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Inhaltsverzeichnifs des dritten Hefts sieben und vierzigsten Bandes.

10. An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism. By the late George Green, fellow of Gonvilleand Cains - Colleges at Cambridge. (Vide tome 39 p. 13 and tome 44 p. 356 of this Journal.).

11. Über eine Sammlung von bestimmten Integralen. Von Hrn. Bierens de Haan, Oberlehrer der Math. am Gymnasio zu Deventer, math. mag. phil. nat. Doctor. 12. Two lettres of the Geometrical correspondence between M. Donkin and M. Spottiswoode.

13. Lösung der Aufgaben C. und D. in Nr. 21. Band 45 dieses Journals S. 284. Von Dr. phil. Lottner, Lehrer der Mathematik und Physik an der höhern Bürgerschule zu Lippstadt.

14. Theorie der Dreh- und Flieh-momente der parallelen Seitenkräfte, in welche
Kräfte im Raume zerlegt werden können. Vom Herrn geh. Rathe und Pro-
fessor Dr. Schweins in Heidelberg.

15. Theorie der Mittelpunkte der parallelen Seitenkräfte. Von Demselben. .
16. Méthode du calcul des fonctions elliptiques de troisième espèce. Par Mr.
J. Somoff, Professeur à l'Université de St. Petersbourg.

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Berlin, gedruckt bei G. Reimer.

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Et se trouve à PARIS chez Mr. Bachelier (successeur de Mine Ve Courcier),
Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

17.

Zur Theorie der Abelschen Functionen.

(Von Herrn Dr. C. Weierstrafs, Lehrer der Mathematik am Gymnasio zu Braunsberg in Ostpreufsen.)

Seit mehreren Jahren mit der Theorie der Abelschen Transcendenten mich beschäftigend, bin ich zu Ergebnissen gelangt, welche der Beachtung der Mathematiker nicht unwerth zu sein scheinen, und die ich in einer Reihe von Abhandlungen ausführlich zu entwickeln beabsichtige. Die erste dieser Abhandlungen, welche bereits vollständig ausgearbeitet ist, soll hauptsächlich die Aufgabe behandeln, die periodischen Functionen mehrerer Argumente, deren Grund-Eigenschaften, wie es zuerst Jacobi nachgewiesen hat, in dem Abelschen Theorem über die hyper-elliptischen Integrale ausgesprochen sind, wirklich darzustellen; was dasselbe Problem ist, welches für die Functionen zweier Argumente bereits von Göpel und Rosenhain mit glänzendem Erfolge gelöset ist, hier aber ganz allgemein erledigt wird; auf einem Wege, der nicht nur gänzlich verschieden ist von dem, welchen die genannten Mathematiker eingeschlagen haben, sondern auch, wie ich schon jetzt behaupten darf, die Aussicht giebt, dafs er für noch höhere Transcendenten zu ähnlichen Resultaten führen werde. Das Folgende ist eine kurze Übersicht meiner Arbeit.

1.

Dem Systeme der Integralgleichungen, von welchem man, nach Jacobi, bei der Theorie der Abelschon Transcendenten ausgehen mufs, gebe ich folgende Form, welche ich als die einfachste und für die Behandlung geeignetste erkannt habe. Es sei

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eine ganze Function (2n+1)ten Grades; wobei ich zunächst annehme, es seien die Gröfsen a, a, ..., a2n sämmtlich reell, und so geordnet, dafs av > u1 A2 >.... An ist.

Man zerlege nun R(x) in die zwei Factoren

P(x)=(x—a1)(x —α3) . . . ( X — ɑ2n−1) und Q(x) = (x —α1))(x —α2)... (X — U2n),

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 4.

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n

und stelle, indem man u1, u2, ..., u, als unbeschränkt veränderliche Gröfsen, X1, X2, ..., X2 aber als Functionen derselben betrachtet, den Zusammenhang zwischen diesen 2n Veränderlichen durch nachstehende n Gleichungen dar:

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Nun begründe ich, mit Hülfe des Abelschen Theorems, ausführlich den der Hauptsache nach bereits von Jacobi ausgesprochenen Satz, welchen ich als Fundament der ganzen Theorie betrachte; nemlich, dafs zwar für gegebene Werthe von 1, X2,..., X2 die Gröfsen u1, U2, ..., u, unendlich viele verschiedene Werthe haben, umgekehrt aber, wenn u1, u2, ..., u gegeben sind, die Werthe von 1, 2, ..., n, so wie auch die zugehörigen Werthe X1, X2, von √R(x), √R(x2), √R(x,), völlig bestimmt sind. Und zwar sind X1, X2,..., X, die Wurzeln einer Gleichung nten Grades, deren Coëfficienten, völlig bestimmte, eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Gröfsen u1, u1⁄2, ..., u sind, während eine zweite ganze Function U1, U2, von x, deren Coefficienten eben solche Functionen von u1, 2, ..., Un sind, für x = x1, x2, ..., x, die zugehörigen Werthe von R(x,), √R(x2), VR(x) giebt.

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Hiernach kann jeder symmetrische rationale Ausdruck von 1, 2, ..., Xŋ als eine eindeutige Function von u1, 2, ..., u, betrachtet werden. Namentlich aber zeigt es sich, dafs

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