den Punct M, und von jeder liegt ein Wendepunct in ihm. In beiden Fällen haben die Curven (als B(C") aufgefafst) im Ganzen 3 (m—1)2 Doppelpuncte P2, wovon 2(m—1) auf die Gerade G fallen und im Allgemeinen einzeln eben so vielen Curven angehören, wogegen die übrigen, zu (m-1) (3m-5) Paaren, je derselben Curve angehören und jedes Paar in einer neuen, durch M, gehenden Geraden S, liegt, welche gleicherweise von der Geraden G im 4 harmonischen Punct geschnitten wird. Im Falle (a) hat eine der Curven C2 den Punct M, zum Doppelpunct 2."

Aus der tief eingreifenden Wirkung des Mittelpuncts im vorstehenden ersten Satze erkennt man, dafs, aufser der Curve zweiten Grads C2, nur noch die Curve dritten Grads C3 durch ihn keine ihr freies Wesen störende Modification erleidet, da sie keine eigentliche Doppeltangenten hat. Und in der That kann auch jede gegebene Curve C durch Projection in eine solche andere Curve C3 umgewandelt werden, welche einen Mittelpunct M hat, und zwar im Allgemeinen auf mehrfache Art, wie aus Folgendem erhellen wird.

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S. 11.

Ist M, ein Wendepunct, w, einer beliebigen Curve C3, so zerfällt seine erste Polare bekanntlich in die zugehörige Wendetangente W und in eine bestimmte andere Gerade H; nämlich von den 6 Tangenten, welche von einem beliebigen Puncte aus an die Curve gehen, fallen hier 3 auf W und ihre 3 Berührungspuncte liegen also auch in W, und daher müssen die Berührungspuncte der 3 übrigen Tangenten ebenfalls in einer Geraden H liegen, welche mit zusammen die erste Polare des Puncts w in Bezug auf C vorstellt. Diese Gerade H hat ferner die Eigenschaft:,,dafs sie jede durch w gezogene Transversale S in demjenigen Puncte h schneidet, der zu den 3 Puncten p, w, p1, in welchem S von der Curve C3 geschnitten wird, der vierte (stets dem w zugeordnete) harmonische Punct ist." Demgemäfs soll die Gerade H die „Harmonische" des Wendepuncts w (dessen halbe Polare sie ist) genannt werden.

Diese Eigenschaft enthält das eigentliche Wesen des Mittelpuncts. Denn wird die Curve C3 auf eine andere Ebene so projicirt, dafs die Harmonische Hins Unendliche geht, d. h. dafs ihr in der neuen Ebene die unendlich entfernte `Gerade G entspricht, so ist die Projection des Puncts w (M,) der Mittelpunct M der neuen Curve C3.

Demnach kann die Curve C auf mehrfache Art so projicirt werden, dafs die neue Curve C3 einen Mittelpunct M erhält, nämlich jeder w von jener kann in M von dieser übergehen. Und somit ist eine Curve C3, welche einen Mittelpunct M hat, nur eine solche, bei welcher die Harmonische H eines ihrer Wendepuncte im Unendlichen liegt, Gist.

Hiernach finden bei der beliebigen Curve C3, in Rücksicht jedes Wendepuncts und der zugehörigen Harmonischen H, analoge Sätze statt, wie oben (§. 9. III. 1.) und (§. 10.), z. B.

,,Zieht man durch einen Wendepunct w der beliebigen Curve C3 irgend eine Transversale S, so schneidet sie die Curve in zwei solchen Puncten q und q1, deren zugehörige Tangenten einander in irgend einem Puncte P auf der Harmonischen H von w treffen; auch schneiden die beiden Tangenten die Curve in zwei neuen Puncten r und r1, welche mit w in einer neuen Geraden S, liegen." Und umgekehrt:,,Werden bei einer beliebigen Curve C3 aus irgend einem Puncte P in der Harmonischen H eines ihrer Wendepuncte wo die 6 Tangenten an die Curve gezogen, so liegen deren 6 Berührungspuncte paarweise, q und q1, in drei durch gehenden Geraden qq1, und die durch alle 6 Berührungspuncte gehende Polare C2 hat den Punct w und die Gerade H zu Pol und Polare; und ferner: die 6 Tangenten schneiden die Curve in neuen 6 Puncten, welche eben so paarweise (r und r1) in drei durch w gehenden Geraden rr, und zudem alle 6 in einer Curve C liegen, die gleichfalls w und H zu Pol und Polare hat, und die sich mit jener Polare C2 in zwei Puncten berührt. Ist P insbesondere der gemeinschaftliche Schnittpunct von 3 solchen Harmonischen H, deren zugehörige 3w in einer Geraden liegen, so müssen die Berührungspuncte der aus P an die Curve gelegten 6 Tangenten auch dreimal paurweise in drei Geraden qq, liegen, welche beziehlich durch die 3w gehen; eben so die 6 Puncte r und r1, in welchen die 6 Tangenten die Curve schneiden." U. s. w.

Von den 9 Wendepuncten w einer beliebigen Curve C3 sind im Allgemeinen 3 reell und 6 imaginär; eben so verhält es sich mit den zugehörigen 9 Harmonischen H, sowie auch mit den 9 Wendetangenten W. Es ist von Interesse, das gegenseitige Verhalten dieser Elemente in folgenden. besondern Fällen näher zu betrachten.

Wenn die Curve C3 einen Doppelpunct p2 hat, so kann er unter drei verschiedenen Formen erscheinen, nämlich erstens als Schnitt zweier reeller

Zweige, so dafs ihm zwei reelle Tangenten, etwa und S, zugehören; zweitens als Rückkehrpunct r, der aus dem vorigen dadurch entsteht, dafs die Schleife der Curve sich bis auf den Punct 2 zusammenzieht, wobei dann die Tangenten und in die Rückkehrtangente R zusammenfallen; drittens als sogenannter isolirter oder conjugirter Punct 72, durch den kein reeller Zweig mehr geht und dem daher auch keine reelle eigentliche Tangenten zugehören. Demgemäfs ist nun auch das Verhalten der vorgenannten Elemente verschieden.

I. Hat die Curve C einen 2 mit zwei zugehörigen reellen Tangenten und S, so fallen von den 9 Wendepuncten 6 in p2, wovon 4 imaginär und 2, die q und heifsen mögen, reell sind. Von diesen zwer reellen Wendepuncten q und s, in P2, sind jene Tangenten und als die zugehörigen Wendetangenten, so wie verwechselt zugleich als die zugehörigen Harmonischen (H) anzusehen, so dafs also die Wendetangenten und Harmonischen zu diesen zwei Puncten verwechselt anfeinanderfallen. Von den noch übrigen 3 Wendepuncten, die nicht in p2 liegen, sind zwei imaginär, iw, und einer reell, w. Die aus p2 durch diesen reellen w gezogene Gerade heifse W. Von den aus wo an die Curve gehenden drei Tangenten, durch deren Berührungspuncte die Harmonische H bestimmt wird, fallen hier zwei auf die Gerade W, und ihre zwei Berührungspuncte müssen als in p2 liegend gedacht werden, die dritte, eigentliche Tangente heifse und ihr Berührungspunct b, so ist also die Gerade pb die Harmonische H von w, und folglich gehen alle drei reellen Harmonischen, 2, und H, durch p2 (eben so auch die imaginären).

Welche Modification hierbei die vorstehenden Sätze erleiden, ist leicht zu sehen. Ein neu hinzutretender Umstand ist der: „Dafs die Geraden W und H zu den Tangenten und harmonisch sind, d. h. dafs D, W, S, H vier harmonische Strahlen sind." Auch findet dabei ein umfassenderer Satz statt, der sich aus andern Betrachtungen ergiebt, nämlich:

„Zieht man aus dem Doppelpunct 1⁄2 irgend zwei zu Q und S zugeordnete harmonische Strahlen W, und H1, welche die Curve C3 in zwei neuen Puncten, etwa w, und b1, schneiden werden, so ist der Ort der diese Puncte verbindenden Geraden w,b, eine Curve C2, welche insbesondere sowohl die Tangenten als auch die vorgenannte Tan

gente (oder wb) berührt."

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 1.

und

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II. Hat die Curve C einen Rückkehrpunct r, so sind 8 Wendepuncte als in ihm liegend zu denken (zu den 6 vorigen gesellen sich noch die genannten zwei iw); von denselben sind 6 imaginär und 2 reell, und zwar haben die letztern, da sie von den vorigen Puncten und 8 herkommen, die Rückkehrtangente R sowohl zur gemeinsamen Harmonischen als zur gemeinsamen Wendetangente (weil und sich in R vereinigt haben), so dafs sie also durch diese ihnen zugehörigen Elemente nicht mehr zu unterscheiden sind, nur etwa noch dadurch, dafs man sie als den verschiedenen Zweigen der Curve angehörend auffafst; in manchem Betracht sind sie daher nur als ein Punct zu achten. Der 9t und eigentliche Wendepunct ist der vorige reelle, w, aber die vorhin aus ihm an die Curve gehende Tangente H (= wb), fällt hier auch noch auf die Gerade W (rw), so dafs jetzt alle 3 Tangenten, durch deren Berührungpuncte die Harmonische H von m geht, in W und ihre drei Berührungspuncte in r vereinigt sind, allein wenn nun auch hiedurch die H nicht mehr bestimmt wird, so folgt doch andererseits aus ihrer harmonischen Lage, dafs sie mit und zugleich in die Rückkehrtangente R übergehen muss. Demnach gehen in diesem Falle die drei reellen Harmonischen nicht allein alle durch den Rückkehrpunct r, sondern sie fallen alle drei in die Rückkehrtangente R zusammen.

Aus den obigen Sätzen ergeben sich hier folgende specielle Sätze. „Jede durch den Wendepunct w gezogene Gerade S wird von der Curve C und deren Rückkehrtangente R in 4 harmonischen Puncten geschnitten; d. h. wird S von C3 in den Puncten q, w, q, und von R im Puncte r geschnitten, so sind immer q, w, 91, r vier harmonische Puncte." „Die in den beiden Puncten q und q, an die Curve gelegten Tangenten treffen sich allemal in irgend einem Puncte P auf der Rückkehrtangente R; und umgekehrt: werden aus irgend einem Puncte P der Rückkehrtangente R die zwei, nicht auf R fallenden, Tangenten an die Curve gelegt, so liegen ihre Berührungspuncte q und q1, stets in einer durch den Wendepunct w gehenden Geraden S." Und ferner:,,Zieht man durch den Rükkehrpunct r irgend zwei zu R und W zugeordnete harmonische Strahlen Q und Q1, so schneiden diese die Curve in zwei neuen Puncten q und 419 welche jedesmal mit dem Wendepunct w in einer Geraden S liegen.' Wenn ferner die durch w gezogene Transversale S insbesondere der Rückkehrtangente R parallel ist, so stehen die Schnitte q und q, gleichweit von wo ab; und wenn S mit einer der drei

Asymptoten der Curve parallel ist, so liegt einer der beiden Puncte q und 91, er heifse für einen Augenblick q, so liegt in der Mitte zwischen w und r; und daher auch umgekehrt: zieht man durch die Mitte der Geraden W (= rw) eine Gerade Q, parallel R, so schneidet sie die Curve in 3 Puncten q und die aus w durch dieselben gezogenen 3 Geraden wq, sind den drei Asymptoten parallel, und die in den Puncten q an die Curve gelegten Tangenten treffen sich mit den respectiven Asymptoten auf der Rückkehrtangente R."

III. Hat die Curve C einen isolirten Punct 72, so sind in demselben 6 imaginäre Wendepuncte zu denken, die übrigen drei Wendepuncte w sind reell und liegen in einer Geraden. Von den aus jedem dieser drei reellen w an die Curve zu legenden 3 Tangenten fallen, wie oben (I.), zwei auf die Gerade wл2 W, so dafs ihre beiden Berührungspuncte in л, liegen; die dritte Tangente heifse, wie dort, und ihr Berührungspunct b, so ist also die Gerade лb die Harmonische H zu w, und folglich gehen auch hier die Harmonischen H der 3 reellen Wendepuncte w alle drei durch den Doppelpunct 2. Auch findet hierbei ein analoger Umstand statt, wie bei (I.), nämlich:

,,Die drei Paar Gerade W und H (aus dem Doppelpunct л, durch die Wendepuncle w und durch die Berührungspuncte b der aus w gelegten Tangenten H, gezogen) sind 3 Paar conjugirte Strahlen eines elliptischen Strahlsystems, oder bilden elliptische Involution. Construirt man irgend ein anderes Paar conjugirte Strahlen desselben Strahlsystems, etwa W, und H1, so schneiden sie die Curve in zwei neuen Puncten w, und b1, und der Ort der sie verbindenden Geraden w, b, ist eine Curve C2, welche nothwendig auch jene drei Tangenten H berührt.” „Hier liegt л innerhalb der Curve C2; bei (I.) liegt þ1⁄2 aufserhalb derselben, und bei (II.) reducirt sich dieselbe auf den Rückkehrpunct v.”

Übrigens haben die 3 Paar Gerade W und H eine noch innigere Beziehung zu einander; nämlich jede Gerade H ist vierte harmonische zu den 3 Geraden W, und umgekehrt jede Gerade W ist vierte harmonische zu den 3H. Dies Verhalten kann wie folgt klar gemacht werden. Soll zu drei durch einen Punct gehenden gegebenen Geraden a, b, c eine vierte harmonische Gerade bestimmt werden, so sind 3 Lösungen möglich, indem sowohl abœc, als ubcß, als aybe harmonisch sein können; und werden sodann die drei neuen Geraden a, B, y als gegeben angesehen, so sind umgekehrt jene erstern Geraden a, b, c die ihnen entsprechenden vierten Harmonischen, so