(10.) A+ √(A2 — B3) 2C2—D3—4aCD+ a2D2—§‡a3C+(2C¬4aD+§‡u3) √(C2—D3) und A — √(A2 — B3) - — 2C2—D3—4aCD÷a2 D2— § 4a3C—(2C—4aD÷§‡4a3)√(C2—D3). Hieraus müfste ferner folgen: Nun erhält man in der That, nach einiger Rechnung: 2C-4aD+ § 4a3 2(4a3+2ab+3c) - 4a (a2 + b) + 1⁄2 ‡ a3 3bc2 (C2 - D3). Die erste Gleichung (11.) wäre also verificirt; die zweite verwandelt sich, mit Hülfe der ersten, in: (12.) 16 J(bc — 129 a3) C + D2 (1o a2 — D) = A, oder in 27 64 ( ( b c — 128 a3) ( 28 4 a3+2abc+-3c)+(16 a2 -- b)2(32 a2 —b) = 12abc+18c-b3 ; welche Gleichung nach einigen Reductionen sich ebenfalls als identisch erweiset. Da die beiden Gleichungen (11.) zur Bestimmung von C und D hinreichen und ihre Identität nachgewiesen ist, so folgt die Richtigkeit der Gleichungen (8.). (13.) Es folgt aus denselben: - · p+q − ‡ a(u+v)+ u2 + v2 = (u + v — } a)2 — Quv — ‡ a2 p-q (şa+u+v)(u — v). (u + v — } a)2 — 2D — şa2, a2+2D darstellen; also ist: P+9+4a2+26 (u + v — } a)2, 8a2-4b-p — q Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 3. = & a2 + 4D+‡a (u + v) — u2 — v2. 32 Da D=4v ist, so wird hieraus: (14.) folglich : ¥ [({ a+u+v)2 − 3 (u — v)2]2 + 3 (ža+u+v)2 (u — v)2 √((Sa2 — 4b — p − q)2 + 3 (p − q)2) ± (8a2 + 4b − p − q) (3+u+v)2 | 3 (u — v)2. Der erste Werth pafst für das obere, der zweite für das untere Zeichen. Mit Hülfe dieser Transformationen verwandeln sich in dem Falle d=0 die Ausdrücke in (2.) in folgende: x1 = 2a+u+v —}a+za+u+v= za+2(u+v), = x3—2a—u—v + ža—(u—v) √3. i — § a — (u + v) — (u — v) √3. i, x4 = 2a―u v +za+(u—v)√3.i={a−(u+v) + (u — v) √3 . i; welche genau mit den Ausdrücken in (6.) übereinstimmen. Für den Fall der trigonometrischen Auflösung verwandelt sich (3.) in zu Wurzeln, deren Identität mit den Ausdrücken in (4.) für diesen Fall nachzuweisen ist. Die Addition der Cuben dieser Ausdrücke giebt: 2D3 cos2 α, — D3 — 4uD cosa, +16a2 D2 - §4 a D cosα, 19 3 Ꭰ 2C2 — D3 —4aCD + 1⁄2 a2 D3 — § ‡ a3C; . also dieselbe Gleichung wie (11.). Multiplicirt man die beiden Ausdrücke (17.), so erhält man für die zweite zur Bestimmung von C und D nothwendige Gleichung: 16 16 2 •B = a2 D — § a D cosa,+D2 = { a2 D — § a C+ D2, die ebenfalls durch eine kleine Rechnung als identisch sich erweiset. gelten die Ausdrücke in (17.). Man erhält aus denselben leicht die reellen Formen: 2B1 cosα-aDcosa,+2D cosα1, 2B sina, aD sina, +2D sin 3 α,. Berücksichtigt man, dafs 4a2+2b=2D+a2 ist, so wird (18.) - (19.) 4a2+2b+2B cos} α1 = (2D1 cos α, - } a)2. Ferner findet man (20.) == [ 2B3 cos ¦ (л ± α) - aD cos(α1) — 2D cos (π ‡ α1) Mit Hülfe von (19. und 20.) und der Formeln Also cos(-a)+cos(+α) cosa,, verwandeln sich die Wurzeln (4.) in Dies sind die Ausdrücke (16.); mithin ist die in der Aufgabe ver langte Reduction in allen Fällen ausgeführt. Lippstadt, den 19ten April 1853. 238 14. Theorie der Dreh- und Flieh-momente der parallelen Seitenkräfte, in welche Kräfte im Raume zerlegt werden können. (Vom Herrn geh. Rathe und Professor Dr. Schweins in Heidelberg.) S. 1. Bisher kannte man nur die Gleichungen zwischen den Drehmomenten um verschiedene Axen, aber nicht die Gleichungen zwischen ihren Bestandtheilen oder zwischen den Drehmomenten der parallelen Seitenkräfte, welche durch Zerlegen der Kräfte nach den Richtungen der Coordinatenaxen entstehen. Diese Gleichungen sollen hier entwickelt werden. Ihre Kenntnifs ist nützlich, was sich bei späteren Untersuchungen bewähren wird. Die Bezeichnung ist folgende: ich nehme zwei rechtwinklichte Coordinatensysteme an x, y, z und ', y', z', und nenne die Cosinusse der Winkel, welche und die Coordinaten des Anfangspunctes des zweiten Coordinatensystems a, b, c. läfst sich auf zwei verschiedene Weisen durch andere Producte ersetzen, nämlich, wenn entweder statt Z' Wenn man nun den einzelnen Producten das Summenzeichen vorsetzt, und sich der obigen Zeichen bedient, so erhält man folgende Gleichungen: ich ersetze den einen Factor durch andere Gröfsen, während der zweite |