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Führt man statt 01, 02, ... wieder U,, U2, ... ein, so erhält man noch folgende bemerkenswerthe Ausdrücke.

Es sei

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enn

m

V

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so ist

st-$(6+16)(+?w").cos [E(On+46) (10.],

sie 2006.cos Ecartas Das Zeichen S bezieht sich wieder auf die in den Ausdrücken Ons we enthaltenen Zahlen ni, na, ...; , aber bedeutet denjenigen Werth von On, den man erhält, wenn man für 1,, Na, ... die Werthe nimmt, welche wa gleich w machen. Und wenn man in dem vorstehenden Ausdrucke an die Stelle von ón, ün, Ó' die Summen

0. +0, watwan watwa setzt, so stellt er die Function al (U1, U2, ...)a, dar.

Ähnliche Darstellungen der Abelschen Functionen, wie die hier angegebenen, existiren noch unzählig viele. Namentlich giebt es, wie bei den elliptischen Functionen, noch eine Darstellungs-Art, bei welcher an die Stelle der cyklischen Functionen sin, cos die entsprechenden hyperbolischen treten. Sodann habe ich in meiner Abhandlung auch ausgeführt, wie sich jeder aus Abelschen Functionen auf rationale Weise gebildete Ausdruck als Quotient zweier Reihen von ganz ähnlicher Form darstellen lässt; und dadurch zugleich die Transformation der Abelschen Functionen vorbereitet.

Saline Westerkotten in Westfalen, 11. September 1853. Anmerkung. Die schliesslichen Resultate des Obigen finden sich auch schon in einer Ge

legenheitsschrift des Herrn Verfassers, datirt vom 17. Juli 1849.

18.

Sur la théorie des formes quadratiques ternaires

indéfinies.
(Par M. Hermite à Paris.)

Mr. Gauss a distingué les formes quadratiques ternaires, et définies, et indéfinies, suivant qu'elles sont réductibles par une substitution réelle aux formes +(x2 + y2 + z?) et + (x2 + y2 — z?). Nous considérerons dans cette note, les formes f= ax? ta'y? +4"x2 + 2by2 + 26'xz+26"xy, réductibles à

X+Y?-- Z’; et tout ce que nous en dirons s'appliquera de soi même à l'espèce des formes indéfinies qui appartiennent à l'autre type — x? — y? +z?. Il est bon cependant d'observer que ces deux types sont essentiellement distincts l'un de l'autre, c. à d. qu'il est impossible de trouver aucune substitution réelle qui change x2 + y2 — z2 en – X – Y +2%. Le Déterminant, ou d'après la nouvelle dénomination de M. Sylvester, l'Invariant de f, sera:

A = ab? + a'b'? +a"b"? 2 66'6" au'a"; la forme adjointe g sera:

9 = deze + d e gati ad om at de fe ya + 4 x2 + ay.

En même temps que la forme indéfinie f, nous considérerons la forme définie

$ = 1+2 (Actuy+ vs)?, où à, u, v, sont des indéterminées réelles, assujeties à vérifier la condition

g(d, u, v) = -4. Cela étant, on concevra qu'on calcule la suite infinie des substitutions propres à reduire 4, lorsque les indéterminées 2, u, v, passent par tous les états possibles de grandeur. Chacune de ces substitutions faite dans f, donnera une certaine transformée. Nous désignérons leur ensemble par le symbole (f), et nous aurons les propositions suivantes:

I.

„Si deux formes ternaires f, et F, sont équivalentes, (f) et (F), „contiendront les mêmes formes et seront identiques."

II. ,,Si la forme ternaire f, a pour coefficients des nombres entiers, „) ne contiendra qu'un nombre essentiellement limité de transformées „distinctes."

(A, A', A" Effectivement, si l'on représente par F=

) l'une quelcon

(B, B', B" que des formes contenues dans (f), on a ce théorème.

III. „Les cinq expressions

AB?, A'B', A"B"'?, BB'B", AA'A", „sont comprises entre les limites + 24 et – 24."

De là suit, que la totalité des formes pour lesquelles A est le même, ne donneront qu'un nombre fini de symboles (f) distincts les uns des autres, c. à d. que les formes ternaires indéfinies de même Invariant, ne donnent jamais qu’un nombre limité de classes.

IV.

„Les substitutions propres à reduire 4, contiendront toutes les sub„stitutions qui peuvent changer en elles mêmes, les diverses formes de (f)."

Le calcul numérique de la réduction continuelle de la forme q, lorsque à, u, v, passent par touls les états de grandeur, sous la condition g(, u,v)= -4, m'a conduit à de longues et pénibles recherches, dont le théorème suivant est le point de départ:

„Lorsque y cesse d'être reduit par une variation infiniment petite „de a, u, v, la substitution qu'il faut employer pour le reduire de nouveau, „est l'une des 62 substitutions d'Eisenstein, par lesquelles une forme „définie reduite, se change en elle même.”

La même proposition a encore lieu à l'égard de cet autre genre de formes Q, savoir :

y = a(ax ta'y + a"x)? + u (bx + b'y +6"z)?+v(cx + c'y +o"x)?, que j'ai introduites dans l'étude des formes cubiques

f = (ar+a'y +r"z)(bx+by+b"z)(cx+c'y +c"z).

J'espère pouvoir donner dans une autre occasion le résultat de mes recherches sur cette question si difficile; mais pour approfondir la nature des substitutions qui changent en elle même une forme indéfinie, j'ai employé l'analyse suivante.

- -

-

18. Hermite, sur les formes quadratiques ternaires. 309

Étant proposé de découvrir la substitution de x, y, z, en X, Y, Z, qui donne identiquement

(1.) f(x, y, z) = f(X, Y, Z), j'imagine que les trois premières variables, ainsi que les trois dernières, soient exprimées par des indéterminées auxiliaires ß, nS, et cela de manière qu'on ait

(x+X = 25, (2.) y+Y = 2n,

12+2 = 25. Sous ces conditions on va voir qu'il est facile d'obtenir les expressions de x, y, z, et X, Y, Z, en f, n, %. Effectivement, il viendra en premier lieu:

(3.) (28 – X, 2n - Y, 2% - Z) = f(X, Y, Z), d'où, en developpant et reduisant:

(4.) 28(8, 9, 5) = x + y + za Or il est visible qu’on satisfera de la manière la plus générale à cette équation, en prennant

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â, u, v, désignant trois quantités arbitaires. Réciproquement, si l'on a vérifié ainsi l'équation (4), on en conclura nécessairement l'équation (3). Les formules générales pour la transformation en elle même de la formes, s'obtiendront donc en résolvant les équations (5) par rapport à g, n, S, et substituant les valeurs obtenues dans les relations

(x = 25 – X, (6.) y = 2n - Y,

1% = 25 - Z. Mais la conclusion suivante à laquelle je suis arrivé d'abord par une analyse plus difficile, n'exige pas qu'on fasse ce calcul. Ajoutons les équations (5), après les avoir respectivement multipliées par 2, u, v, il viendra:

(7) AXVuY+v2 = Atum+v%,

et on en déduit par les équations (6):

2x+uY+vZ = ixtuy +vz. Voici donc une fonction linéaire qui se change en elle-même par la substitution qui change aussi la forme f en elle-même. Cela posé, il est visible qu'au point de vue de la recherche présente des substitutions à coefficients entiers, les indéterminées à, u, v, doivent avoir des valeurs rationnelles; ainsi l'on peut faire ces quantités proportionnelles à trois entiers l, m, n, sans diviseur commun. D'après cela, choisissant six autres nombres l', m', n'; I", m", n", de manière que le Déterminant du système

l, m, n, l', m', n',

1", m", n", soit l'unité, posons

11 x+in ytrz = u, 1X+m Y+nZ = U, (8.)

l' x+in' y+n' x = 0, 1' X+ın' Y+n' Z = V,

(l"x+in"y+n": = w; 1"X+on"Y+n"Z = W. À la substitution proposée entre les variables x, y, z, d'une part, X, Y, Z, de l'autre, succedera une nouvelle substitution entre les deux groupes u, v, w, et U, V, W, d'une manière toute spéciale; par ce fait l'équation correspondante à (6) devient alors simplement

u = U. Or cela équivaut à dire que pour cette substitution les indéterminées analogues à u et v sont nulles, l'autre restant encore arbitraire. Ainsi on en fera aisément le calcul, en employant les relations .

a=25 - U, U=$,
v=2n – V, et V=ntahes

w=26 W; w =$-a de maig dans lesquelles F(u, v, w) sera la transformée de f(x, y, z), obtenue par la substitution (8). Mettant ça à la place de d, et posant

(A, A', A")

(B, B', B" ); G (forme adjointe de F) =(B. B', B" );

(A, A', A")

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