- 1⁄2 arc tang (h, tang 'sin y1) — arc tang (h2 tang " sin y1⁄2) — + arc tang (h, tang 'siny1) — arc tang (h, tang 0" sin y1⁄2) – Il est facile de trouver aussi des formules pour la transformation des fonctions de troisième espèce au moyen de l'échelle ascendante des modules En effet, si l'on change dans (7) h, en k, k en λ,, u, en u, u en u' 4u 2K' en designant par 4, l'argument complet relatif au module 2,, (20.) П(u, a, k) 211 (u', a', î.,) — ku sin am (a, k) + 4 log[1+ sinam (a, b) sin am (u, k) Appliquant cette formule successivement aux modules nant en suite les fonctions intermédiaires, on aura log sin a sin log, sin &, sin y, 1-k sin a sin q 1+2μ-1 sin εμ-1 où ዋ =am (u, k), Ɛ1⁄2 = am (a", ¿1⁄2), εμ = am (a(“), λμ). μ a) k sina, sin (2&2 - ε1) = λ1 sinε1, sin (2-1) = 2-1 sin & Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 3. Étant parvenu à un module, qui ne diffère que très peu de l'unité, on pourra poser 2, 1, et par suite Cette intégrale se reduit à une fonction logarithmique, savoir: ... Enfin, pour étendre l'échelle ascendante des modules k, 9 229 aux fonctions à paramètres circulaires, on changera dans (20) a en ai, a' en a'i, ce qui donnera: 2 — II (u, ai, k) = — II(u', a'i, ¿.,) — ku tang am (a, k') +arc tang [ktang am (a, k') sin am (u, k)], +arctang [ktang am (a, k') sin am (u, k)]+2arc tang [2, tang am (a', λ) sin am (u', λ,)] +2-1 arc tang [-1 tang am (a(-1), -1) sin am (u(-1), μ-1)]. μ-1 Pour un è̟, très peu différent de l'unité, la fonction se reduit à II(u“, a↔i, kμ) tang am (a), ) log tang (л+μ) — arc tang [tang am (a), λ) sin yμ]. Donc, faisant, pour abréger, am (a, k') = 0, am (a', λ') = 01, am (a", ¿1⁄2)=02,..., on aura: (24.) II (u, ai, k) μ 2" tang log tang (7+)—2" arc tang (tang 0, sin yμ) μ +arc tang (ktang 0 sin q) + 2 arc tang (2, tang 0, sin 1) + ·· Par les formules de transformation de Landen on a, pour passer de k' à M: 4am (a, k') == 1-1', sin2am (a', Ces formules serviront pour calculer les amplitudes 01, 02, 3. .... Avant d'appliquer les formules que nous venons de démontrer, à des exemples numériques, je ferai voir la marche qu'il y aura à suivre pour calculer consécutivement les modules et les autres valeurs qui en dépendent. Cela se fait très simplement au moyen des tables de M. Zech, si l'on veut pousser l'approximation seulement jusqu'à la 7ne décimale. Ces tables donnent Log(1+1) et Log() par la valeur connue de Log(x) pour æ>1. Posant Log(x) = a, nous désignerons par A(a) la valeur correspondante de Log(1+1), et par S(a) la valeur correspondante de Log(~~). On cherchera les A (a) dans les pages sous le titre Addition, et les S(a) dans les pages sous le titre Soustraction. Pour l'échelle ascendante des modules on a Cette formule s'applique aussi aux modules complémentaires: de l'échelle descendante k, h, h2, ....; parceque h1 = = Log(++) = Log (1+k)+Log (, ———,.,) = A (b) + S (b.), fu = Log (11) = 4 (c,-1) + S (€μ-1). On pourra encore trouver ces valeurs au moyen des formules on aura Log(2K)= +[Log(+) — Log (—) — Log (1) — ........] Les valeurs (27) serviront aussi pour trouver les logarithmes des rap K 9 K K K K K cation des formules (9, 14, 15, 18, 19, 21, 24). Les relations H2 Vh', 1=1+k, 12=1+m, = Pour appliquer les formules (14 et 15), on calculera les valeurs de tang ', tang 0", eu égard à Or par la première des formules (17) = A(b)+ A(b), √(1+k'2 tang20) √(1+tang20) et lorsque tang30>1 ou k2tang30>1, il y aura à remplacer A(Logang16) Log tang20A (Log tang2 0), Log (k2 tang20)+ A (Log k2 tang2 0). 0 en 0', 0", Changeant dans (31) k' consécutivement en hi, h2, .... on trouvera les formules pour calculer Log tang ", Log tang "", |