafeln, die ihm die Resultate verschiedener, oft mühseliger Forschungen in der Ordnung unter die Augen bringen, wie er sie zu benutzen Anlass findet. Wer ist nicht froh, dass andere vor ihm die Logarithmen berechnet haben. Ohne Tafeln würde der Gebrauch der Logarithmen ihm wohl untersagt sein; obwohl er sie selbst, nach festgesetzter, uniformer Behandlungsweise, selbst zu berechnen vermöchte. Aber für eine andere Art von Ausdrücken, den bestimmten Integralen, fehlt eine uniforme Berechnungsweise; und deshalb wäre, wegen ihres häufigen Gebrauchs, eine Tafel derselben unter den mathematischen Hülfsmitteln um so mehr zu wünschen. In einigen Sammlungen findet man wohl Tafeln einiger bestimmten Integrale init aufgenommen, aber meines Wissens giebt es nichts der Art, was man einigermassen vollständig nennen könnte. Woran mag dies liegen?

Erstens ist die Methode der ganzen Integralrechnung gewissermassen indirect; namentlich auch die Lehre von den bestimmten Integralen. Es ist nur durch eine grosse Zahl ganz verschiedener Methoden gelungen, die Formeln aufzustellen, die uns zu Gebote stehen. Nachdem für dieselben Euler, Cauchy, Legendre, Poisson, Laplace den Grund gelegt haben, sind die Methoden vervielfältigt und durch mehrere Mathematiker zur Ermittlung neuer Formeln angewandt worden. Diese Arbeiten sind aber in Journalen und in den Abhandlungen der verschiedenen Akademieen zerstreut, und nicht Jeder ist in der Lage, die verschiedenen Resultate benutzen zu können; noch weniger, sie alle beisammen zu haben. Auch hat noch die indirecte Form der Methode ein anderes Übel, welches, wie in der Integralreclinung überhaupt, bei den bestimmten Integralen um so stärker ist. Nämlich, dass es in den Bekannten zuweilen kleinere, öfters grössere Lücken giebt; dass Ausdrücke, obgleich oft nur wenig von einander verschieden, doch nur mittels anderer Methoden, und bisweilen gar nicht zu ermitteln sind. Man könnte fast sagen,

dass es noch kein Ganzes gebe, und dass nur lauter einzelne Bruchstücke dastehen, welche zu einem Ganzen zusammenzubringen noch nicht gelang. Dies hat seinen Grund in dem indirecten Gange der Behandlungs-Arten, und auch wohl in deren Verschiedenheit.

Da die Ungleichartigkeit der Methoden einen eigenthümlichen Vortheil gewährt hat, so lässt sich ihr nicht entsagen. Man ist öfters auf von einander ganz unabhängigen Wegen zu denselben Resultaten gelangt, und man konnte also die eine Methode durch die andere prüfen und ihre Gültigkeit beweisen. Nicht immer indessen war Dies der Fall, sondern nicht selten waren die Resultate von einander abweichend, also die Unzulässlichkeit der betretenen Wege, wenigstens des einen, ausser Zweifel; so dass man erst die Grund-Ideen nach der Theorie der Functionen näher prüfen, genauer bestimmen und wo möglich berichtigen musste; woraus man dann sahe, was unzulässlich, oder in der Lehre von den unbestimmten Coëfficienten, in der Theorie der Reihen (ohne Rücksicht auf ihre Convergenz) falsch war. Bei der Ableitung bestimmter Integrale ist auf dem nämlichen Wege Manches näher bestimmt und beschränkt, und dadurch der Gebrauch vor Fehlern gesichert worden.

Diese Umstände, die Zerstreutheit der Ergebnisse, der Mangel an Einheit und die bisweilige Unsicherheit vieler Resultate sind vielleicht Schuld daran, dass man Tafeln bestimmter Integrale noch entbebrt. Sie wären aber nicht nur nützlich, sondern sogar nothwendig; denn ausser ihrer steten Anwendung in der Analysis überhaupt, können sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in der Mechanik, in der mathemathischen Physik, nicht entbehrt werden. Auch würde die Sammlung den nicht geringen Nutzen haben, den Zustand ihrer Theorie klar vor Augen zu legen, das schon Bekannte von dem Unbekannten zu trennen, und die Lücken, die sich noch finden, nachzuweisen.

Durch diese Erwägung veranlasst, habe ich mich seit einigen Jahren mit einer Samınlung von bestiminten Integralen beschäftigt, und es enthält diese Sammlung schon zwischen zwei - und dreitausend Formeln. Ausser den Hauptwerken von Euler, Cauchy, Legendre, Schlömilch, habe ich die mathematischen Journale von Crelle, Grunert, Liouville und der polytechnischen Schule zu Paris, so wie die Abhandlungen der Akademieen benutzt, wozu ich zuweilen Gelegenheit hatte. Aber es wird ausserdem gewiss noch mehrere Monographieen geben, die mir unbekannt blieben, oder die ich mir nicht verschaffen konnte; was indessen zur möglichsten Vollständigkeit der Arbeit noth

wendig wäre. Wenn also die geehrten Herrn Verfasser meine Unbekanntheit zu übersehen die Güte haben wollten, würde ich Sie im Interesse der Wissenschaft bitten, mir (z. B. auf dem Wege des Buchbandels) solche Monographieen zuzusenden; wogegen ich verspreche, mein Bestes zu thun, um eine vollständige und correcte Sammlung zu liefern.

Es würde dann auch vielleicht gelingen, ein Nebenziel zu erreichen, welches ich mir vorgesteckt habe: nämlich durch die Tafeln den Gang der Entwicklung ihrer Berechnung darzustellen. Dies würde dadurch zu erreichen. gesucht werden, dafs bei jeder Formel notirt wird, welcher Autor sie abgeleitet habe, und wo die Ableitung zu finden sei; mit der dazu gehörigen Litteratur; so dass man die Quelle nachschlagen, und die Ableitung einzelner Formeln, nebst ihrem Zusammenhange mit andern Formeln, prüfen könnte.

Wenn ich mich der erbetenen Unterstützung der Mathematiker erfreuen sollte, so traue ich meiner Arbeit zu, dass sie nicht eine blofse Compilation sein, sondern der Wissenschaft und ihren Verehrern zum Nutzen gereichen solle.

Deventer in den Niederlanden den 8. Mai 1853.

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