Das Ergebnifs dieser weitläufigen Rechnungen entschädigt für die auf solche verwendete Mühe durch seine grofse Einfachheit, und ist 46) Die Coordinaten des Mittelpunkts des reciproken Punktenund Liniensystems sind Vermittelst der Gleichungen 38 kann man zu einem bestimmten Punkte in der Mittelpunktsebene die Richtung suchen, nach welcher die Kräfte des Systems zu zerlegen sind, wenn der gegebene Punkt der Mittelpunkt dieser Seitenkräfte seien soll. Der gegebene Punkt sei hier der vorhin gefundene Mittelpunkt des reciproken Punkten- und Liniensystems. Werden seine Coordinaten statt a, b, c in die Gleichungen des §. 18 eingeführt, so wird 1 E2 = } (U2 E2 — A1 ( Al + BH +CG,)+A,(AH,+Bm+CF)). = 2 Das, was hier eingeklammert ist, kann auf folgende Weise gruppirt werden: A (AU1⁄2 — A‚ 1 + A ̧H1) + B (BU,—A‚H+A ̧m) + C(CU2— A‚G, + A3 F'). 2 3 Wendet man hierauf die Gleichungen 43 an, so wird wodurch die Richtung der Mittelkraft des ganzen Kräftensystems angezeigt ist. Daher 47) Wenn die Kräfte nach der Richtung der Mittelkraft des ganzen Kräftensystems zerlegt werden, so ist der Mittelpunkt der dadurch entstandenen Seitenkräfte zugleich der Mittelpunkt des reciproken Punktenund Liniensystems. Dieses Ergebnifs stimmt vollkommen mit demjenigen überein, welches sich aus den Gleichungen N. 9 ergibt, wenn in ihnen Dieser ausgezeichnete Punkt ist nicht zu verwechseln mit dem Mittelpunkte des ganzen Kräftensystems, wie ich solchen in der Untersuchung der Fliehmomente N. 24 in §. 12 angegeben habe. Den beiden anderen Mittelpunkten (a,b,c,) und (a,b,c) in N. 9 wird in einem der folgenden SS ihr Ort angewiesen werden. S. 21. Wenn die Mittelpunktsebene selbst zur Coordinatenebene (xy) ange und zwar ohne dafs 30 ist, gesetzt werden. Dieses geschiehet hier nach N. 28, wenn B' = = A": B" = C" = Die Annahme F1 = G⇒n=0 hat auf die erste der drei reciproken Gleichungen 40 keinen Einflufs. Es kann also 48) A+Bx+Cy+ (B+ Dx + Ey)t + (C + Ex+Fy) u = 0 als die Gleichung des reciproken Punkten- und Liniensystems, womit die Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte zusammenhangen, betrachtet werden, wo die Coordinaten x, y, t, u in der Mittelpunktsebene selbst genommen sind. Die Ausdrücke für x, y, erleiden durch die obige Annahme keine Änderung, allein wird *,,, = 0. S. 22. Es ist bei verschiedenen Rechnungen nützlich, den Zusammenhang der Vorzahlen dieser reciproken Gleichung 48 mit 3 zu kennen; nämlich Anwendung von ihnen kann hier gleich gemacht werden, wenn die Polare des Mittelpunkts des reciproken Systems gesucht wird, dessen Coordinaten Y in 46 angegeben sind; es entsteht die Gleichung P+Q't+R'u = 0, AE2+B(Al+BH+CG1)+C (AH,+Bm+CF) A(BA+1B+H,C) + B (BÃ÷HB+mC) + C(CA+G,B+FC) (AU2+BV1+CQ) · 43 = 43°43⋅ 2 = 0, was nur möglich ist, wenn t- und uf, was anzeigt, dafs die Polare des Mittelpunkts des reciproken Systems im Unendlichen liegt, wie es auch seien mufs. Die beiden Mittelpunkte (a,b,c,) und (a,b,c), die am Ende des §. 20 erwähnt wurden, liegen also im Unendlichen. Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 3. 36 S. 23. Eine zweite Anwendung der obigen Gleichungen findet statt, wenn G zu dem Drehpunkte der Mittelpunktsebene, dessen Coordinaten Yo F C = C' oben in N. 31 gefunden sind, die Polare, oder die Linie gesucht wird, in welchem die beiden anderen Mittelpunkte von parallelen Seitenkräften liegen. Die Gleichung dieser Linie ist oder oder CA+G1B+FC+(CB+G,D+FE)1+(CC+G1E+FF)u = 0 In dieser Linie liegen also die beiden anderen zusammengehörigen Mittelpunkte, was mit dem Früheren 33 übereinstimmt. Heidelberg im December 1852. 16. Méthode du calcul des fonctions elliptiques (Par Mr. J. Somoff, Professeur à l'Université de St. Petersbourg.) 1. Lagrange a donné le premier une méthode générale pour calculer par approximation les intégrales elliptiques au moyen d'une transformation successive des constantes, qui se trouvent dans la différentielle. (Nouveaux Mémoires de Turin, ann. 1784, 1785.) Cette transformation est dite de Landen, parcequ'elle a un rapport intime avec une rélation entre les arcs elliptiques et hyperboliques découverte par ce Géomètre. (Philosophical Transactions 1775. Mathematical Memoirs, by John Landen 1780.) Legendre a perfectionné les formules de cette transformation et s'en est servi pour la construction de tables des fonctions elliptiques de deux premières espèces. (Exercices de calcul intégral. Traité des fonctions elliptiques.) Il l'a étendue aussi aux fonctions de troisième espèce, mais sans en avoir fait des applications numériques. Je présente dans cet article des formules pour la transformation des fonctions elliptiques de troisième espèce sous une nouvelle forme, plus commodes pour le calcul numérique et plus conformes à la définition de ces fonctions, donnée par l'illustre auteur des Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. On verra en même temps le profit qu'on en peut tirer pour le calcul des fonctions elliptiques, des tables qui servent à trouver le logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres; ce qui a été déjà montré par Jacobi dans son mémoire: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Jacobi, Mathematische Werke. Band 1, 1846.) Mais au lieu des tables de M. Mattiesen, dont s'est servi le Géomètre cité, j'emploie les nouvelles tables, préférables aux premières, composées par M. Zech: Tafeln der Additions- und Subtractions-Logarithmen. (Vega, Sammlung mathematischer Tafeln. Herausg. Dr. J. A. Hülsse. Leipzig, 1849.) Soit 2. 49=√(1-k2 sin2), u = F(y, k) = ԹՓ =/", K= F(x,k), S" |