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d'indéterminées, el conduira à exprimer rationnellement cette substitution au moyen de in(n-1) quantités arbitraires *). Nous leur donnerons le nom d'arguments, car on va voir qu'elles jouent le même rôle que les quantités à, du (S. V).

En effet, nous considérons en même temps que la forme indéfinie proposée F, la forme définie

= Uz +U+ + ... +U-19 et nous aurons les propositions suivantes :

10. Concevant qu'on calcule toutes les substitutions propres à réduire fi pour toutes les valeurs des arguments, et qu'on fasse chacune de ces substitutions dans F, on obtiendra ainsi une infinité des transformées dont nous désignerons l'ensemble par le symbole (F). Cela fait, si deux formes F et F. sont aritbmétiquement équivalentes, (F) et (F") seront identiques.

2o.

. En supposant entiers les coefficients de F, ceux des formes contenues dans (F) le seront pareillement, et auront des limites déterminées par une seule fonction des coefficients de F, l'invariant 1. Un exemple des limitations de ces coefficients a été donné dans mon premier article, pour le cas des formes ternaires.

30. Si l'on désigne par F l'une des formes de (F), il n'y aura aucune transformation de F en elle-même, qui ne soit donnée par le calcul arithmétique de (F), tel qu'il a été défini.

Toutes les formes quadratiques à coefficients entiers, qui appartiennent au même type, et ont même invariant 1, sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes.

Depuis l'année 1847 où je rencontrais les principes de la réduction des formes définies, j'ai cherché à plusieurs reprises la démonstration rigoureuse de ce dernier théorème, et je ne suis parvenu qu'après bien des efforts à la théorie qu'on vient de voir. Il me reste à montrer comment pour les

*) On pourrait, sans recourrir à ma théorie, déduire ces expressions de celles qu'à données Mr. Cayley, pour le type d'indice zéro. Voyez dans ce journal le beau mémoire sur les déterminants gauches, du savant géomètre anglais.

nous a uron

formes binaires de déterminant positif qui appartiennent en même temps aux formes quadratiques indéfinies et aux formes décomposables en facteurs linéaires, on est conduit au même résultat en appliquant les principes relatifs à ces deux cas.

Ayant fait

F= Ax?+2Bxy + Cy? =(ar+by) (a'x+b'y) = uu', nous aurons d'abord cette expression par le type quadratique binaire d'indice un, savoir :

F = 12 — v"?, en posant

u+u' = 2v, u-u' = 2v'. Soit ensuite:

U = avta'v', U' = ßv + B'v', et déterminons les constantes a, a', B, B' de manière à obtenir identiquement :

U? U' = v- v'. On posera pour cela :

o’ – a"=1, - d'B' =0, @? B" = -1, d'où il sera facile de conclure:

B? = a', $!? = d. Or la forme définie y étant

q= U? + U' = (av + o'v')? +(Bv+B'v')?, elle deviendra par ces relations : q=(@?+B2)v? +2 (aa'+-BB')w' +(a”?+B") "=(@?to") (v?tv?) + 4ac'v'. Remettant maintenant au lieu de v et v' leurs valeurs en u et u', il viendra:

y={(a? + c') (u? +u') + ac' (u? — u") = {(a + a')? r? + 1 (a — ?)?u??; ce qui est précisément la forme quadratique définie à laquelle on serait amené d'après le (S. V), en considérant Fcomme appartenant aux formes décomposables en facteurs linéaires. (Je reprendrai dans un mémoire spécial la distribution en périodes des formes de déterminant positif, pour compléter et mettre fin en quelques points à ce que j'en ai déjà dit dans un mémoire sur l'introduction des variables continues dans la théorie des nombres.)

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VII. Pour compléter ce qui nous reste à dire des principes communs à ces deux grandes théories arithmétiques des formes quadratiques à un nombre quelconque d'indéterminées, et des formes décomposables en facteurs linéaires, nous allons exposer comment on doit concevoir l'opération de la réduction continuelle de l'une en l'autre des formes précédemment désignées par 4. Nommons F, F', F", etc., la série des formes contenues dans (F); F désignant, soit une forme quadratique, soit une forme à facteurs linéaires, et

S, S', S'", ... les substitutions par lesquelles on les à respectivement tirées de F. En effectuant chacune de ces substitutions dans 4, on aura les transformées correspondantes R, Þ', Þ", ... qui seront réduites pour certaines valeurs de leurs arguments. Or il est très facile de voir pour l'une et l'autre des formes y, que toute transformée telle que , peut s'obtenir directement par F, d'après le mode même de formation de y au moyen de F. Maintenant, pour arriver à saisir l'enchainement de ces opérations arithmétiques de réduction continuelles, lorsque les arguments prennent toutes les valeurs possibles, nous observerons qu'au lieu d'opérer toujours sur cette même forme 4, pour en déduire successivement Þ, Þ', Þ", etc. on peut concevoir l'une quelconque de ces formes, obtenue au moyen d'une autre précédemment réduite, en y introduisant les valeurs des arguments pour lesquelles elle a cessé de l'être, et lui appliquant alors la méthode générale de réduction.

Or ici est l'origine d'une notion importante, que nous allons présenter d'abord, dans le cas particulier de deux arguments variables. Imaginons que ces deux arguments soient les coordonnées d'un point rapporté sur un plan à deux axes fixes, de sorte qu'à tout point de ce plan corresponde une forme y entièrement déterminée. Indépendamment de toute connaissance sur la nature analytique des conditions que doivent remplir les coefficients d'une forme réduite, on peut concevoir l'existence d'une courbe séparant les points du plan auxquels correspond une forme ø, toujours réduite, de ceux auxquels correspond une forme qui ne l'est plus. Cela posé, soient à une distance infiniment voisine de cette courbe, E', E", I', etc. les diverses substitutions qu'il faudra successivement employer pour réduire de nouveau , nous nommerons reduites adjacentes à ø, les transformées $', $", $'", etc qu'on obtiendra en faisant ces substitutions dans Þ. Et si l'on appelle F, la forme de (F) à laquelle ø correspond, nous donnerons le nom de formes contigues à F, aux transformées F', F", F'", etc., qui en résultent par les substitutions E', E", I'", etc. Dans le cas général, considérons l'ensemble des valeurs des arguments pour lesquelles une forme est réduite, ces valeurs élant telles, que cette forme cesse de l'ètre lorsqu'elles subissent une variation infiniment petite. Nommons encore, E', E", etc. la totalité des substitutions propres à reduire þ de nouveau, dans cette hypothèse d'un changement infiniment petit dans les arguments: les réduites adjacentes, seront les transformées Þ', $", etc. qui résultent de $ par les substitutions E', E", etc.; et en nommant F la forme correspondante de Þdans (F), ses contigues seront les transformées F", F", etc. qui s'en déduisent par les mêmes substitutions.

Cette notion des réduites adjacentes, conduit à imaginer la disposition graphique suivante du calcul arithmétique de la réduction continuelle de p.

Ayant représenté par les désignations abrégées , Þ', Þ", etc. la série indéfinie des réduites quadratiques qui correspondent chacune à une forme de (F), nous concevrons qu'on fasse avec toutes ces formes, un tableau, dans lequel chacune d'elles sera immédiatement environnée de toutes celles qui lui sont adjacentes, et auxquelles on la joindra par autant de traits. De la sorte toute forme se trouvera réunie par deux traits à une autre p'; car ayant pour adjacente Þ', réciproquement Þ' aura pour adjacente R. Maintenant si l'on place sur chaque double trait, une désignation abrégée de la substitution par laquelle l'une des deux formes dépend de son adjacente, on aura la réunion de touts les éléments du calcul arithmétique dont nous avons essayé de donner une image claire et sensible.

On pourra encore dans le tableau ainsi obtenu, remplacer chaque réduite quadratique ®, par la forme F qui lui correspond dans (F); en conservant d'ailleurs toutes les indications de substitutions. De là résultera une disposition par groupes de formes contigues, dont on va voir l'usage dans la démonstration du théorème suivant.

VIII. Lorsque les coefficients de la forme F sont entiers, que cette forme soit quadratique ou décomposable en facleurs linéaires: il existe un noinbre fini de substitutions semblables, telles qu'on peut exprimer par les produits des puissances de ces substitutions, toutes les transformations de cette forme en elle même.

Je dis en premier lieu qu'il suffit d'établir ce théorème pour une forme déterminée F, de l'ensemble (F). Supposons en effet que F se change en F,

par la substitution E; en désignant indéfiniment par S, les substitulions semblables de F: toutes les substitutions de même nature relativement à F, seront données, comme on sait, par la formule ESE- Cela posé, admetttons que S s'exprime par le produit de diverses substitutions S', S", S'", etc. de sorte qu'on ait par exemple

S = S".S".S". En posant

T=ESE-, T = ES'E-, T"=ES"E-, T" = ES""E-1, on vérifiera de suite la relation

T = T".T".T'"". On voit par là comment à toute expression de la substitution S par un produit d'autres substitutions, correspond une expression toute semblable pour la substitution T. .

Cela posé, soit • la forme quadratique qui correspond à F. Cette forme sera réduite pour certaines valeurs de ses arguments; mais en les faisant varier de nouveau, et considérant l'ensemble des substitutions qui se présentent successivement pour la réduire, nous avons fait la remarque (S. V et S. VI, 3') qu'il n'y avait aucune transformation de F en elle-même, qui ne soit comprise dans cet ensemble de substitutions. En partant de celle proposition, qui est fondamentale pour ce que nous allons avoir à dire, nous raisonnons comme il suit.

Supposons formé le tableau complet des formes de (F), disposé par groupes de formes contigues, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut. En vertu du second théorème des (S. V et VI) ce tableau renfermera, repétées une infinité de fois chacunes, un nombre essentiellement limité de formes différentes. Ainsi il s'agit de saisir, en général, par quel enchainement de substitutions on peut toujours lier deux transformées identiques, occupant dans le tableau deux plans distinctes.

Pour y parvenir, nous concevrons qu’on groupe les formes du tableau, de la manière suivante.

Partant d'abord de F, nous la joindrons à toutes ses contigues, pour en faire un premier groupe (A). Ensuite nous regarderons la totalité des formes contigues à (A), comme formant, d'une part, (A) lui même, el de l'autre un second groupe (B). Nous continuerons de même en regardant les formes contigues à (A) et (B), comme formant d'une part (A) et (B) et de

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