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et la formule de substitution ne renfermera plus que des nombres entiers. Le nombre A qui joue ici un rôle essentiel, a pour valeur g(l, m, n); il doit être évidemment positif, pour que la substitution ne soit pas identique. Ce sont donc les entiers pour lesquels la forme adjointe est positive, qui sont les éléments essentiels de notre solution.

En résumé: si nous désignons par S la substitution (8), par la substitution (9), la formule abrégée S-2S donnera en nombres entiers la relation entre les deux groupes de variables, x, y, %, et X, Y, Z, par laquelle f(x, y, z) se change en f(X, Y, Z).

*Comme conséquence de la méthode précédente, on obtient aisément les théorèmes suivants que je me bornerai à énoncer.

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Soit

x = aX+a'Y+a"Z,
y = 6X+6'Y+6"Z,

% = cX+cY+c"Z, une substitution S, qui change en elle même une forme quadratique quelconque, l'équation du troisième degré, qu'on formera en égalant à zéro le déterminant du système

la- à a' a" |

ces

lo c"-a i admettra pour une de ses racines l'unité, et pour les autres deux valeurs réciproques.

II. Si l'on représente ces deux racines réciproques par a=ew V-1 et 1=e-WV-1, la condition pour que la substitution S, prise n fois de suite, donne en dernière lieu une substitution identique, est donnée par l'équation nw=21; et les seules valeurs possibles du nombre n, si les coefficients sont entiers, sont n= 2, 3, 4.

III. Il existe un nombre infini de formes quadratiques ternaires qu'une même substitution change en elles-mêmes; et on peut les représenter ainsi:

f = kA+IBC, A, B, C, désignant trois fonctions linéaires déterminées, et k, l, deux coef-ficients arbitraires. Toutes les substitutions qui changent en elles-mêmes ces diverses formes, s'obtiendront en faisant

A = +,
B = 2B,

C = 16, A, B, C, désignant trois fonctions de même forme que A, B, C, mais relatives à d'autres variables, et à une constante arbitraire.

Paris, Mai 1853.

19.
Sur la théorie des formes quadratiques.

(Par M. Hermite à Paris.)

Premier mémoire.

La méthode que j'ai exposée dans un précédent article, pour obtenir toutes les transformations en elle-même d'une forme ternaire indéfinie, exige comme élément analytique essentiel, la connaissance des systèmes d'entiers qui rendent positive la forme adjointe. La nature d'une pareille condition fait bien voir que les transformations semblables d'une forme indéfinie, impliquent nécessairement dans leurs expressions un nombre infini d’entiers arbitraires. Les considérations que nous développerons ici, montreront même la possibilité de donner aux formules de transformations, une expression qui offre explicitement un nombre infini d'entiers indéterminés. Nous insistons sur ce point, parcequ'il nous semble caractéristique dans la théorie des formes quadratiques. D'autres formes donnent lieu en effet à un nombre pareillement infini de substitutions semblables, mais toutes ces substitutions s'expriment avec un nombre essentiellement limité d'entiers arbitraires. Telles sont les formes du ne degré, décomposables en n facteurs linéaires pour lesquelles on a la proposition suivante:

„Soit u le nombre des facteurs linéaires réels, b le nombre des couples „de facteurs imaginaires conjugues, el w+1 la somme de ces nombres: toutes „les substitutions semblables seront données symboliquement par la formule

s".S.".S.". ... smots, „où mi, ina, ... sont des entiers arbitraires, et S, S, etc. w+1 sub„stitutions telles qu'aucune d'elles ne puisse s'exprimer par les produits „des puissances des autres."

On peut encore démontrer par rapport à ces formes, qu'en nommant S et T, deux substitutions semblables quelconques, on a toujours

S.T = T.S. Au contraire, dans la théorie des formes ternaires indéfinies, une pareille relation n'existe qu'autant que S et T sont les puissances d'une même substilution; auquel cas la relation proposée, se vérifie d'elle même. Nous Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLVII. Heft 4.

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rappellerons encore que la connaissance d'une transformation semblable d'une forme quadratique ternaire, ne définit pas complètement cette forme, de sorte qu'une substitution donnée, change en elles mêmes une infinité de formes ternaires distinctes. Par le théorème suivant, on verra au contraire comment une forme décomposable en facteurs linéaires, est connue, à un facteur numérique près, lorsqu'on donne une de ces transformations en elle-même.

Designons cette substitution par E, et concevons qu'on forme E?, E', etc. E', en représentant par celle notation la même substitution, prise 2, 3, ... i fois de suite, et pour fixer les idées, supposons la substitution donnée par les formules

1 = aX+a'Y + ... + al-1) U,
y = 6.X+.b'Y+ ... +b(n-1) U,
· · · · · · · · · · ·

u = kx+k'Y + ... + k(n-1) U, et la substitution Ii par les suivantes :

X; = 4;X-+aY+.... ta{n-1} U,
Y; = b;X+Y+ ... +-6{n-1) U,

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| Xn-1 Yn-1 ... Un-11, on aura, à un facteur numérique près, la forme en X, Y, ... U, décomposable en facteurs linéaires, et que la substitution Echange en elle-même. Je me reserve de démontrer prochainement ces théorèmes, sur la forme décomposable en facteurs. Le dernier exige qu'aucune puissance de la substitution E, ne puisse donner la substitution identique: x= x, y=Y, ... u=U.

rs.

Ces exemples de la grande différence que l'on doit établir entre la théorie des formes quadratiques et celle des formes décomposables en facteurs, au point de vue de la recherche des substitutions semblables, ajoutent encore, ce me semble, à l'interêt de la question difficile que nous avons abordée pour le cas des formes ternaires. En se bornant d'abord en quelque sorte au point

de vue algébrique, on est conduit, à plusieurs théorèmes qui nous, ont paru dignes d'interêt, et que nous exposerons avec détail. Nous donnerons ensuite un nouveau développement aux considérations aritbmétiques dejà présentées dans notre premier article.

Première partie.

I. L'analyse que j'ai exposée precédemment dans ce journal, donne sous la forme suivante au moyen de trois indéterminées a, u, v, l'expression de toutes les substitutions qui changent en elle-même une forme quadratique ternaire. Posons, en conservant les mêmes notations: p= axto'y? +a"z? + 2by2 + 21'r2+26"xy =

(a, a', a') A = ab? -+ a'b"? +~"6" -- 266'6" aa'a", et représentons la forme adjointe par

I b--a'u", 6'2 - ua", 612 - un' 9 = (

(ab -b'", a'b' bh", a"" 66') Nous aurons souvent besoin d'employer la valeur de g, lorsqu'on met a, u, v, pour la première, la deuxième et la troisième indéterminée; nous la désignerons par , de sorte que

g = 9(a, u, v), et nous posons enfin

II = 1X+uY+vZ.
Cela étant, on aura identiquement:

f(x, y, z) = f(X, Y, Z), en prennant

1(1–y)x = (1+y) X+(va-v - , (1.) {(1–yy = (1+9)Y+( -22)

1(1–y)2 = (1+y)2+(2 voru afhent. II. On peut le démontrer directement de la manière suivante. Déduisons en premier lieu des formules (1), les valeurs des trois

dfdf fonctions linéaires Li on trouvera sans peine

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