صور الصفحة
PDF
[ocr errors]

Daher

46) Die Coordinaten des Mittelpunkts des reciproken Punktenund Liniensystems sind

Al+BH+C.G, A. ErX+B.ExY+0. ExZ ou A’+B+02_R A +B? + C?

A: H+B.m+C.F A. Ey X+ B. EyY+C. EyZ
7 000 A+B?+02_

A+B +C?
A.G+B:F, +0.21 A N +B.EXY+C. Lz2
A2+B+02

A+B? +C?

S. 20. Vermittelst der Gleichungen 38 kann man zu einem bestimmten Punkte in der Mittelpunktsebene die Richtung suchen, nach welcher die Kräfte des Systems zu zerlegen sind, wenn der gegebene Punkt der Mittelpunkt dieser Seitenkräfte seien soll. Der gegebene Punkt sei hier der vorhin gefundene Mittelpunkt des reciproken Punkten - und Liniensystems. Werden seine Coordinaten x..., Y., 2.... statt a, b, c in die Gleichungen des S. 18 eingeführt, so wird m, Gia F, H, = F (U,E? A, (Al+ BH+CG.+A (AH,+Bin+CF)). Das, was hier eingeklammert ist, kann auf folgende Weise gruppirt werden

A(AU, 4,1+AH,) + B(BU,A, H+ Azm)+C(CU,4,6, + A,F). Wendet man hierauf die Gleichungen 43 an, so wird

mọG F, H, = .

Durch dasselbe Verfahren findet man, dass

1,76 G1,11,6 = Berlin und A, 1,6 lamo = re. Es ist also nach 38

Í = = . wodurch die Richtung der Mittelkraft des ganzen Kräftensystems angezeigt ist. Daher

47) Wenn die Kräfte nach der Richtung der Mittelkraft des ganzen Kräftensystems zerlegt werden, so ist der Mittelpunkt der dadurch entstandenen Seitenkräfte zugleich der Mittelpunkt des reciproken Punkten. und Liniensystems.

Dieses Ergebniss stimmt vollkommen mit demjenigen überein, welches sich aus den Gleichungen N. 9 ergibt, wenn in ihnen

B=ka und y=Aa gesetzt wird; es entsteht nämlich a= xu, b=yu, c=2.1

Dieser ausgezeichnete Punkt ist nicht zu verwechseln mit dem Mittelpunkte des ganzen Kräftensystems, wie ich solchen in der Untersuchung der Fliebmomente N. 24 in S. 12 angegeben habe.

Den beiden anderen Mittelpunkten (a,b,c) und (a,b,c) in N. 9 wird in einem der folgenden SS ihr Ort angewiesen werden.

S. 21. Wenn die Mittelpunktsebene selbst zur Coordinatenebene (xy) angenommen wird, so muss

40=2=42=0 und zwar ohne dass 43 = 0 ist, gesetzt werden. Dieses geschiehet hier nach N. 28, wenn

F=G=n=0 angenommen wird. Hiedurch wird

b=Q=U=U,= V=V,=0 und zugleich

A'=B' = S'= D' = E' =A" =B" =G" = G" = 0. Die Annahme F=G=n=0 hat auf die erste der drei reciproken Gleichungen 40 keinen Einfluss. Es kann also

48) 4+ Bx + Cy+(+ Dx + Ey)t +(C+ Ex+ Fy)u = 0

als die Gleichung des reciproken Punkten – und Liniensystems, womit die Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte zusammenhangen, betrachtet werden, wo die Coordinaten r, y, t, u in der Mittelpunktsebene selbst genommen sind.

Die Ausdrücke für , Y, erleiden durch die obige Annahme keine Änderung, allein wird = 0.

S. 22. Es ist bei verschiedenen Rechnungen nützlich, den Zusammenhang der Vorzahlen dieser reciproken Gleichung 48 mit 43 zu kennen; nämlich

49) AA+ 1B+H,C = +02:43

BA+ 11 B + m C = +V1.43
CA+GB+FC = +0.93
AB to ID+HE = -A, 43
BB+HD+ mE = -B2:43
CB + G D+FE = +0:43
AC+ TE+H.F = +43:43
BC+ HE+m F = -B2.93

CC+GE+FF = +C3•43.
Anwendung von ihnen kann hier gleich gemacht werden, wenn die Polare
des Mittelpunkts des reciproken Systems gesucht wird, dessen Coordinaten
XY., in 46 angegeben sind; es entsteht die Gleichung

P'+Q't+R'u = 0, wo P = AE? +B(Al+BH+CG)+((AH, + Bm+CF) = A(BA+TB+H,C)+ B(BA+HB+mC)+-C(CA+GB+FC)

(AU, BV+CQ)^3= a^{3. Eben so findet man, dass

Q' = (-AA,BB+CC)•43 = 0

R' = (+AA, - BB:+CC;)•43 = 0. Es ist also

83 +0.t+0.4 = 0, was nor möglich ist, wenn t=und u=5, was anzeigt, dass die Polare des Mittelpunkts des reciproken Systems im Unendlichen liegt, wie es auch seien muss.

Die beiden Mittelpunkte (a,b,c.) und (a.meb...Cm), die am Ende des S. 20 erwähnt wurden, liegen also im Unendlichen. Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 3.

36

zu

sen

[ocr errors]

S. 23. Eine zweite Anwendung der obigen Gleichungen findet statt, wenn zu dem Drehpunkte der Mittelpunktsebene, dessen Coordinaten x, = , Yo== oben in N. 31 gefunden sind, die Polare, oder die Linie gesucht wird, in welchem die beiden anderen Mittelpunkte von parallelen Seitenkräften liegen. Die Gleichung dieser Linie ist

CA+G,B+FC+(CB+G,D+FE)1+(CC+GE+FF)u = 0 oder

(l+C1+Cju).43 = 0 oder

HH, Im +(Am BH,)t+(Bl AH)= 0. In dieser Linie liegen also die beiden anderen zusammengehörigen Mittelpunkte, was mit dem Früheren 33 übereinstimmt.

Heidelberg im December 1852.

16.
Méthode du calcul des fonctions elliptiques

de troisième espèce.

(Par Mr. J. Somoff, Professeur à l'Université de St. Petersbourg.)

Lagrange a donné le premier une méthode générale pour calculer par approximation les intégrales elliptiques au moyen d'une transformation successive des constantes, qui se trouvent dans la différentielle. (Nouveaux Mémoires de Turin, ann. 1784, 1785.) Cette transformation est dite de Landen, parcequ'elle a un rapport intime avec une rélation entre les arcs elliptiques et hyperboliques découverte par ce Géomètre. (Philosophical Transactions 1775. Mathematical Memoirs, by John Landen 1780.) Legendre a perfectionné les formules de cette transformation et s'en est servi pour la construction de tables des fonctions elliptiques de deux premières espèces. (Exercices de calcul intégral. Traité des fonctions elliptiques.) Il l'a étendue aussi aux fonctions de troisième espèce, mais sans en avoir fait des applications numériques. Je présente dans cet article des formules pour la transformation des fonctions elliptiques de troisième espèce sous une nouvelle forme, plus commodes pour le calcul numérique et plus conformes à la définition de ces fonctions, donnée par l’illustre auteur des Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. On verra en même temps le profit qu'on en peut tirer pour le calcul des fonctions elliptiques, des tables qui servent à trouver le logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres; ce qui a été déjà montré par Jacobi dans son mémoire: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Jacobi, Mathematische Werke. Band 1, 1846.) Mais au lieu des tables de M. Mattiesen, dont s'est servi le Géomètre cité, j'emploie les nouvelles tables, préférables aux premières, composées par M. Zech: Tafeln der Additions- und Subtractions - Logarithmen. (Vega, Sammlung mathematischer Tafeln. Herausg. Dr. J. A. Hülsse, Leipzig, 1849.)

[merged small][ocr errors][ocr errors]
« السابقةمتابعة »