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Inhaltsverzeichniss des dritten Hefts sieben und vierzigsten Bandes.

10. An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of

Electricity and Magnetism. By the late George Green, fellow of Gonvilleand Cains - Colleges at Cambridge. (Vide tome 39 p. 13 and tome 44 p. 356

of this Journal.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seite 195 11. Über eine Sammlung von bestimmten Integralen. Von Hrn. Bierens de Haan,

Oberlehrer der Math. am Gymnasio zu Deventer, math. mag. phil. nat. Doctor. - 222 12. Two lettres of the Geometrical correspondence between M. Donkin and

M. Spottiswoode. ................... — 225 13. Lösung der Aufgaben C. und D. in Nr. 21. Band 45 dieses Journals S. 284.

Von Dr. phil. Lottner, Lehrer der Mathematik und Physik an der höhern

Bürgerschule zu Lippstadt. ............... - 233 14. Theorie der Dreh- und Flieh – momente der parallelen Seitenkräfte, in welche

Kräfte im Raume zerlegt werden können. Vom Herrn geh. Rathe und Pro

fessor Dr. Schweins in Heidelberg. ............. - 238 15. Theorie der Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte. Von Demselben. . . - 246

16. Méthode du calcul des fonctions elliptiques de troisième espèce. Par Mr.

J. Somoff, Professeur à l'Université de St. Petersbourg.....

- 269

Berlin, gedruckt bei G. Reimer.

für die

reine und angewandte Mathematik.

In 2 w anglosen Heften.

Herausgegeben

Von

A. L. Crelle.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preussischer Behörden.

Sieben und vierzigster Band.

Viertes Heft.

C Berlin, 1854.

Bei Georg Reimer.
Et se trouve à Paris chez Mr. Bachelier (successeur de Mine Ve Courcier),

Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

17. Zur Theorie der Abelschen Functionen. (Von Herrn Dr. C. Weierstrass, Lehrer der Mathematik am Gymnasio zu Braunsberg

in Ostpreussen.)

Seit mehreren Jahren mit der Theorie der Abelschen Transcendenten mich beschäftigend, bin ich zu Ergebnissen gelangt, welche der Beachtung der Mathematiker nicht unwerth zu sein scheinen, und die ich in einer Reihe von Abhandlungen ausführlich zu entwickeln beabsichtige. Die erste dieser Abhandlungen, welche bereits vollständig ausgearbeitet ist, soll hauptsächlich die Aufgabe behandeln, die periodischen Functionen mehrerer Argumente, deren Grund-Eigenschaften, wie es zuerst Jacobi nachgewiesen hat, in dem Abelschen Theorem über die hyper - elliptischen Integrale ausgesprochen sind, wirklich darzustellen; was dasselbe Problem ist, welches für die Functionen zweier Argumente bereits von Göpel und Rosenhain mit glänzendem Erfolge gelöset ist, hier aber ganz allgemein erledigt wird; auf einem Wege, der nicht nur gänzlich verschieden ist von dem, welchen die genannten Mathematiker eingeschlagen haben, sondern auch, wie ich schon jetzt behaupten darf, die Aussicht giebt, dass er für noch höhere Transcendenten zu ähnlichen Resultaten führen werde. Das Folgende ist eine kurze Übersicht meiner Arbeit.

Dem Systeme der Integralgleichungen, von welchem man, nach Jacobi, bei der Theorie der Abelschon Transcendenten ausgeben muss, gebe ich folgende Form, welche ich als die einfachste und für die Behandlung geeignetste erkannt habe. Es sei

R(x) = (x a,)(x - )(x - )... (x 12n) eine ganze Function (2n + 1)ten Grades; wobei ich zunächst annehme, es seien die Grössen thug 01, ..., Oan sämmtlich reell, und so geordnet, dass

Uy > > A2 >.... > Azn ist. Man zerlege nun R(x) in die zwei Factoren P(x)=(x-0.)(x-23)... (x -- A2n-1) und Q(x)=(x - a.)(x-az)...(x-U2n),

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 4.

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und stelle, indem man un, U2, ..., Un als unbeschränkt veränderliche Grössen, X1, X2, ..., X, aber als Functionen derselben betrachtet, den Zusammenhang zwischen diesen 2n Veränderlichen durch nachstehende n Gleichungen dar:

ne P(x) dx px, P(x) dx_
x a, 27
2y R(x) TJ. x-a, 27R(x) The

Con P(x) dx

x- , 27R(x)'

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Nun begründe ich, mit Hülfe des Abelschen Theorems, ausführlich den der Hauptsache nach bereits von Jacobi ausgesprochenen Satz, welchen ich als Fundament der ganzen Theorie betrachte; nemlich, dass zwar für gegebene Werthe von X1, X2, ..., xn die Grössen U,, U2, ..., Un unendlich viele verschiedene Werthe haben, umgekehrt aber, wenn Un, U2, ..., Un gegeben sind, die Werthe von X1, 82, ..., xn, so wie auch die zugehörigen Werthe von R(x,), R(x2), ..., yR(xn), völlig bestimmt sind. Und zwar sind 21, 82, ..., en die Wurzeln einer Gleichung nten Grudes, deren Coëfficienten, völlig bestimmie, eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Grössen un, U2, ..., Un sind, während eine zweite ganze Function von X', deren Coefficienten eben solche Functionen von u,, U2, ..., Un sind, für x = x1, x2, ..., X, die zugehörigen Werthe von VR(21), VR(x2), ..., VR(xn) giebt.

Hiernach kann jeder symmetrische rationale Ausdruck von X1, X2, ..., Xem als eine eindeutige Function von U,, U2, ..., un betrachtet werden. Namentlich aber zeigt es sich, dass

(la — x2)(a, - 2,)...(aq Xn), (wo a eine der Zahlen 0, 1, ..., 2n bedeutet) das Quadrat einer solchen

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