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Function ist. Ich bezeichne demgemäss, indem ich die grösseste in za enthaltene Zahl durch a ausdrücke und

(x x1)(x - 2)... (x — xn) = L(x) setze,

V((-1)o L(aa)) durch al (u,, U2, ..., Unla

((-1)" R' (aa) und nenne diese so definirten 2 n + 1 Grössen al (U,, U2, ...), al(111, U2,...), U. S. W. Abelsche Functionen, indem sie es sind, die den elliptischen Functionen sin amu, cos amu, Aamu vollkommen entsprechen. Die Reihen nach Potenzen von Un, U2, ..., Un entwickelt, haben folgende Gestalt:

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3. al (U1, U2, ...)2a-1=1612924.)). {un +(U,, U2, ...)3 + (241, U2, ...)s +...}, 4. al (U., U2,...)=16 0.1920) -)-{1+(41, 42, ...)2+(U., Uzg..). +.... In diesen Formeln bedeutet a irgend eine der Zahlen 1, 2, ..., n; b irgend eine der Zahlen 0, 1, ..., n; und durch (U,, U2, ...)& wird eine ganze ho

gene Function alen Grades bezeichnet. Ich bemerke überhaupt, dass im Folgenden a, c, so wie auch a', d' eine der Zahlen 1, 2, ... n; b dagegen eine der Zahlen 0, 1, ..., n bedeuten soll. Ferner ist zu bemerken, das überall, wo, hier und im Folgenden, die Wurzel (2ten oder 4ten Grades) eines positiven, aus den Differenzen ao - 01, A - 0,, ..., a- az, a, - Az u. s. W. durch Multiplication und Division gebildeten Ausdrucks vorkommt, stets deren positiver Werth genommen werden soll.

Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von u,, U2, ... convergent sein. Gleichwohl gehe ich von ihnen aus, indem ich die Functionen al(U1, U2, ...)o zunächst nur für solche Werthe von un, U2, ... definire, für welche die aufgestellten Reihen sämmtlich convergent sind. Darauf entwickle ich die Haupt- Eigenschaft der so erklärten Functionen: nämlich, dass sich die Werthe derselben, wenn an die Stelle von U1, U2, ... Zweitheilige Grössen U+01, U2+U23... treten, rational durch al (U1, U2, ...), al(U19 U2, ...)., ..., al (U1, U2, ...)2n; al (V1, V2, ...), al (V1, V2, ...)., ..., al(V1, 029 ...)en und durch deren partielle Differential-Coëfficienten erster Ordnung ausdrücken lassen; worauf ich dann mit Hülfe der so gefundenen Formeln zeige, dass es eindeutige, für alle Werthe von Un, U2, ... existirende Functionen von U1, U2... giebt, die mit den durch die obigen Reihen dargestellten Functionen für solche Werthe

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von ui, U2, ... übereinstimmen, für welche dieselben convergiren, und die ich dann fortan unter al (U1, U2, ...), al (U1, U2, ...), ... verstehe. Dies vorausgesetzt, sind die Grössen 11, 82, ..., X'n, welche für beliebige Werthe von U1, U2, ..., Un die Gleichungen (1) befriedigen, die n Wurzeln der folgenden Gleichung: e ; al (11,, U,, ...), e al’ (,, ll, , ...)? I... ean, al' (u, , "l2 , ...)2n-1= 1. ay - x Uz — x

Azn-1- x in welcher

- Q(aza-1)

P'(aza-1)) = C2a-1 gesetzt ist. Ferner hat man:

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JR(x) dac-1

2a-1 P(xa) al (U, , , ...)2a-1 al (U, , \, ...)zacac_1 al? (4 , 1, 2 gc

Aga-1 — Xa

a=1,2,..., n wo c irgend eine der Zahlen 1, 2, ..., n bedeutet.

Übrigens lassen sich statt der Formeln (5, 6) andere von ganz ähnlicher Gestalt aufstellen, in welchen n beliebige von den Functionen al (U1, U2, ...), al (41, U2, ..., ... vorkommen. Indem man ferner die Differentiale dieser Functionen durch X1, X2, ..., xn ausdrückt, findet man Veranlassung, noch eine Reihe anderer Functionen einzuführen; nämlich die durch die Formel (7.) al (U1, U2, ...)a, B

VR(ra) =VCE(Qa Aj)). al (U1, U2, ...)a al (Un, U2, ...)ß. Einar e dargestellten, wo das obere oder das untere Zeichen von (Q, ag) gilt, jenachdem a <ß oder o>ß ist. (a, ß bedeuten je zwei verschiedene Zahlen aus der Reihe 0, 1, 2, ..., 2 n.) Man hat alsdann

Pearl (8.) van 10, 9, 162,...)4 =-70

Que = -1(+(ana l) •al (U1, U2, ...)2a-1 al (U19 U29 ---la, 2219 vorausgesetzt, dass a 22a-1 ist. Aus dieser Gleichung ergiebt sich die bemerkenswerthe Relation (9.) ez-, dalys al’ (u, U, , ...)24–1 =

02 al? (08, , !, , ...)ec-1. (°.) 22-1

due Zwischen den Functionen al (U1, U2, ...)a, al (U1, U2, ...), finden übrigens zablreiche Relationen Statt. Insbesondere sind folgende zu bemerken:

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Nunmehr führe ich diejenigen Grössen ein, welche den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen erster Gattung analog sind. Wenn x reell ist und zwischen den Grenzen do- und Qq liegt, so ist

R(x) = (-1)"(Q. — 2)... (@a-1- x)(x — Qc)... (20 Azn), und man kann daber

VR(x) = +i“ (a, — «)... V10a-1 - x). V(x — Qa)... V(x Azn) setzen, wo die Wurzeln rechts sämmtlich positiv zu nehmen sind. Ferner ist, wenn x zwischen too und av liegt:

VR(x) = 1(xau) ... V(2 Azn), und wenn x zwischen den und - æ enthalten ist:

R(x) = +82n+1/(0, - x)... Vazn x).
Wenn nun a und b zwei reelle Grössen sind, so bezeichne ich durch

Pb F(r)dx

Į VR(x) wo F(x) eine rationale Function von x bedeuten soll, denjenigen besondern Werth der Formel semat, welchen sie dadurch erhält, dass bei der Inte

gration R(x) stets mittels der obigen Formeln unter Anwendung des obern Zeichens bestimmt wird. Dies vorausgesetzt, werde

7oco P(x) dx

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bezeichnet. Dann gilt die Relation :

(12.) K. - Ke+, - ...+Ř.=0, für a=1,2,..., n.

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und wenn man

K. = 4,K+,+...+4. Ř.,

M = Mot Mat...t Man setzt, wo unter Mug My I. s. w. beliebige ganze Zahlen zu verstehen sind,

(19.) al (U, 2K,,...), = (-1)“Ha al (U19 ...a folgern. Es werde jetzt

(20.) K = K L + K., 2+...+ Kue

und

(21.)

Jw. = m, Ka,i+ m, K2,2 t...tm, Kan, ? | u

con

= n, K +, K, +...+n, K, gesetzt (unter m., ma, ..., 12, nag ... ebenfalls beliebige ganze Zahlen verstanden, so erhält man die Formeln

(22.) al(u, +20., ...), = (–1,"a-āal (Ung ...)«, wo, wenn a=0 ist, m,=0 genommen werden muss; und

(23.) al(u,+20, i, ...) = (-1)^nta-sto- ++al (Ung ...), in welcher Formel für a=2n der Factor von al (Un, ...)2n gleich 1 zu setzen ist. Ähnliche Relationen erhält man mit Hülfe der Formel (17.) für die Functionen al (U1, U2, ...), p.

3. Die Functionen al(U1, U2, ...)a baben die Eigenthümlichkeit, dass sie sämmtlich für dieselben Werthe von u1, U2, ... unendlich werden. Uberdies kann jede derselben, wie es bei dem Beweise des in (Nr. 1.) angegebenen Hauptsatzes gezeigt wird, (wenn man für die absoluten Werthe von 41, U2, ... bestimmte, übrigens beliebig weite Grenzen festsetzt, die sie nicht überschreiten sollen), als der Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen von Un, U2, ... fortschreitenden Reihen dargestellt werden, welche für alle Werthe dieser Veränderlichen innerhalb der bezeichneten Grenzen convergiren. Dies führt zu der Vermuthung, dass sich al(U1, ...), al (un, ...)., u. s. w. als Brüche mit gemeinschaftlichem Nenner darstellen lassen dürften, bei welchen dieser Nenner sowohl als die Zähler, solche Functionen von un, U2, ... sind, die nie unendlich werden und sich nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen. Wenn sich

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