und es läfst sich erweisen, dafs diese Reihen für alle Werthe convergent sind. von u1, U2, ... Auf die Function Al(u1, u2, ...) lassen sich jetzt auch Sl (u1,...) und Sl(u1,...). zurückführen. a Setzt man nämlich Hieraus läfst sich noch eine Formel herleiten, die für n=1 in der Theorie der elliptischen Functionen (namentlich bei Anwendungen derselben) von grofsem Nutzen ist, nämlich: Für n=1 dient z. B. dieser Ausdruck dazu, um leicht zu den Formeln zu gelangen, durch welche Jacobi die Rotationsbewegung eines festen Körpers darzustellen gelehrt hat. 5. Zur wirklichen Darstellung der Functionen Al (u1,...), Al(u1, ...) a gelange ich nunmehr auf folgende Weise. Zunächst entwickle ich die Relation Dies giebt In dieser Gleichung setze ich sodann u,+2K, statt u, u. s. w. Vertauscht man jetzt a und ẞ mit einander, so zeigt sich, dafs eine directe ist, wo u eine ganze Zahl ist. In der That finde ich durch Untersuchung der bestimmten Integrale, durch welche K., K., J., J. Aus dieser Relation leite ich dann die folgenden ab: α β Ja aus Diese Relationen, deren Anzahl (2n-1)n ist, entsprechen der bekannten Legendreschen Gleichung zwischen den ganzen elliptischen Integralen erster und zweiter Gattung. Ich habe den Beweis derselben in einer Programm-Abhandlung (Braunsberg 1849) veröffentlicht, in welcher ich zugleich über die Resultate, zu welchen ich in der Theorie der Abelschen Functionen gekommen bin, einige vorläufige Notizen gab; mit der Anzeige, dafs ich diese Resultate in einer ausführlichen Schrift darzustellen gedenke: ein Vorhaben, dessen Verwirklichung durch eine Krankheit, die mehre Jahre lang mich der Arbeit völlig entzog, bisher vereitelt wurde. Mit Hülfe der aufgestellten Relationen kann man nun aus der Gleichung (41) folgende zwei allgemeinere Gleichungen herleiten. (unter m, m2,..., 11, 12,... beliebige ganze Zahlen verstanden). Dann hat man und erhält mittels (17) ähnliche Formeln auch für Al(u1,.......)ɑ· Ich führe jetzt statt u1, u2,..., u,, n andere Veränderliche v1, V2, ..., Vn ein; mittels der Gleichungen ergeben. Sodann leite ich aus den Gleichungen (43) die folgenden ab: Bildet man nun ferner die homogenen Functionen zweiten Grades von u1, u2, ...: so lässt sich mit Hülfe der vorhergehenden Gleichungen zeigen, dafs ist. (53.) E(u1+2w,,...) = E(u1,...)+2εa (Ua+wa) a Hieraus folgt, vermöge der ersten Gleichung (Nr. 45), wenn man = Jc (v1, v2,...) Jc (V1, V2, ...). .. die Jacobische, weil sie Diesem Namen ent (55.) Jc (v1+2 m ̧ï, v1⁄2 +2 m1⁄2ï,.......) Ich nenne diese Function von v1, v2, für n=1 von Jacobi in die Analysis eingeführt ist. sprechend ist das Zeichen J angenommen. Was überhaupt die Rechtfertigung der angenommenen Zeichen betrifft, wird die ausführlichere Abhandlung anzeigen. Die zweite der angeführten Gleichungen giebt aber, wenn Nun lässt sich beweisen, dafs jede Function, welche die in (55) ausgesprochene Eigenschaft und über dies, gleichwie Jc (1,...), den Character einer ganzen Function hat, wie ich denselben eben erklärte, durch eine unendliche, nicht nur für reelle, sondern auch für alle imaginären Werthe von V1, V29 convergirende Reihe von der Form ... sich darstellen läfst, in welcher Formel n1, n2,... n veränderliche ganze Zahlen bedeuten, deren jede, unabhängig von den übrigen, alle Werthe von - bis zu durchlaufen hat. ∞ Für die Function Jc giebt die Glei chung (56) die Bestimmung der Coëfficienten, und man erhält (58.) JC (V1, V2, ...) sle cos (n, v1+n2 v2+ ... +μ2 v2) } . Eigentlich wäre der Ausdruck rechts noch mit einer willkührlichen Constante zu multipliciren; was aber wegen der willkührlichen Gröfse g unterbleiben kann. Der Coefficient g in (54) wird dadurch bestimmt, dafs für u,= 0, u2 = 0, ..., u, 0, Al(u,,...) = 1 wird. Hiernach findet sich: = Für die Functionen Al (u1, 2, ...)a erhält man ferner, mit Hülfe der Gleichungen (35), folgende Ausdrücke. Es sei wenn man für jede der Zahlen M1, V1, M2, V2 u. s. w. die Summe derjenigen beiden Werthe setzt, die ihr für a und für ẞ zukommen. Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 4. 42 |